《运动学和动力学》第十一章 虚位移法

第十一章虚位移法第十一章虚位移法【本章重点内容】约束、广义坐标、自由度和虚位移的概念;应用虚位移法求解平衡问题.第十一章虚位移法§11-2自由度

广义坐标§11-3虚位移§11-4虚位移法§11-5虚位移法的应用§11-1约束及约束方程第十一章虚位移法§11-1约束及约束方程虚位移法是分析力学的基础，其中涉及力的功的概念，因此在动力学中讲述.

用虚位移法来求解机构的平衡问题，常比用刚体平衡方程计算要简单得多.

§11-1约束及约束方程如果系统中各质点的位置和速度受有一定的限制，则称这质点系为非自由质点系，否则为自由质点系.

限制系统各质点位置和速度的这些条件，称为约束.

约束可用数学方程来解析的表达，称为约束方程.

§11-1约束及约束方程例如摆长为l的单摆，摆锤M被限制在铅垂平面内绕轴O作圆周运动.

摆锤M到固定轴O的距离l始终保持不变.

约束条件写成方程为

x2+y2=l2§11-1约束及约束方程如以r和l表示曲柄和连杆的长度，则约束方程为

xA2+yA2=r2(xB-xA)2+(yB-yA)2=l2yB=0§11-1约束及约束方程又例如曲柄滑块机构，简化为曲柄销A和滑块B两个质点组成的质点系.

约束为点A到轴O的距离不变，点A与点B间的距离不变.

点B始终作直线运动.式中，xA、yA和xB、yB分别表示点A与点B的坐标.

摆长l随时间而变化的单摆，是不稳定约束.

若摆长l以速度v缩短，则约束方程为

x2+y2=(l-vt)2约束分类1.稳定约束与不稳定约束约束方程中不显含时间t，即约束不随时间改变，这种约束称稳定约束（或定常约束），否则为不稳定约束（或非定常约束）.§11-1约束及约束方程§11-1约束及约束方程半径为r的车轮沿直线轨道作纯滚动.轮心A至轨道的距离保持不变.其几何约束方程为yA=r2.几何约束与运动约束约束方程中只包含系统各质点的坐标，不包含系统各质点的速度，这种约束称为几何约束.

约束方程中包含系统各质点坐标对时间的导数，即速度，则称这种约束为运动约束.

§11-1约束及约束方程该运动约束称可积的运动约束，它与几何约束没有显著差别.

故统称为完整约束.如果运动约束不可能积分为有限形式，则称非完整约束.现只讨论具有稳定几何约束的系统平衡问题.可写为fj

(x1,y1,z1,…,xn,yn,zn

)=0(j=1,2,…,s)n为质点数，s为约束方程个数.

s应小于3n.

此外，车轮作纯滚动，每一瞬时车轮与轨道接触点C的速度等于零是运动约束.其约束方程可写为

vA-rw=0或积分成为有限的形式§11-1约束及约束方程第十一章虚位移法§11-2自由度广义坐标§11-2自由度广义坐标由n个自由质点组成的质点系，确定该质点系在空间的位置的3n个坐标是独立的.对于非自由质点系由于受到约束作用，各质点的位置坐标尚须满足约束条件，故3n个坐标不完全是独立的.铅垂平面内的双摆运动如图所示.

确定该系统的位置需要4个坐标xA，yA，xB，yB，系统有两个几何约束方程.

xA2+yA2=l12(xB-xA)2+(yB-yA)2=l22因此，系统只有两个坐标是独立的.

曲柄连杆机构中的4个坐标xA，yA，xB，yB中须满足3个约束方程，所以只有一个坐标是独立的.由n个质点组成的质点系，有s个约束方程（s<3n）.

则确定质点系的位置的3n个坐标中，只有3n-s个坐标是独立的.确定一个受完整约束的质点系的位置所需要的独立坐标的数目，称为该质点系自由度的数目，一般称为自由度.由此定义可知，双摆系统有两个自由度，曲柄连杆机构有一个自由度.自由度用k表示，则有k=3n-s§11-2自由度广义坐标知道了质点系的自由度数后，选择k个独立参数来表示质点系的位置就比较方便.表示质点系位置的独立参数称为质点系的广义坐标.

双摆系统有两个自由度，选取q1和q2为此质点系的广义坐标，则摆M1和M2的坐标可表示为

x1=l1sinq1y1=l1cosq1x2=l1sinq1+l2sinq2y2=l1cosq1+l2cosq2§11-2自由度广义坐标曲柄滑块机构有一自由度，可以选取曲柄与x轴之间的夹角j作为广义坐标，则曲柄销和滑块的坐标可表示为§11-2自由度广义坐标或合并成一个矢量式，即ri=ri(q1,q2,…,qk)(i=1,2,…,n)若质点系的约束都是几何约束，则广义坐标数等于质点系的自由度数.§11-2自由度广义坐标由n个质点组成的质点系受有s个稳定约束，具有k个自由度，取q1，q2，…，qk为广义坐标，则质点系内任一质点M1的直角坐标(xi,yi,zi)都可以表示为广义坐标的函数.

xi=xi(q1,q2,…,qk)yi=yi(q1,q2,…,qk)zi=zi(q1,q2,…,qk)第十一章虚位移法§11-3虚位移§11-3虚位移

在给定瞬时，质点系在约束容许的条件下，各质点任何无限小的位移，称为虚位移.

被约束在固定曲面上的质点M，该质点到曲面上相邻各点的无限小位移都是约束所容许的，都是虚位移.如果略去高阶微量，则认为这些虚位移都应当过M点的曲面的切面T上，如d

，d

，…，都是质点M的虚位移.

四连杆机构，在力F和力偶矩M的作用下处于平衡状态.假想给曲柄一无限小的转角dq，这是曲柄OA的虚位移；这时曲柄上的点A沿圆弧的切线方向有相应的虚位移drA，点B绕O1轴转动也有相应的虚位移drB.

杆O1B的虚位移为dj.§11-3虚位移具体问题中时常需要找出质点系中各质点虚位移之间的关系，可以用几何法和解析法求之.

虚位移通常用dr表示，d为变分符号，以与实位移dr区别.虚位移可以是线位移，如dr、dx，ds；也可以是角位移，如dq、dj.

矢量变分dr的方向由图中给出，在算式中取其大小；代数量变分dx、dy与坐标轴的正向一致.

§11-3虚位移虚位移不表示质点实际运动，它与作用在质点上的力、初始条件及时间无关，它完全由约束性质决定；

实位移是质点在实际运动中产生的位移，它与作用在质点上的力、初始条件及时间有关，当然也与约束有关；在稳定约束条件下，质点的实位移是虚位移中的一个，在非稳定约束条件下，实位移不一定是虚位移中的一个.

注意：例11-1两质点M1和M2用长为l的钢杆相连，M1可以沿x轴运动，M2可沿y轴运动.

求两质点虚位移之间的关系.解：（1）几何法.

由于各质点无限小位移之间的关系与其速度间关系相似.

故运动学中求点速度的方法可以用来建立质点虚位移之间的关系.质点M1沿x轴运动，M2沿y轴运动，可将二质点的虚位移ds1与ds2视为速度.

§11-3虚位移瞬心在C点.

设此瞬时杆的角位移为dq，则

ds1=M1C·dq=y2·dq

ds2=M2C·dq=x1·dq可得

x1ds1=y2ds2§11-3虚位移（2）解析法将用广义坐标表示的质点系内任一质点的直角坐标(xi,yi,zi)函数求变分可得§11-3虚位移质点系有一个自由度，选取角q为广义坐标，则x1=lcosq,y2=lsinq对坐标求变分得dx1=–lsinq

·dq

dy2=lcosq

·dq消去dq，则得x1dx1+y2dy2=0由于都是ds1=–dx1,ds2=dy2，结果与前面几何法所得结果相同.

§11-3虚位移例11-2在滑道连杆机构中，当曲柄OC绕轴O摆动时，滑套A沿曲柄自由滑动，而带动杆AB绕轴D转动；已知尺寸如图，求机构在图示位置平衡时，点C和点B的虚位移之间的关系.§11-3虚位移解：用几何法求解.

给曲柄OC一个角位移dj，则曲柄上与滑套A重合的点A'和点C的虚位移分别为drAe与drC，都与曲柄OC垂直，它们的关系为杆AB上的点A和点B的虚位移drA与drB的方向都与杆AB垂直，二者关系为(a)(b)§11-3虚位移将矢量式（c）投影于y轴上得

drA

·sin40°=drAe+0

由关系式（a）、（b）和（d），解得点B与点C的虚位移之间的关系为drC=2.52d

rB把滑块A视为动点，杆OC为动系，则drA为绝对虚位移，当然drAe为牵连虚位移，而drAr为相对虚位移，它沿着杆的方向.

由速度合成定理得(c)(d)§11-3虚位移第十一章虚位移法§11-4虚位移法§11-4虚位移法如果约束力在系统的任何虚位移上所作的元功之和为零，这种约束称为理想约束.理想约束的表达式常见的理想约束有：光滑固定面约束，连接二刚体的光滑铰链，连接两质点的无重杆，不可伸长的绳索.

一般地讲，凡是不考虑摩擦的稳定几何约束都是理想约束.

若给系统虚位移，则主动力作功dW=F·dr，约束力也作功dWN

=FN·dr，称为虚功.

因为虚位移是假想的，虚功也是假想的，故称虚功.

写成解析表达式上两式称为虚功方程.

虚位移法有时称为虚位移原理或虚功原理.

虚位移法：具有稳定理想约束的质点系，在某位置处于平衡的必要与充分条件是作用于此质点系上的所有主动力在该位置的任何虚位移中所作的元功之和等于零.

式中Fix、Fiy、Fiz和dxi、dyi、dzi分别表示主动力Fi和虚位移dri在x、

y、

z轴上的投影.

§11-4虚位移法

以Fi表示作用于质点上的主动力的合力，以dri表示该质点的虚位移，则虚位移法的数学表达式为虚位移法证明1.必要性证明给质点任意虚位移则有把所有质点的n个等式相加，则得

由于质点系具有稳定理想约束，上式中的第二项等于零，所以得§11-4虚位移法

设质点系处于平衡，作用在某质点上的主动力的合力为Fi，约束力的合力为FNi，则必有i2.充分性证明由于约束是稳定的，实位移是虚位移之，于是有

用反证法.

设质点系在所有力的作用下不平衡，质点中的某些质点由静止进入运动状态，作用于其中一个质点上的主动力的合力Fi与约束力的合力FNi必有一合力FR，并产生一实位移dri，它与力FRi的方向相同.

§11-4虚位移法把n个质点的表达式相加，则得或由于约束是理想约束，所以则有这和所有主动力在任何虚位移上作功之和为零的假设矛盾.

所以质点系必然处于平衡.

虚位移法是理想约束的情况下得到的.

当考虑摩擦时，只要在虚功方程中计入摩擦力的虚功即可.§11-4虚位移法第十一章虚位移法§11-5虚位移法的应用§11-5虚位移法的应用例11-3在曲柄式压榨机的中间铰链B上作用一铅垂力F，已知AB=BD=l，∠DAB=j，在图示位置平衡时，求对物体的压力.

解：（1）以机构为研究对象.（2）不计摩擦.机构具有理想约束.

作用于机构上的主动力有F

，被压缩物体给机构的约束力FN视为主动力.

（3）给杆AB一个角位移dj，B点和D点分别有虚位移drB和drD.

（5）计算drB与drD的关系.

由速度投影定理得

drD·cosj=drB·cos(90°–2j)化简后得

drD=2drB·sinj将式（b）代入（a）得(b)§11-5虚位移法的应用（4）计算主动力的虚功，并代入虚功方程

–Fd

rB

cos

j+FN

·

d

rD=0(a)用解析法.

取直角坐标系Axy，点B、D的虚位移按坐标正向给出.

由虚功方程

这是一个自由度的机构，以j为广义坐标，则点B和D的坐标和变分为yB=l·sinj，dyB=l·cosjdjxD=2l·cosj，dxD=–2lsinjdj将dyB、dxD代入（c）有–Flcosjdj–FN(–2lsinj)dj=0因为dj≠0，所以得–FdyB–

FNdxD=0(c)§11-5虚位移法的应用例11-4在角形运动放大器中，AC杆的摆动被BC杆的摆动放大，如图所示，不计杆件自重.已知：输入力矩Min=36N·m，求输出力矩Mou.

解：（1）以图示机构为研究对象.（2）机构具有理想约束.作用于机构的主动力为Min=36N·m，及作用在BC杆上的未知输出力矩Mou

.§11-5虚位移法的应用（5）选BC杆为动参考系，销钉为动点.

—绝对虚位移，—牵连虚位移，—相对虚位移，由几何关系得dra=AC·

dj，dre=BC·dq(b)§11-5虚位移法的应用（3）给AC杆一个逆时针方向的角位移dj，则BC杆有逆时针方向的角位移dq.

（4）计算所有主动力的虚功.

代入虚功方程得–Mindj

+Mou

dq=0(a)而dre=dra·cos30°将式（b）代入（c）得BC·dq=AC·cos30°·dj即将式（d）代入（a），有因dq≠0，所以输出力矩(c)(d)§11-5虚位移法的应用例11-5由四根杆OA、CD、BC和AB组成的平面机构.

O为固定铰链支座，D为滑块，可在水平滑槽内运动，机构尺寸如图.

在B点挂有重物重W

，在杆OA上作用一力偶矩M；为使机构在角j

时保持平衡，求作用在滑块D上的水平力F

.

§11-5虚位移法的应用解：（1）选取机构为研究对象.

（2）机构具有理想约束.

作用于机构上的主动力有重力W，力偶矩M及未知的水平力F

.

（3）给杆OA一个角位移dj，主动力虚位移有：B点的虚位移drB，在y轴方向的分量为dyB，D点的虚位移为dxD.

§11-5虚位移法的应用（4）计算主动力的虚功，代入虚功方程WdyB+Mdj+FdxD=0（5）计算虚位移之间的关系.B、D两点的坐标与j角的关系为

xB=acosjyB=(a+2b)sinjxD=2acosjyD=0(a)(b)§11-5虚位移法的应用对上式取变分，得dxB=–asinjdjdyB=(a+2b)cosjdjdxD=–2asinjdjdyD=0将式（c）中的第二式与第三式代入虚功方程式（a），得(c)§11-5虚位移法的应用W(a+2b)cos

jdj+Mdj

-F·2asinjdj

=0消去dj后，解得例11-6连杆机构中每根杆的质量m=10kg，每根杆长l=1m，水平力F=25N，如图，求连杆机构平衡时的角q为多大.解：（1）选取机构为研究对象.（2）机构具有理想约束.

主动力有水平力F及各杆的自重WC和WD

.

§11-5虚位移法的应用（3）给杆OA一个角位移dq，主动力作用点的虚位移是：二杆的质心都有虚位移，在y轴方向的分量为dyC和dyD，B点虚位移为dxB.（4）计算主动力的虚功，代入虚功方程得WCdyC+WDdyD+FdxB

=0(a)§11-5虚位移法的应用（5）计算虚位移之间的关系.

每根杆的质心坐标及点B的坐标为对上式取变分得(b)(c)§11-5虚位移法的应用消去独立参数变分dq

得所以机构平衡时，q=63°.将式（c）中的坐标变分代入式（a），得§11-5虚位移法的应用例11-7一连续梁ABCDE所受载荷为F1=800N，F2=600N，尺寸如图，试求固定端A的约束力.

§11-5虚位移法的应用解：虚位移法可以通过解除约束求某一约束力.

将此约束力当作主动力看待，利用虚功方程求解.

为求固定端的约束力矩MA，将固定端约束换成固定铰链支座，为保持平衡，加上约束力矩MA，并把它视为主动力.

给梁AB虚位移dj，梁BCD虚位移dq，DE虚位移为db.§11-5虚位移法的应用由图中几何关系可知式（a）中各虚位移间的关系为

drB=AB·dj=BC·dq§11-5虚位移法的应用–MAdj+F1dr1

–F2dr2=0由此求得(a)

MA、F1、F2作用点的虚位移分别dj

、dr1、dr2.

由虚功方程得所以由

drD=CDdq=DEdb所以§11-5虚位移法的应用将dr1和dr2代入式（a）中，则得由虚功方程，得由此求得为求A处约束力Fy，将约束换成与AB杆固接的滑块.加上约束力Fy，并视为主动力使梁AB的平移虚位移为d

rAB，梁BCD的虚位移为dq

′，梁DE的虚位移为db′.力Fy、F1、F2的作用点的虚位移分别为drAB、dr1′、dr2′.

(b)§11-5虚位移法的应用由几何关系

drAB=BCdq'=2.4dq'

所以

dr'1

=CG·dq

'=1.5dq

'

由

dr'D

=CD·dq

'=DE·d

'所以代入式（b），得§11-5