初高中数学衔接知识点专题

初中高中数学知识衔接讲义

专题一数与式的运算【要点回顾】1．绝对值

[1]绝对值的代数意义：．即|a|．[2]绝对值的几何意义：的距离．[3]两个数的差的绝对值的几何意义：ab表示[4]两个绝对值不等式:|x|a(a0)2．乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

[1]平方差公式：；[2]完全平方和公式：[3]完全平方差公式：我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）(abc)2a2b2c22ab2ac2bc⑵立方差公式：a3b3(ab)(a2abb2)⑶立方和公式：a3b3(ab)(a2abb2)（4）完全立方公式：(ab)3a33a2b3ab2b3说明:上述公式均称为“乘法公式”．3．根式

[1]

a0)叫做二次根式，其性质如下：

(1)2

(2)

；

(3)

；|x|a(a0)．

(4)

[2]平方根与算术平方根的概念：a

的平方根，记作xa0)，其

(a0)叫做a的算术平方根．

[3]立方根的概念：叫做a

的立方根，记为x4．分式

[1]分式的意义形如

AB

AB

的式子，若B中含有字母，且B0，则称

AB

为分式．当M≠0时，分式具有

下列性质：（1）；（2）．[2]繁分式当分式

AB

的分子、分母中至少有一个是分式时，

AB

就叫做繁分式，如

mnp2mnp

，

说明：繁分式的化简常用以下两种方法：(1)利用除法法则；(2)利用分式的基本性质．[3]分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程

-1-

【例题选讲】

例1解下列不等式：（1）x21（2）x1x3＞4．

例2计算：

（1

）(x21

3)2（2）(m5112n)(1

25m21

10mn1

4n)2

（3）(a2)(a2)(a44a216)（4）(x22xyy2)(x2xyy2)2

例3已知x23x10，求x

例4已知abc0，求a(1

b1

c)b(1

c1

a)c(1

a1

b)的值．31x3的值．

例5计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：

3（1）

（2）

x1)

（3）

例6

设x

y（4）

，求xy的值．33

-2-

例7化简：（1）

x1x

x

1x

xx

（2）

x3x9x27

2

2

6x9xx

3

x162x

（1）解法一：原式=

x

1xx1x

x

2

x

x(1x)x(x1)(x1)

xx

x

xxx1

xx

x

xxxxx1

x(x1)

2

x(x1)x

2

x1x

解法二：原式=

(1x)xx

1(x)x

x

2

x(1x)x1

2

xxx

2

x1x

x1

（2）解：原式=

x3x9(x3)(x3x9)

2

6xx(9x)

2

x12(3x)(x3)

2

1x3

6(x3)(x3)

x12(x3)

2(x3)12(x1)(x3)

2(x3)(x3)

3x2(x3)

2(x3)(x3)

说明：(1)分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；

(2)分式的计算结果应是最简分式或整式．

【巩固练习】

1．解不等式x3x7

2．

设x

1y

1，求代数式

xxyy

xy

22

的值．

3．当3aab2b0(a0,b0)，求

2

2

ab

ba

abab

22

的值．

4．

设x

12

，求xx2x1的值．

42

5．计算(xyz)(xyz)(xyz)(xyz)

6．化简或计算：

-3-

(1)

3

(2)

(3)

xyy

(4)

★专题二因式分解

【要点回顾】

因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．

因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等．1．公式法

常用的乘法公式：

[1]平方差公式：；[2]完全平方和公式：；[3]完全平方差公式：．[4](abc)2[5]a3b3[6]a3b3

(立方和公式)(立方差公式)

由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，运用上述公式可以进行因式分解．

2．分组分解法

从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如mambnanb既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．常见题型：（1）分组后能提取公因式（2）分组后能直接运用公式3．十字相乘法

（1）x(pq)xpq型的因式分解

这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和．

∵x(pq)xpqxpxqxpqx(xp)q(xp)(xp)(xq)，∴x(pq)xpq(xp)(xq)

运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．

2

（2）一般二次三项式axbxc型的因式分解

2

由a1a2x(a1c2a2c1)xc1c2(a1xc1)(a2xc2)我们发现，二次项系数a分解成a1a2，常数项c

2

22

2

分解成c1c2，把a1,a2,c1,c2写成

2

a1

a2

c12，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2

2

c

a2c1，如果它正好

等于axbxc的一次项系数b，那么axbxc就可以分解成(a1xc1)(a2xc2)，其中a1,c1位于上一行，a2,c2位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．

必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．4．其它因式分解的方法

其他常用的因式分解的方法：（1）配方法（2）拆、添项法

【例题选讲】

-4-

例1（公式法）分解因式：(1)3a3b81b4；(2)a7ab6

例2（分组分解法）分解因式：（1）ab(c2d2)(a2b2)cd（2）2x24xy2y28z2

例3（十字相乘法）把下列各式因式分解：(1)x25x24(2)x22x15

(3)x2xy6y2(4)(x2x)28(x2x)12解：（1）24(3)8,(3)85x25x24[x(3)](x8)(x3)(x8)

（2）15(5)3,(5)32x22x15[x(5)](x3)(x5)(x3)

（3）分析：把x2xy6y2看成x的二次三项式，这时常数项是6y2，一次项系数是y，把6y2分解成3y与2y的积，而3y(2y)y，正好是一次项系数．

解：x2xy6y2x2yx62(x3y)(x2y)

(4)由换元思想，只要把x2x整体看作一个字母a，可不必写出，只当作分解二次三项式a8a12．解：(xx)8(xx)12(xx6)(xx2)(x3)(x2)(x2)(x1)222222

例4（十字相乘法）把下列各式因式分解：(1)12x25x2；(2)5x26xy8y2

解：(1)12x25x2(3x2)(4x1)

3411

52(2)5x26xy8y2(x2y)(5x4y)4y2y

说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．

例5（拆项法）分解因式x33x24

【巩固练习】

1．把下列各式分解因式：

(1)ab(cd)cd(ab)(2)x4mx8mn4n

3223432(3)x64(4)x11x31x21(5)x4xy2xy8y

2．已知ab

-5-22222223,ab2，求代数式ab2abab的值．2222

3．现给出三个多项式，结果因式分解.

4．已知abc0，求证：a3a2cb2cabcb30．

★专题三一元二次方程根与系数的关系

【要点回顾】

1．一元二次方程的根的判断式

一元二次方程ax2bxc0(a0)，用配方法将其变形为：．由于可以用b24ac的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把b24ac叫做一元二次方程

axbxc0(a0)的根的判别式，表示为：b4ac

2

12

xx1，

2

12

x3x1，

2

12

xx，请你选择其中两个进行加法运算，并把

2

2

对于一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0），有

[1]当0时，方程有两个不相等的实数根：；[2]当Δ0时，方程有两个相等的实数根：；[3]当Δ0时，方程没有实数根．2．一元二次方程的根与系数的关系

定理：如果一元二次方程axbxc0(a0)的两个根为x1,x2，那么：

x1x2

,x1x2

2

2

说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是0．

2

特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知

x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，即p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，

222

所以，方程x＋px＋q＝0可化为x－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．因此有

以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．

【例题选讲】

2

例1已知关于x的一元二次方程3x2xk0，根据下列条件，分别求出k的范围：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根（3）方程有实数根；（4）方程无实数根．

-6-

例2已知实数x、y满足x2y2xy2xy10，试求x、y的值．

例3若x1,x2是方程x22x20070的两个根，试求下列各式的值：

(1)x12x22；

(2)

1x1

1x2

；

(3)(x15)(x25)；(4)|x1x2|．

例4已知x1,x2是一元二次方程4kx24kxk10的两个实数根．(1)是否存在实数k，使(2x1x2)(x12x2)(2)求使

x1x2

x2x1

32

成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

2的值为整数的实数k的整数值．

32

解：(1)假设存在实数k，使(2x1x2)(x12x2)

成立．∵一元二次方程4kx24kxk10的两

4k0

k0，又x1,x2是一元二次方程个实数根，∴2

(4k)44k(k1)16k0

4kx4kx

2

x1x21

的两个实数根，∴k10k1

x1x2

4k

k94k

32k

95

222

∴(2x1x2)(x12x2)2(x1x2)5x1x22(x1x2)9x1x2

，但k0．

∴不存在实数k，使(2x1x2)(x12x2)(2)∵

x1x2

x2x1

2

x1x2

x1x2

2

2

32

2

成立．

4

4kk1

4

4k1

2

(x1x2)x1x2

x1x2

x2x1

2的值

∴要使其值是整数，只需k1能被4整除，故k11,2,4，注意到k0，要使为整数的实数k的整数值为2,3,5．【巩固练习】

1．若x1,x2是方程2x6x30的两个根，则

A．2

B．2

2

2

1x112

1x2

的值为(

2

)D．

92

C．

2

2．若t是一元二次方程axbxc0(a0)的根，则判别式b4ac和完全平方式M(2atb)的关系是()A．M

B．M

C．M

D．大小关系不能确定

22

x11,x21是关于x的方程xqxp0的两实根，3．设x1,x2是方程xpxq0的两实根，则p=

-7-

，q．

4．已知实数a,b,c满足a6b,c2ab9，则a，b=_____，c=_____．

5．已知关于x的方程x23xm0的两个实数根的平方和等于11，求证：关于x的方程

(k3)xkmxm6m40有实数根．

2

2

6．若x1,x2是关于x的方程x2(2k1)xk210的两个实数根，且x1,x2都大于1．

★专题四平面直角坐标系、一次函数、反比例函数

【要点回顾】

1．平面直角坐标系

[1]叫做x轴或横轴，叫做y轴或纵轴，x轴与y轴统称坐标轴，他们的公共原点o称为直角坐标系的原点。

[2]平面直角坐标系称y是x的一次函数，记为：ykxb(k、b是常数，k≠0)

特别的，当b=0时，称y是x的正比例函数。

[2]正比例函数的图象与性质：函数y=kx(k是常数，k≠0)象过原点及第一、第三象限，y随x的增大而；当时，图象过原点及第二、第四象限，y随x的增大而．

[3]一次函数的图象与性质：函数ykxb(k、b是常数，k≠0)的图象是过点(0，b)且与直线y=kx平行的

-8-

一条直线.设ykxb(k≠0)，则当时，y随x的增大而；当时，y随x的增大而．

[4]反比例函数的图象与性质：函数yk

x(k≠0)是双曲线，当时，图象在第一、第三象限，在每个象

限中，y随x的增大而；当时，图象在第二、第四象限.，在每个象限中，y随x的增大而．双曲线是轴对称图形，对称轴是直线yx与yx；又是中心对称图形，对称中心是原点．

【例题选讲】

例1已知A2,y1、Bx2,3，根据下列条件，求出A、B点坐标．

(1)A、B关于x轴对称；(2)A、B关于y轴对称；(3)A、B关于原点对称．

例2已知一次函数y＝kx＋2的图象过第一、二、三象限且与x、y轴分别交于A、B两点，O为原点，若ΔAOB的面积为2，求此一次函数的表达式。

例3如图，反比例函数yk

x的图象与一次函数ymxb的图象交于A(1，1)两点．3)，B(n，

（1）求反比例函数与一次函数的解析式；

（2）根据图象回答：当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．

解：（1）A(1，3)在yk

x的图象上，k3，y3

x又B(n，1)在y3

x的图象

3mbn3上，，即B(3，解得：m1，b2，反比例函数的1)，13mb，

3解析式为y，一次函数的解析式为yx2，图（12）x

（2）从图象上可知，当x3或0x1时，反比例函数图象在一次函数图象的上方，所以反比例函数的值大于一次函数的值。

【巩固练习】

1．函数ykxm与ym

x(m0)在同一坐标系）

-9-

x

x

x

x

2．如图，平行四边形ABCD中，A在坐标原点，D在第一象限角平分线上，又知AB

6，AD，求B,C,D点的坐标．

3．如图，已知直线y（1）求k的值；

（2）过原点O的另一条直线l交双曲线y

kx

(k0)于P，Q两点（P点在第一象限），若由点P为顶点

A．

B．

C．

D．

12

x与双曲线y

kx

(k0)交于A，B两点，且点A的横坐标为4．

组成的四边形面积为24，求点P的坐标．

★专题五二次函数

【要点回顾】

1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质

22

问题[1]函数y＝ax与y＝x的图象之间存在怎样的关系？

22

问题[2]函数y＝a(x＋h)＋k与y＝ax的图象之间存在怎样的关系？

由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的方法：由于y＝ax＋bx＋c＝a(x＋

2

2

2

ba

4a2a4a4a

ax＋bx＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数

y＝ax的图象作左右平移、上下平移得到的，

2

x)＋c＝a(x＋

2

ba

x＋

b

22

)＋c－

b

2

a(x

b

)

2

b4ac

2

，所以，y＝

-10-

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下列性质：

[1]当a＞0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口方向；顶点坐标为，对称轴为直

线；当时，y随着x的增大而；当时，y随着x的增大而；当时，函数取最小值．

[2]当a＜0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口方向；顶点坐标为，对称轴为直

线；当时，y随着x的增大而；当时，y随着x的增大而；当时，函数取最大值．

上述二次函数的性质可以分别通过上图直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借

助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．

2．二次函数的三种表示方式

[1]二次函数的三种表示方式：

（1）．一般式：；

（2）．顶点式：；

（3）．交点式：．

说明：确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：

①给出三点坐标可利用一般式来求；

②给出两点，且其中一点为顶点时可利用顶点式来求．

③给出三点，其中两点为与x轴的两个交点(x1,0).(x2,0)时可利用交点式来求．

3．分段函数

一般地，如果自变量在不同取值范围求二次函数y＝－3x2－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．

例2某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关

-11-

多少元？此时每天的销售利润是多少？

例3已知函数yx2,2xa，其中a2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值．

例4根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．

（1）已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1）；

（2）已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2；

（3）已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)．

例5在国（）

（A）（－1，4）（B）（－1，－4）（C）（1，－4）（D）（1，4）

2（2）函数y＝－x＋4x＋6的最值情况是（）

（A）有最大值6（B）有最小值6

（C）有最大值10（D）有最大值2

-12-

（3）函数y＝2x2＋4x－5中，当－3≤x＜2时，则y值的取值范围是（）

（A）－3≤y≤1（B）－7≤y≤1

（C）－7≤y≤11（D）－7≤y＜11

2．填空：

（1）已知某二次函数的图象与x轴交于A(－2，0)，B(1，0)，且过点C（2，4），则该二次函数的表达

式为．

（2）已知某二次函数的图象过点（－1，0），（0，3），（1，4），则该函数的表达式为．

3．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．

（1）已知二次函数的图象经过点A（0，1），B（1，0），C（1，2）；

（2）已知抛物线的顶点为（1，3），且与y轴交于点（0，1）；

（3）已知抛物线与x轴交于点M（3，0），（5，0），且与y轴交于点（0，3）；

（4）已知抛物线的顶点为（3，2），且与x轴两交点间的距离为4．

4．如图，某农民要用12m的竹篱笆在墙边围出一块一面为墙、另三面为篱笆的矩形地供他圈养小鸡．已

知墙的长度为6m，问怎样围才能使得该矩形面积最大？

5．如图所示，在边长为2的正方形ABCD的边上有一个动点P，从点A出发沿折线ABCD移动一周后，回到A点．设点A移动的路程为x，ΔPAC的面积为y．

（1）求函数y的解析式；

C（2）画出函数y的图像；

（3）求函数y的取值范围．

P

图2.2－10

★专题六二次函数的最值问题

【要点回顾】

1．二次函数yaxbxc(a0)的最值．

-13-2

二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况(当a0时，函数在x无最大值；当a0时，函数在xb

2ab2a处取得最小值4acb4a2，处取得最大值4acb

4a2，无最小值．

2．二次函数最大值或最小值的求法．

第一步确定a的符号，a＞0有最小值，a＜0有最大值；

第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．

3．求二次函数在某一范围（2）yx3x4．

2例2当1x2时，求函数yxx1的最大值和最小值．

例3当x0时，求函数yx(2x)的取值范围．

例4当txt1时，求函数y的最小值(其中t为常数)．22

分析：由于x所给的范围随着t的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．xx

-14-22125

解：函数y

12

xx

2

52

的对称轴为x1．画出其草图．

12tt

2

(1)当对称轴在所给范围左侧．即t1时：当xt时，ymin

52

；

12

11

2

(2)当对称轴在所给范围之间．即t1t10t1时：当x1时，ymin(3)

当对称轴在所给范围右侧．即t11t0

12

(t1)(t1)

2

5

2

时：当xt1

3；

时，

ymin

52

12

t3．

2

12

2t3,t0

综上所述：y3,0t1

15

t2t,t1

22

例5某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数m1623x,30x54．

(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件销售价x之间的函数关系式；

(2)若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？

【巩固练习】

2

1．抛物线yx(m4)x2m3，当m=_____时，图象的顶点在y轴上；当m=_____时，图象的顶点在x轴上；当m=_____时，图象过原点．

2．用一长度为l米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为________．

2

3．设a0，当1x1时，函数yxaxb1的最小值是4，最大值是0，求a,b的值．

2

4．已知函数yx2ax1在1x2上的最大值为4，求a的值．

-15-

5．求关于x的二次函数yx22tx1在1x1上的最大值(t为常数)．

★专题七不等式

【要点回顾】

1．一元二次不等式及其解法

[1]

定义：形如

为关于x的一元二次不等式．[2]一元二次不等式ax2bxc0(或0)与二次函数yax2bxc(a0)及一元二次方程

axbxc0的关系(简称：三个二次)．

2

（ⅰ）一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下：(1)将二次项系数先化为正数；(2)观测相应的二次函数图象．

①如果图象与x轴有两个交点(x1,0),(x2,0)，此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根

x1,x2(也可由根的判别式0来判断)．则

②如果图象与x轴只有一个交点(

xxx2

b2a

b2a

,0)，此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根

(也可由根的判别式0来判断)．则：

③如果图象与x轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根(也可由根的判别式0来判断)．则：

（ⅱ）解一元二次不等式的步骤是：

(1)化二次项系数为正；

(2)若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根x1,x2．那么“0”型的解为

xx1或xx2(俗称两根之外)；“0”型的解为x1xx2(俗称两根之间)；

(3)否则，对二次三项式进行配方，变成axbxca(x负数的性质求解．

2．简单分式不等式的解法

-16-

2

b2a

)

2

4acb4a

2

，结合完全平方式为非

解简单的分式不等式的方法：对简单分式不等式进行等价转化，转化为整式不等式，应当注意分母不为零.

3．含有字母系数的一元一次不等式

一元一次不等式最终可以化为axb的形式．

[1]当a0时，不等式的解为：x

[2]当a0时，不等式的解为：xbab；；a

[3]当a0时，不等式化为：0xb；

①若b0，则不等式的解是全体实数；②若b0，则不等式无解．

【例题选讲】

例1解下列不等式：(1)x2x60(2)(x1)(x2)(x2)(2x1)

x30

x20⑴解法一：原不等式可以化为：(x3)(x2)0，于是：或

x30x3x3或x3或x2所以，原不等式的解是x3或x2．x2x2x20

解法二：解相应的方程x2x60得：x13,x22，所以原不等式的解是x3或x2．

(2)解法一：原不等式可化为：x24x0，即x24x0x(x4)0于是：

x0x0或x0或x4，所以原不等式的解是x0或x4．x40x40

解法二：原不等式可化为：x24x0，即x24x0，解相应方程x24x0，得x10,x24，所以原不等式的解是x0或x4．

说明：解一元二次不等式，实际就是先解相应的一元二次方程，然后再根据二次函数的图象判断出不等式的解．

例2解下列不等式：(1)x22x80(2)x24x40(3)x2x20

2例3已知对于任意实数x，kx2xk恒为正数，求实数k的取值范围．

例4解下列不等式：(1)2x3

x10(2)1

x23

2例5求关于x的不等式mx22mxm的解．

解：原不等式可化为：m(m2)xm2

(1)当m20即m2时，mx1，不等式的解为x

(2)当m20即m2时，mx1．

-17-1m；

①0m2时，不等式的解为x

②m0时，不等式的解为x1

m1m；；

③m0时，不等式的解为全体实数．

(3)当m20即m2时，不等式无解．

综上所述：当m0或m2时，不等式的解为x1

m；当0m2时，不等式的解为x1

m；当m0

时，不等式的解为全体实数；当m2时，不等式无解．

【巩固练习】

1．解下列不等式：

(1)2x2x0(2)x23x180

(3)x2x3x1(4)x(x9)3(x3)

2．解下列不等式：

(1)x1

x10(2)3x1

2x12(3)2

x1(4)2xx1

2x120

3．解下列不等式：

(1)x22x2x22(2)1

2x21

3x1

50

4．解关于x的不等式(m2)x1m．

25．已知关于x的不等式mxxm0的解是一切实数，求m的取值范围．

6．若不等式x2

k1x3

k2的解是x3，求k的值．

27．a取何值时，代数式(a1)2(a2)2的值不小于0？

-18-

●各专题参考答案●

专题一数与式的运算参考答案

例1（1）解法1：由x20，得x2；①若x2，不等式可变为x21，即x3；②若x2，不等式可变为(x2)1，即x21，解得：x1．综上所述，原不等式的解为1x3．

解法2：x2表示x轴上坐标为x的点到坐标为2的点之间的距离，所以不等式x21的几何意义即为x轴上坐标为x的点到坐标为2的点之间的距离小于1，观察数轴可知坐标为x的点在坐标为3的点的左侧，在坐标为1的点的右侧．所以原不等式的解为1x3．

解法3：x211x211x3，所以原不等式的解为1x3．

（2）解法一：由x10，得x1；由x30，得x3；①若x1，不等式可变为(x1)(x3)4，即2x4＞4，解得x＜0，又x＜1，∴x＜0；②若1x2，不等式可变为(x1)(x3)4，即1＞4，∴不存在满足条件的x；③若x3，不等式可变为(x1)(x3)4，即2x4＞4，解得x＞4．又x≥3，∴x＞4．综上所述，原不等式的解为x＜0，或x＞4．

解法二：如图，x1表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|PA|＝|x－1|；|x－3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－3|．可知点P在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧．所以原不等式的解为x＜0，或x

＞4．

2

|x－3||x－1|

2

所以，不等式x1x3＞4的几何意义即为|PA|＋|PB|＞4．由|AB|＝2例2（1）解：原式=[x(

)

](x)

()()2x(x2x

3

3

1

2222

1

22

13

2

13

()

x

1

43

83

x

2

3

3

x

19

说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列．（2）原式=(m)(n)

5

2

4

2

2

3

11125

22

m

3

18

2

n

3

3

6

3

（3）原式=(a4)(a4a4)(a)4a64

（4）原式=(xy)(xxyy)[(xy)(xxyy)](xy)x2xyy

2

例3解：x3x10x0x

2

2

2

2

2

2

3

3

2

6

3

3

6

1x

2

3

2

原式=(x

1

xxxx

例4解：abc0,abc,bca,cab

)(x1

2

1

)(x2

1

)[(x

1

)3]3(33)18

原式=a

3

3

bcbc

b

acac

c

2

abab

a(a)bc

2

b(b)ac

3abc

abc

3

c(c)ab

abc

abc

333

①

ab(ab)[(ab)3ab]c(c3ab)c3abc

abc3abc②，把②代入①得原式=

333

3

例5解：（1

）原式

3(2

2

23

6（2）原式=|x1||x2|

(x1)(x2)2x3(x2)(x1)(x2)1(1x2)

-19-

说明：

|a|的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．

（3）原式

=ab

（4）原式

=例6解

：x237y7xy14,xy1

原式=(xy)(x2xyy2)(xy)[(xy)23xy]14(1423)2702

说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量．

【巩固练习】

1．4x32．

3．3或24

．3

3,

3y,

45．x4y4z42x2y22x2z22y2z26．13,

2

专题二因式分解答案

例1分析：(1)中应先提取公因式再进一步分解；(2)中提取公因式后，括号a(ab)(ab)(aabb)(aabb)2222

例2（1）分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式．解：ab(c2d2)(a2b2)cdabc2abd2a2cdb2cd(abc2a2cd)(b2cdabd2)

ac(bcad)bd(bcad)(bcad)(acbd)

（2）分析：先将系数2提出后，得到x2xyy4z，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．

解：2x4xy2y8z2(x2xyy4z)2[(xy)(2z)]2(xy2z)(xy2z)例5解：x3x4(x1)(3x3)(x1)(xx1)3(x1)(x1)

(x1)[(xx1)3(x1)](x1)(x4x4)(x1)(x2)2223232222222222222

【巩固练习】

1．(1)(bcad)(acbd);(2)(x4m2n)(x2n);(3)(x4x8)(x4x8);

(4)(x1)(x3)(x7);(5)(x2y)(x2y)．222

2．28

3

1

2；xx1)(

1

2

1

223．(122x3x1)x4xx(x4)12xx)x1(x1)(x1)；12xx)x2x1(x1).

22222222其他情况如下：((322xx1)(2x3x1)(324．aacbcabcb(aabb)(abc)

-20-

专题三一元二次方程根与系数的关系习题答案

例1解：∵(2)243k412k，∴(1)412k0k

(3)412k0k

13

13

；(2)412k0k

13

；

；(4)412k0k

13

．

例2解：可以把所给方程看作为关于x的方程，整理得：x2(y2)xy2y10

由于x是实数，所以上述方程有实数根，因此：[(y2)]24(y2y1)3y20y0，代入原方程得：x22x10x1．综上知：x1,y0例3解：由题意，根据根与系数的关系得：x1x22,x1x22007

(1)x12x22(x1x2)22x1x2(2)22(2007)4018(2)

1x1

1x2

x1x2x1x2

22007

22007

(3)(x15)(x25)x1x25(x1x2)2520075(2)251972

(4)|x1x2|

1x1

1x2

x1x2x1x2

说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：x12x22(x1x2)22x1x2，

，(x1x2)2(x1x2)2

4x1x2，|x1x2|

韦达定理体现了

整体思想．【巩固练习】

1．A；2．A；3．p1,q3；4．a3,b3,c0；5．m1(1)当k3时，方程为

3x10，有实根；(2)当k3时，0也有实根．6．(1)k

34

且k1；(2)k7．

专题四平面直角坐标系、一次函数、反比例函数参考答案

例1解：(1)因为A、B关于x轴对称，它们横坐标相同，纵坐标互为相反数，所以x22，y13，则A2,3、B2,3．

(2)因为A、B关于y轴对称，它们横坐标互为相反数，纵坐标相同，所以，x22，y13，则A2,3、B2,3．

(3)因为A、B关于原点对称，它们的横纵坐标都互为相反数，所以x22，y13，则A2,3、B2,3．

例2分析：因为直线过第一、三象限，所以可知k>0，又因为b＝2，所以直线与y轴交于（0，2），即可知OB＝2，而ΔAOB的面积为2，由此可推算出OA＝2，而直线过第二象限，所以A点坐标为（－2，0），由A、B两点坐标可求出此一次函数的表达式。

解：∵B是直线y＝kx＋2与y轴交点，∴B（0，2），∴OB＝2，又SAOB

12

AOBO2，AO2

yx2又ykx2，过第二象限，A(2，0)把x12，y10代入ykx2中得k1，

【巩固练习】

1．B2．D(2，2)、C(8，2)、B(6，0)．3．（1）k8．（2）点P的坐标是P(2，4)或P(8，1)．

专题五二次函数参考答案

22

例1解：∵y＝－3x－6x＋1＝－3(x＋1)＋4，∴函数图象的开口向下；对称轴是直线x＝－1；顶点坐标为

-21-

(－1，4)；

当x＝－1时，函数y取最大值y＝4；

当x＜－1时，y随着x的增大而增大；当x＞－1时，y随着x的增大而减小；采用描点法画图，选顶点A(－1，4))，与x轴交于点

B(

3

3

,0)和

C(

3

3

,0)与y轴的交点为D(0，1)，过这五点画出图象（如图2－5所示）．

说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．例2分析：由于每天的利润＝日销售量y×(销售价x－120)，日销售量y又是销售价的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，x之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值．解：由于y是x的一次函数，于是，设y＝kx＋（B），将x＝130，y＝70；x＝150，y50代入方程，有

70130kb,50150kb,

解得k＝－1，b＝200．∴y＝－x＋200．

设每天的利润为z（元），则z＝(－x+200)(x－120)＝－x2＋320x－24000＝－(x－160)2＋1600，∴当x＝160时，z取最大值1600．

答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元．

例3分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值进行讨论．

2

解：（1）当a＝－2时，函数y＝x的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x＝－2；

（2）当－2＜a＜0时，由图2．2－6①可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝a时，函数取

2

最小值y＝a；

（3）当0≤a＜2时，由图2．2－6②可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝0时，函数取最小值y＝0；

2

（4）当a≥2时，由图2．2－6③可知，当x＝a时，函数取最大值y＝a；当x＝0时，函数取最小值y＝0．

③①

说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a的所有可能情形进行讨论．此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题．

例4（1）分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a．解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，∴顶点的纵坐标为2．又顶点在直线y＝x＋1上，所以，2＝x＋1，∴x＝1．∴顶点坐标是（1，2）．设该二次函数的解析式为ya(x2)1(a0)，∵二次函数的图像经过点（3，－1），∴1a(32)1，解得a＝－2．∴二次函数的解析式为y2(x2)1，即y＝－2x2＋8x－7．

2

2

2

②

说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．

（2）分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．

解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴可设二次函数为y＝a(x＋3)(x－1)(a≠0)，展开，

-22-

得y＝ax＋2ax－3a，顶点的纵坐标为2，∴|－4a|＝2，即a＝

12

2

12a4a

4a

22

4a，由于二次函数图象的顶点到x轴的距离

12xx

2

．所以，二次函数的表达式为y＝

32

，或y＝－

12

xx

2

32

．

分析二：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x＝－1，又由顶点到x轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式．

解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴对称轴为直线x