含参二次函数的研究

积微精2017高三二轮精讲01讲含参二次函数的研究一、三个“二次”的关系三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式，三者之间以二次函数为，通过二次函数的图象贯穿为一体，有着密不可分的联系。其中，二次函数的零点就是所对应方程的根，也是所对应一元二次不等式解区间的端点。二、三个“二次”问题的解决方法问题：（1）含参二次函数在定区间上的最值问方法1、数2、分3、分注意事项：1.关注隐含条件，如过定二次项系数是否可以为0妙用图象例题精题型一：含参二次函数问题例1、若关于x的方程x2＋ax－4＝0在区间[2,4]上有实数根，则实数a的取值范围 解析：如果方程有实数根，注意到两个根之积为－4＜0，可知两根必定一正一负因此在[2,4]上有且只有一个实数根，设f(x)＝x2＋ax－4，则必有f(2)f(4)≤0，所以2a(12＋4a)≤0，即a∈[－3,0]．例2、已知当x＜0时，2x2－mx＋1＞0恒成立，则m的取值范围 2x2－mx＋1＞0x＜0

而2x＋1＝－[(2x)1] ＝－2 m＞－2例3、若关于x的不等式(2x－1)2＜ax2的解集中整数恰好有3个，则实数a的取值范围 其中(－a＋4)x2－4x＋1＝0中的Δ＝4a＞0，且有4－a＞0，故不等式的解集 2＋ 2－ 2＋ 则一定有{1,2,3}为所求的整数解集 1 2－( ,a的范围( ,94fxax220x14a0t，在闭区间t1,t1x1x2fx1fx28成立，则实数a的最小值 解析：式子fx1fx28描述fx在区间t1t1上的“身而由xax220x14a0gxg1g08a例5、已知直线y＝mx与函数

2

1(),x 的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m的取围

2(1)x,x

x21,x1解析：作出函数f(x)＝1

x21,x

的图象，如图所示，直线y＝mx的图象是绕坐标(原点旋转的动直线，当斜率m≤0时，直y＝mx与函f(x)的图象只有一个公共点；m＞0y＝mxy＝2－1x(x≤0)(3故要使直线y＝mx与函数f(x)的图象有三个公共点必须有直线y＝mx与函数y＝12＋1(x＞0)的图象有两个公共2xx2＞m的取值范围是(题型二：二次函数综合问题例6、若函数fxx22axa2ax1有且仅有3个零点，则实数a的取值范围 解法一：令txayt22at1a2t00．所以1a20a1x22axa2ax10x22ax12axg(xx22ax1h(x2ax恰有三个公共点，结合图象可得1a20a0a例7、已知三个实数a,b,c，当c0时满足b2a3c且bca2，则a2c b（齐次化思想）由bca2知b因为b0时，所以b0a

12x3

12x

y，则yy

x

x1orx3zx2yx2x21 9 a2c的取值范围是(, 解法二：由ba22a3cac24c21a a t

1

令tc1,3， t22tt2t4 a2c的取值范围是(, 8、已知函数fxax2bxca0的图象过点10，且对任意的xR都有不等x3fx2x23x1成立．若函数yfxfx2mx2m2有三个不同的零点，则实数m的取值 解析：由题形式知，令x32x23x1，解得x2f10abc所以b1,c1再由x3ax2xa12x23x1xRax24x2a0且a2x22xa0xR164a2a44a2aa

a1fxx2xyfxfx2mx2m22mx2m2,x,21,yx2x2x2x22mx2m2

有三个不同零2mx2m20x21上有一解，且2x222mx2m240x2,1上有两2mx2m20x21上有一解得m2或m1m2m1．由2x222mx2m240x2,1上有两解转化为2x22x42mx2m2有两解由22m2842m20m17 1271 7 3 1、已知函f(x)＝

课后练习（7题，35分钟其中m>0，若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b不同的根，则m的取值范围 3、已知函数

若f(－a)＋f(a)≤2f(1)，则实数a的取值范围 4、不等式x2cosx1x1x2sin0对x0,1恒成立，则的取值范围 5、已知gxxxa2x，若存a2,3，使得ygxat有三个零点，则实数t的 6、已知mR，函数fx2x1,x ，gxx22x2m1，若函数yfgxm有6个logx1,x 点，则实数m的取值范围 2 7、已知定义在R上的函数fx满足fx 2, 2x2,x1,0

fx2fxgx2x5x程fxgx在区间5,1上的所有实根之和 答函数，若存在实数b，使方程f(x)＝b有三个不同的根，则m2－2m·m＋4m<|m|.∵m>0，∴m2－3m>0，解得≥由二次不等式与二次方程的根的关系知，关于2x的方程(2x)2-2a(b-1)2x-2b=0的2x的值分别为4，- .2因为2x取正值，要想2x最小为4，所以b≤0，即2b又因为4-2=2a(b-1)，所以

4(a4a

≥0，解得a≤-2或a43、解析：f(－a)＋f(a)≤2f(1)⇔ a

或 a

故

解得0≤a≤1，或4fxsincos1x212sinxsin0x0,1恒成立，x0f0sin0x1f(1)cos0所以sincos10，二次函数开口向上对称轴x 12sin 0,12sin12sin2所以需满足sincos

2

2k5, 5、解析gxxa，对称轴xa2aa2gx在a上递2xa，对称xa2aa2gx在a上递2所以当2a2时，gxR上递增，则ygxat不可能有三个零点，故只需考2a3ygx的大致图象知，要使得函数ygxat有三个零点，只能

a2

ga a22

a22

2即ta ，即存在2a3，使得t ha

a

a24a4

2，只要使tha 即可，而ha h3 2t

积微精课2017高三二轮精讲 6、解gxt，则函yfgxm6个零点等价于ftm恰有三个实根且对应gxt函数fx2x1,x 与ym图象有三个交点，其横坐标分别为t,t,tlogx1,x 12如图所示，其中最小的根 m2结合图象可知，要满足gxt6个实根需使

m1gx

2m