静电场的基本规律大学物理重点章节

第章

静电场基本规律◆本章习目标1．理解电的量子化和电荷守恒定律；掌握库仑定律的内容。2．理解静场的概念，掌握电场强度和电位的概念、电场强度和电位叠加原理、二者的计算方法以及它们之间的联系。3．掌握高定理和静电场的环路定理的内容，会用高斯定理计算电场强度分布。◆本章学内容1．电荷的子化和电荷守恒定律；库仑定律；电场强度及其计算。2．电场线电场强度通量；高斯定理及其应用。3．电场力功的特点；静电场的环路定理；电势和电势差；电势叠加原理及电势的计算。4．等势面电场强度和电势的关系；利用电势求电场强度的分布的计算方法。◆本章学重点1．库仑定；静电场；电场强度及其计算。2．高斯定的内容及其应用。3．电场力功的特点；电势和电势差的概念；电势的计算方法。4．等势面概念；电场强度和电势的关系。◆本章学难点1．电场强及其计算。2．高斯定及其应用。3．电势的算。4．电场强和电势的关系。◆本章习方法建议1．正确理静电场、电场强度、电势和电势差的概念。2．掌握库定律的矢量表达式，明确“点电荷”的概念和库仑定律的适用条件。3．明确电强度是矢量，而电势是标量，前者服从矢量叠加原理，后者服

从标量叠加原理；注意理解掌握电场强度和电势间的关系。4．结合实，透彻分析、理解高斯定理的物理意义，明确应用高斯定理求解场强的条件。参考资料程守洙《普通物理学五版三慧《大学物理基础学》及马文蔚《物理学教程》等教材。

原子核原子核§

电荷

电场一、电

电荷量带电体：处于带电状态的物体称为带电体。自然界的电荷

：丝绸擦的玻棒上同的荷负电：与皮擦过的橡棒上同电荷

(解释摩擦带电的原因)电力：带电体之间的相互作用力；同种电荷相排斥，异种电荷相吸引。电荷电荷量)：表示物体所带电荷的多寡程度的物理量。二、电的量子化原子结构：(正电)中子不电原子电负电原子核外的电子数目等于原子核内的质子数目，原子呈电中性；若原子或分子由于外来原因失去(或得到)电子，就成为带正电(或带负电)的离子。自然界中电子或质子所带电荷是最小的：电子e

质子1.6

C电荷的量子化所有带电体或其它粒子所带电量都是电子或质子所带电量的整数倍，是以不连续的量值出现的。说明：由于电子的电荷量很小，所以在对宏观带电体的电现象进行研究时，可以不考虑电荷的量子性例说明）三、电守恒定律如图为感应起电现象：当带正电的玻璃棒A移B端时B,C因感应而带电带负电C带正电这时将两部分分开，再撤走A，两部分带等量的

异号电荷，这既是所谓的“感应起电”现象。实验表明：在感应起电过程中所得到的两部分电荷是相同的。举一些表明电荷守恒的例子)电荷守恒定律电荷只能从一个物体转移到另一个物体或者从物体的一部分转移到另一部分或者说在一个与外界没有电荷交换的孤立系统内无论发生怎样的物理过程，该系统电荷的代数和保持不变。四、电“超距作用点个带电体所受到的电力是由另一个带电体直接给予的。这种作用既不需要中间物质进行传递也不需要时间而是从一个带电体立即到达另一个带电体。电荷

电场“场”作用观点：两个电荷之间相互作用是由电场传递的，需要时间。场是一种物质，具有能量、动量和质量。电场力当物体带电时就在它的周围激发电场处在电场中的电荷将受到力的作用，这种力叫做电场力。电荷

电场

电荷静电场：相对于观察者静止的电荷所激发的电场。静电场的主要对外表现：1．引入电中的任何带电体都将受到电场所作用的力2．电场能引入电场中的导体或电介质分别产生静电感应现象或极化现象3．当带电在电场中移动时，电场所作用的力将对带电体做功，这表示电场具有能量。

=§9.2

库仑定一、点荷之间的作力点电荷（理想模型当带电体的线度（形状、大小）ｄ<<ｒ（带电体之间的距离）时，就可以把带电体视为点电荷。真空中的库仑定律：真空中的两个点电荷之间的相互作用力大小与两电荷的电荷量的乘积成正比与两电荷之间的距离的平方成反比向沿其连线方向，同号相排斥，异号相吸引，这种相互作用力称为库仑力或静电力。矢量式：qqqqFk2rk1rrr321在国际单位制中,k

14

0

(N

0

8.85(C

称为真空的介电常数，是表征真空特性的物理量。其中Fq的作用力，r为q指方向的矢径。212

的方向：当q同号时，表现为斥力，方向方向；1当q异号时，表现为引力，方向的反方向。1因此，

F21★注意：库仑定律的使用条件：（1）点电荷（2）必须是静止的点电荷。二、叠原理实验表明：库仑力满足叠加原理。叠加原理的内容对多个点电荷的系统其中任一点电荷所受的静电力等于其它点电荷单独存在时作用于该电荷上的静电力的矢量和。如图所示有n个点电荷组成的系统另有点电荷受到这个点电荷的作用，根据叠加原理，则点电荷q所受的库仑力为

rr2i其中

i

为i个点电荷的作用力。三、电质中的库仑律无限大均匀电介质中的库仑定律：

F

qq2r

r其中

r

为电介质的相对介电常数，描述了电介质的性质，无量纲。r

称为电介质的介电常数为真空中的介电常数。0

0000§

电场强

场的叠原理一、电强度把试探电放入电场的某点，实验发现：0（1）在给定电场中的同一点，分别放入电荷不同的试探电，结果发现0Fq所受电场力的大小q电荷的增减而增减，但比值不变。q0F（2）对于电场中不同的点，比值一般情况下并不相同。q0电场强度：

E

（1）在数值和方向上等于处在该点的单位正电荷所受到的库仑力的大小和方向。在，场强单位：N匀强电场：电场中各点场强的大小和方向都相同。电场力：qE★试探电应满足下列条件：0

（2）1．必须是何线度足够小的点电荷，以便能用它来确定电场中每一点的性质。2电量必须充分小其引入电场后对原电荷及电场的分布的影响可以忽略。二、点荷的电场如图所示设真空中有一点电荷其周围空间内的电场分布计算如下：在q为r处的P点（场点）放一试探电荷，则q所受的电场力00为F

1

qqqqrr34

r0

r4r4r0n根据电场强度的定义可得P点的场强为E

4

0

rr2其中r为从q指向场点方向上的单位矢量。的方向

0,E沿r方向若q0,E沿r反方向如果点电荷q置在无限大的均匀电介质中，电介质的介电常数为间各点的场强为

，则空1r20三、场叠加原理

（3）在点电荷系qq，„的电场中，试探电所受的电场力等于各个12点电荷单独存在时q的作用力F，，„F的矢量和，02n1i由场强的定义，可得，nq0即E1

n

（4）（）式表明：电场中任一点处的总场强等于各点电荷单独存在时在该点所产生的场强的矢量和，即场强叠加原理。利用叠加原理，原则上可以计算任何带电体系所产生的电场的场强分布。点电荷系的场强公式：设点电荷系q，„处于真空中，各点电荷到场点的矢径分别12为rr，„，各点电荷在激发的场强分别为，n1

1q1r，220

1q2r，„2n0

1qnr4r20n

00由场强叠加原理，P的总场强为，

1

i

qirr0ii

（5）若点电荷系处在无限大的均匀电介质中，则，

1

irr0iii

（6）四、连分布电荷的强虽然电荷是量子化的，但从宏观来说，一般带电体可以忽略电荷的量子性，视其电荷分布为连续分布。任意带电体可连续分割为无数电荷dq的微小带电体的集合，dq（视为点电荷）在场点P的场强为

14

0

dqrr20

（7）由场强叠加原理，带电体在P的总场强为，dE

dqrr20

（8）在实际问题中带电体按其形状特点其电荷分布可简化为体分布面分布和线分布。1．电荷分为体分布的带电体在空间激发的场强对于电荷的体分布，可取

，其中

为电荷的体密度，dV为物理小体元，带电体在点激发的场强为dE

V

0

（9）2．电荷分为面分布的带电体在空间激发的场强对于电荷的面分布可取带电体在点激发的场强为

其

为电荷的面密度，为小面元，

00r00

（103．电荷分为线分布的带电体在空间激发的场强

dl中取dq为电荷的线密度，dl为小线元，带电体在

点激发的场强为r0L

（11★注意：在具体计算中，应建立适当坐标系，写在坐标轴方向上的分量式，分别积分计算E的各分量，在合成矢量。五、电求解问题例题1

一对等量异号点电荷，相距l求其连线的延长线和中垂线上一点的场强。解：建立如图所示的坐标系（1）其连线的延长线上任一点的场强：在延长线上任取一点P产生的场强方向相反，大小分别为E

0

qq,ll(x24)22

2则点的合场强的大小为，EE

0

ql(x)2

2

4

0

ql(x)2

2

4

0

2l2(x)4

2在xl/2处，

2ql4x0

3（2）其连线的中垂线上任一点的场强：在中垂线上任取一点PE大小相等，方向关于x轴对称，因此

两矢量在y轴方向上的投影互相抵消，在x轴方向上的投影大小相等，方向相同，并且沿x轴的负方向。则P点处的合场强的大小为，E2

qll2

其中，cos

y

ll)4

q(y

l24

)在yl处，

ql40

y

3电偶极子：若两电荷间的距离远小于它们到场点的距离，这样的电荷系统称为电偶极子。电偶极矩矢量（pql

其l的大小为两电荷之间的距离，l的方向由负电荷指向正电荷。p描述了电偶极子本身的特性。基于此，上面的结果可记为，在延长线上，

2p40

3在中垂线上，

p0

y

3例题2真空中一均匀带电直线，常为L带电荷为Q求直线外一点处的场强。P点到直线的距离,直线两端点的连线与直线的夹角分别

1

。2解：建立如图所示的坐标系，此为电荷连续分布问题。在直线上距原Oy处，取电荷元/L)其在处产生的场强dq大小为，4400的分dEdE分别为xy

3

yEyEdEdEsinx

dEdEcos如图所示，由几何关系可知，ycot,acsc,r

asin

代入得，x

4

0

sin,dEa

0

a

cos两式积分得，Ex

x

4

0

a

sin

4

0

a

cos

1

)2yy

0

a

0

a

(cos2点处的总场强大小为，E

x

22y若均匀带电直线是无限长的，

1

则2Ex

0

a六、电的图示法—场线电荷之间的相互作用是通过电场来传递的了形象地描述场强的大小和方向，引入电场线。电场线在电场中做一些有方向的曲线让曲线上每点的切线方向和该点的场强方向一致，这样的曲线叫做电场线。为了使电场线不仅能表示场强的方向还可以表示场强的大小引入了电场线密度的概念。电场线密度：通过与该点电场方向垂直的单位面积上的电场线条数。在作电场线时使电场中任一点的电场线密度与该点的场强大小成正比即

这样，场强的大小就可以用电场线的疏密程度反映出来。

几种简单电场的电场线图：正点电荷

负点电荷两个等值异号点电荷

两个等值同号点电荷静电场的电场线的两条最重要的性质：（1）电场线起始于正电荷（或来自于无穷远止于负电荷（或伸向无穷远在没有电荷的空间里，电场线既不会相交也不会中断。（2）电场线不构成闭合曲线（或者说电场线上各点的电位沿电场线方向不断减小

§9.4

高斯定一、电量为了进一步研究电场的性质，我们利用电场线来引入电通量的概念。电通量：穿过电场中某曲面的电场线条数。表示。e1．电场对曲面的电通量如下图（）所示，设电场为匀强电场，根据电场线密度的定义，穿过垂直于电场（）

(b)方向的平面S的电通量为

(1)若平面与E不垂直面法向矢n与E方向图(所示，则穿过的电通量

(2)如果是非匀强电场，并且S面也不是平面，而是一个任意曲面，如图（c）所示。先求出上任一面的电通，即eEdS

式为面dS的法向矢量n与该处场强间的夹角。则通过整个曲面S电通，为ee

(3)

（c）式中，常叫做面元矢量。2．电场对闭曲面的电通量对于电场中的封闭曲面规定曲面上面元的法向为由内指向曲面外则其电

通量为e

E

EdS

(4)★注意：在电场线穿入曲面处，电通量为负；e在电场线穿出曲面处二、高定理

，电通量为正。e高斯定理是静电场理论中描述电场性质的基本定理。高斯定理的内容在电场中通过一任意闭合曲面电通量等于该曲面所包围的电荷的代数q除

0

，与闭合曲面外的电荷无关。高斯定理的数学表达式为e

q

(5)式是闭合曲面所包围的电荷的代数和。内对高斯定理的简单讨论：1．点电荷电场在点电荷q电场中，以q为中心，以任意长r为半径，作一球面，如图所示。点电荷q电场具有球对称性，在球面上各点的大小都是方向沿矢径方向处r20与球面正交（式可求得通过球面的电通量为，

SS

14

qr

S

q若曲面为任意形状，如图示的s，我们总可以选择适当的半1径作一球面，将曲面包围，由于电场线连续通过，因而通过两曲面ss的电通量必定相等，都1

SSSS等于

。当点电荷位于曲面之外时如图所示可以看出进入和穿出曲面的电场线条数相等。由于进入电通量为负

穿出为正，所以总电通量为零。2．任意带体系的静电场当闭合曲面内包围多个点电荷时，由于场强满足叠加原理，所以，12n在电场中任取一闭合曲通S面的电通量为e22en式中的q仅指被包围S内的那部分电荷的代数和。ii

ii上式表明干点电荷存在时的电通量等于每一点电荷产生的场强通过该闭合曲面电通量的代数和。高斯定理的意义：（1）指明了静电场中电场对任意闭合曲面的电通量与曲面内的电荷之间的量值关系。（2）揭示了电场与场源之间的联系，说明静电场是有源场。三、高定理的应用例1求均匀带正电球面内外的场强分布。设球面半径为R，带电，如图所示。解：首先给学生分析解题思路。作与球壳同心且半径为r的球形高斯面通过其上为

Ecos

ds4

2由高斯定理得，

42

0

E

0

r

r2rR时则内

3qr3qrEr,(r)r2r时q，则r)结果表明均匀带电球面内部无场强球面外部的场强与球面上电荷全部集中在球心时产生的电场相同。例2求均匀带电球体内外的电场分布球体的半径为R，所带电荷q，如图所示。解：为中心，以r为半径作球形高斯面，如图所示，通过高斯面上的电通量为，

E

E

E4

r

由高斯定理得

42

0

E

0

r

r2当

rR

时，

q

，

则

4

r

r()r时q内43

q4qr3则333qrrr.(r04000例3求均匀无限长带电直细棒的电场中的场强分布。设棒上线电荷密度为如图所示。解：分析：以棒为轴线，作半径为r圆心在细和dq

棒上的圆环环面两侧对称地取电荷元。由于对称，它们在环上任一P发的场

0000沿环的径向方向于个带电细棒可看成由一对对O对称的电荷元组成，故整个带电直细棒在圆环上各点的电场均沿径向且大小相等。取以棒为轴，以r为底面半径l为高作圆柱形高斯面，则通过圆柱形高斯面的电通量为

E

E

E

E

侧面

上底

下底由上面的分析可知，对于上下地面来说2，所以，上式可化为

Ecos

侧面利用高斯定理，可得，rlE,r200例4求均匀带电的无限大平面的场强分布。设电荷面密度为

，如图所示。解：电场分布关于带电平面对称，场强方向垂直于平面（分析作如图所示的圆柱形高斯面，且两底面到带电面的距离相等。利用高斯定理可得

cos

侧面

对于侧面来说，2所以上式可化为12

0所以

0式n为背离带电平面的单位矢量。

rbbbnrbbbn§

电场力功

电势一、电力的功1．在点电Q的电场中，电场力对试探电作的功。q从电场中的点沿任意路径移动到b，电场力作的元功为dAqq

dl1Qqcosr20

14r20

dr式中dl

drq从电场中的a沿任意路径移动到点时，电场力所作的总功为

dA

4

r

drr4rrab

（1）2．在任意电荷系的电场中，电场力对试探电q所作的功（推广ab

a

q(E12n

bqE12

naA1

11i()4rriiaib（2）★结论：试验电荷在任何静电场中移动时，静电场力所做的功只与路径的起点和终点位置有关，而与路径无关，说明静电场力是保守力。

qq3．静电场环路定理如图所示试探电电场中的a经路经L到b再从b点L回12到a点，在这一闭路径中电场力所作的功为EaLL

L

aL

EaL

由于电场力做功与路径无关，所以

ba

E,aLLL

（）★静电场的环路定理）揭示了静电场的能量的性质2表明静电力是保守力。二、电能（电位能由于电场力是保守力，在描述静电场的性质时，引入电势能的概念。由势能的定义，我们可知，静电力的功静电势能增量的负值。分别为试探电在起点a终点的电势能，则，aab

Ecos

（4）对于电势能，通常规定电在无穷远处的静电势能为，即令，则电电场中a的静电势能为dl

（5）★注意1电势能有正有负（2）电势能是属于一定系统的。三、电、电势差W由（5）式知，比值无关，只决定于电场的性质以及场中给定点的位置。W电势：a，是表征静电场中给定点电场性质的物理量。

aacosU

a

表示a的电势，则Wa

a

E

dl

（6）电场中某点的电势在量值上等于放在该点处的单位正电荷的电势能等于单位正电荷从该点经过任意路径到无穷远处电场力所作的功。单位：伏特（V）★注意：电势是标量，可正可负。电势差（电压在静电场中，任意两点和的电势之差。aba

b由（6）式知，

ba

Ecos

（7）由（7）式知：在静电场中两点间的电位差，在数值上等于把单位正电荷从a点移到b点时，电场力所作的功。因此，当任一电q在电场中从a移到点时，电场力所作的功为()abb

（8）★注意：在实际应用中，用到的往往是两点间的电势差，而不是某一点的电势，因此电势为零的点是可以任意选取的。四、电求解问题1．点电荷场中电势的分布设有点电q无限大均匀电介质中产生电场电场中任一点P的（以无穷远处为电势能的零点）为U

Qdr4

r

（9）式中r为P点到的距离为电介质的介电常数。由（9）式可知，带正电，各点电势也是正，离点电荷越远，电势越低，无穷远处电势为零，是电势的最小值；若带负电，各点电势是负的，离点电荷越远，电势越高，无穷远处电势为零，是电势的最大值。若在真空中，则电场中任一点电势为，

nnnnnnUP

P

cos

4

0

r

（102．点电荷的电场中各点的电势在点电荷，„的电场中，根据场强叠加原理，可推知电场中2任一点的电势为，

i

i

niri0i

,(真)

（）iii

i

ri

（12电势叠加原理n个点电荷在某点产生的电势于各个点电荷单独存在时，在该点产生的电势的代数和。3．电荷连分布的带电体的电场中各点的电势对于连续分布的带电体，电场中任一点的电势为，UP

dq4o

r

真空中)

（）UP

dq

无限大均匀电介质中）r

（14例题1求距偶极子相当远处一点的电势。解：如图所示，设偶极子中点O与场点的距离为rrlOPl的夹角，根据电势叠加原理，则P势为，UP

q4

qr401

r0

q(r)214012因rl所以rcos2

，rrr12

2则

UP

qlco4r0其r22y

x

x2y

1211112111U

0

px(x2

32例题2求均匀带电圆环轴线上距环心x处的电势。设圆环半径为R，带电荷为。解：如图所示，在环线上取一线元dl，带电荷为，dq

q

dl在轴线上点的电势为，dU

0

r

0

整个带电圆环在点的电势为，U0

4

0

2

4

0