力学竞赛辅导

力学竞赛辅导第一页，共176页。一.质点运动学第二页，共176页。1．质点运动的一般描述1.1运动方程与轨道方程轨道方程运动方程P(x,y)xOyxy（一）基本知识第三页，共176页。1.2速度反映质点运动的快慢和方向的物理量

瞬时速度沿轨道切线方向第四页，共176页。1.3加速度

反映速度（大小和方向）变化快慢的物理量

加速度与速度的方向一般不同。xOzyvAvvBABrArBvAvB(a)(b)第五页，共176页。gyv0Ox2.抛体运动速度：运动方程：轨道方程：第六页，共176页。推论gyv0Ox第七页，共176页。甲乙sh第八页，共176页。3.1圆周运动的加速度RPxOP0s0n0avaan3.圆周运动第九页，共176页。3.2圆周运动的角量描述角位置：=(t)角速度:

角加速度:

3.3角量和线量的关系RPxO

P0s第十页，共176页。xySOPrr04.相对运动4.1运动描述与参照系：对物体运动的描述与参照系有关——位移、速度、加速度的测量与参照系有关。

4.2不同参照系间位移、速度和加速度的变换

绝对速度=牵连速度+相对速度第十一页，共176页。aana1.一般曲线运动1.1一般曲线运动中的加速度（二）拓展知识第十二页，共176页。1.2曲率半径的物理求法椭圆的曲率半径：AByxOab轨道方程：对应运动方程：A点：同理：第十三页，共176页。抛物线的曲率半径：yxO轨道方程：对应运动方程：其中：第十四页，共176页。2.连体运动问题解题方法一：运动的分解情形1：两物体通过刚性细杆或不可伸长的绳子相连，他们在连线方向的位移、速度和加速度相等。v2v1情形2：两刚性物体接触点的速度沿法向分量相等。v1v2第十五页，共176页。情形3：两直线相交点的运动等于各直线沿对方直线方向运动的合运动：Pv1v2v1v2第十六页，共176页。hv0v0v||解：第十七页，共176页。Pv0vP例1.2如图示，一半径为R的半圆柱体沿水平方向以速度v0作匀速运动。求杆与半圆柱体的接触点P的角位置为时竖直杆运动的速度。解：RO第十八页，共176页。例1.3

水平直杆AB在半径为R的固定圆圈上以匀速v0竖直下落，如图所示，试求套在该直线和圆圈的交点处小环M的速度。OMRv0v0v2v1v0解：第十九页，共176页。A对B：解题方法二：运动的合成（相对运动）一个物体同时参与两种运动实质上是参照系的转换：B对地：A对地：第二十页，共176页。例1.4

如图，缠在线轴上的绳子一头搭在墙上的光滑钉子A上。今以恒定速度v拉绳，当绳与竖直方向夹角为时，求线轴中心O的运动速度v。设线轴的外半径为R，内半径为r，线轴沿水平面作无滑动滚动。ABCrROv第二十一页，共176页。解：情况1：线轴座逆时针方向转动。设转动角速度为。ABCrROvvOB点相对于地面的速度：B点相对O的速度大小：vB沿绳子方向的分量与v相等：…….（1）线轴与地面无滑动：……..….（2）联立（1）、（2）得:……..…..….（3）由式（3）可知，情况1出现的条件为：第二十二页，共176页。情况2：线轴座顺时针方向转动。同理可得：出现情况2的条件为：ABCrROvvO第二十三页，共176页。例1.5续例1.1，求重物上升的加速度。hv0vv||O第二十四页，共176页。以地面为参照系，A的加速度以O点为参照系，绳子末端A作圆周运动，其加速度沿绳子方向的分量，即向心加速度大小为解：第二十五页，共176页。例1.6续例1.2，求竖直杆运动的加速度。PRO以圆心O为参照系，P点作圆周运动，其速度大小为：P点相当于地面的加速度：向心加速度：vP第二十六页，共176页。关键：找出各物体间位移间的关系，进而得到速度、加速度之间的关系。解题方法三：微积分第二十七页，共176页。yhxv0第二十八页，共176页。解：第二十九页，共176页。Pv0vP例1.8如图示，一半径为R的半圆柱体沿水平方向以速度v0作匀速运动。求杆与半圆柱体的接触点P的角位置为时竖直杆运动的速度和加速度。yRxOA第三十页，共176页。解：第三十一页，共176页。例1.9

水平直杆AB在半径为R的固定圆圈上以匀速v0竖直下落，如图所示，试求套在该直线和圆圈的交点处小环M的速度和加速度。OMRv0v0xy第三十二页，共176页。解：第三十三页，共176页。1.两辆汽车的挡风玻璃与水平方向的夹角分别为

。冰雹竖直下落，打在玻璃上，两司机都看到冰雹从玻璃上反弹后竖直向上运动，求两车速率之比。（假设碰撞前后相对速度遵循反射定律）第三十四页，共176页。2.如图所示，一串相同的汽车以等速v沿宽度为c的直公路行驶，每车宽为b，头尾间距为a，则人能以最小速率沿一直线穿过马路所用时间为多少？vV-vu相对速度：V牵连速度：v绝对速度：uθθ第三十五页，共176页。13．

在掷铅球时，铅球出手时距地面的高度为h，若出手时速度为v0，求以何角度掷球时，水平射程最远？最远射程为多少？gyv0Oxh(-h,x)第三十六页，共176页。vtvy=gtv0第三十七页，共176页。ABCv’ABCO14．A、B、C三只猎犬站立的位置构成一个边长为a的正三角形，每只猎犬追捕猎物的速度均为v，A犬想追捕B犬，B犬想追捕C犬，C犬想追捕A犬，为追捕到猎物，猎犬不断调整方向，速度方向始终“盯”住对方，它们同时起动，经多长时间可捕捉到猎物？第三十八页，共176页。ABCvvv解法二：在AB连线上，相对距离为a，相对速度为vA对B。解法三：设在一个极短的时间Δt内，猎犬做匀速直线运动，正三角形边长依次变为a1、a2、a3、…、an。第三十九页，共176页。15．一只狐狸以不变的速度v1沿着直线AB逃跑，一只猎犬以不变的速率v2追击，其运动方向始终对准狐狸。某时刻狐狸在F处，猎犬在D处，FD⊥AB，且FD=L，如图所示，求猎犬的加速度的大小。第四十页，共176页。二.静力学第四十一页，共176页。1.摩擦角1）全反力:接触面上弹力和摩擦力的合力称为全反力，也叫约束反力。NRf2）摩擦角：全反力与界面法线方向所成的最大夹角叫摩擦角。GRR第四十二页，共176页。2.刚体平衡条件（一般物体的平衡条件）1）物体受力的矢量和为零：2）对矩心的合力矩为零重要推论：刚体受三个非平行力作用而平衡时，此三个力的合力为零，而且这三个力的力线（含延长线）相交于一点。第四十三页，共176页。3.刚体平衡的稳定性

满足平衡条件的刚体，若受到扰动，便离开平衡位置。若它会自动回到平衡位置，则称为稳定平衡；若它会更远离平衡位置，则称为不稳定平衡；若平衡位置的周围仍是平衡位置，则称为随遇平衡。稳定平衡不稳定平衡随遇平衡第四十四页，共176页。yxCO4.质心第四十五页，共176页。5．质心运动定理

系统质心加速度的大小与于所受的合外力大小成正比，与系统的总质量成反比，加速度的方向沿合外力的方向。

内力不影响系统质心的运动。第四十六页，共176页。例2.1

匀质杆OA重P1，长为l1，能在竖直平面内绕固定铰链O转动，此杆的A端用铰链连另一重为P2、长为l2的均匀杆AB，在AB杆的B端加一水平力F。求平衡时此两杆与水平线所成的角度与的大小，以及OA与AB间的作用力。P1P2FOAB第四十七页，共176页。解：以AB为研究对象，有（1）以OA+AB为研究对象，有P1P2FOAB第四十八页，共176页。以AB为研究对象，其所受的合力为零，因此（2）P2FABNN的方向与水平线的夹角满足：第四十九页，共176页。第五十页，共176页。PiPi-1Bi-1Ai-1AiP1P6mgB6A6A1C解：设任一小突起Ai对其的压力为Pi，则（i=2…6）考虑薄片A6B6，根据力矩平衡条件可得第五十一页，共176页。例2.3

用20块质量均匀分布的相同光滑积木块，在光滑水平面上一块叠一块地搭成单孔桥，如图所示。已知每一积木块的长度为l，横截面是边长为h＝l/4的正方形。要求此桥具有最大跨度（即桥孔底宽）。试计算跨度与桥孔高度的比值。HhlL第五十二页，共176页。……123410解：第五十三页，共176页。例2.4

有一半径为R的圆柱A，静止在水平地面上，并与竖直墙面相接触。现有另一质量与A相同，半径为r的较细圆柱B，用手扶着圆柱A，将B放在A的上面，并使之与墙面相接触，如图所示，然后放手。己知圆柱A与地面的静摩擦系数为0.20，两圆柱之间的静摩擦系数为0.30。若放手后，两圆柱体能保持图示的平衡，问圆柱B与墙面间的静摩擦系数和圆柱B的半径的值各应满足什么条件？BArR第五十四页，共176页。

对A球：对B球：解：联立（1）~（6）解得：（1）（2）（3）（4）（5）（6）第五十五页，共176页。圆柱B与墙面的接触点不发生滑动：圆柱A在地面上不发生滑动：两圆柱的接触点不发生滑动：综合上述结果，可得到r满足的条件：第五十六页，共176页。三.牛顿运动定律第五十七页，共176页。（一）基本知识第五十八页，共176页。第一定律：定性反映了物体的运动与其受力之间的关系，引入惯性参照系的概念。第二定律：定量性反映了物体的运动规律与其受力之间的关系：第三定律：反映了力的来源：力来自物体间的相互作用。——正是由于物体间的相互作用使得物体的运动状态不断发生改变，使得自然界不断地变化发展。1．牛顿运动定律第五十九页，共176页。2．自然界中的力2.1万有引力mMFr

任何物体之间都存在的相互吸引力：第六十页，共176页。2.2重力：使物体产生重力加速度的力。

重力来源于地球对物体的引力，若忽略地球的惯性离心力，则——重力加速度与物体质量无关第六十一页，共176页。2.3弹力：物体由于形变而对引起形变的物体产生的作用力。2.4摩擦力：相互接触的物体间产生的一对阻止相对运动或相对运动趋势的力。滑动摩擦力：

摩擦力总是阻止相对运动。（在弹性范围内）弹簧：第六十二页，共176页。（二）拓展知识第六十三页，共176页。接触面:沿法线方向N1．关于弹力1.1弹力的大小微小形变——微小振动为简谐振动1.2弹力的方向:弹力的方向总是与形变方向相反.杆：较复杂绳子：沿绳子方向TFFnF第六十四页，共176页。1.3弹簧的串联与并联Fk1k2k1k2F第六十五页，共176页。2．关于摩擦力2.1摩擦力的大小

两接触物体相对滑动的条件：fs=N无滑动：决定于物体的运动和所受的其他力：有滑动：摩擦力的方向总是沿接触面切线方向。2.2摩擦力的方向Nf无滑动：决定于物体的运动和所受的其他力：有滑动：与相对运动速度方向相反。第六十六页，共176页。2.3摩擦力的作用时间可能有两种情况：hvMmV0V0v0=0第六十七页，共176页。解：第六十八页，共176页。第六十九页，共176页。解：第七十页，共176页。hvMmV0

例3.3一质量为M的平板沿光滑水平面以速度V0运动。质量为m的小球从h处落下，与平板发生碰撞后弹起，已知小球弹起时沿竖直方向的分速度大小与碰撞前速度大小之比为e，球与平板间的摩擦系数为。求小球碰撞后的速度与水平方向的夹角。第七十一页，共176页。解：情况1：tf=tNtf=tN的条件：vxV，即hvMmvxvyV第七十二页，共176页。情况2：tf<tNtf<tN的条件：hvMmvxvyV第七十三页，共176页。3.非惯性参照系的动力学问题惯性系:牛顿定律成立的参考系。一切相对于惯性系作匀速直线运动的参考系也是惯性系。非惯性系:相对于惯性系作加速运动的参考系。在非惯性系内牛顿定律不成立。3.1惯性参照系与非惯性参照系3.2非惯性参照系中的牛顿第二定律第七十四页，共176页。mM第七十五页，共176页。mgN1xyYX解：第七十六页，共176页。

例3.5

在光滑的水平桌面上有质量为m的小车C，车上有质量为4m和m的立方块A和B，它们与小车表面之间的摩擦系数=0.5。今用一恒力F沿水平方向作用在滑轮上。求A、B、C的加速度。mm4mFABC第七十七页，共176页。解：AF/2fABF/2fB第一种情况：A、B与小车间均无相对滑动。A、B与小车间无相对滑动的条件：第七十八页，共176页。BF/2fBmm4mFABC第七十九页，共176页。mm4mFABC第八十页，共176页。结论：第八十一页，共176页。AOa第八十二页，共176页。O解：无滑动条件：f<N第八十三页，共176页。为使大、小环间始终无滑动，以上不等式对任意都要成立。因此令第八十四页，共176页。mmv0M例3.7

如图所示，长为2l的轻绳，两端各系一个质量为m的小球，中央系一个质量为M的小球，三球均静止于光滑的水平桌面上，绳处于拉直状态，三球在一条直线上。今给小球M以一个冲量，使它获得水平速度v0，v0的方向与绳垂直。求：（1）M刚受冲量时绳上的张力；（2）在两端的小球发生碰撞前瞬间绳中的张力。第八十五页，共176页。解：（1）以M为参照系，m绕M作以速度v0作圆周运动。M刚受冲量时，绳子对M的作用合力为零，M为惯性参照系，因此（2）mmv0MT1T1M第八十六页，共176页。以M为参照系，m绕M以速度v

作圆周运动。此时M有加速度aM，为非惯性参照系。MM第八十七页，共176页。四:动量和能量第八十八页，共176页。一、动量与冲量1.动量：

动量是状态量；动量是矢量：动量的方向就是速度的方向；动量与动能之间的互换式：2.冲量：

冲量是过程量：反映力的时间积累效应；冲量是矢量：冲量的方向由力的方向决定；第八十九页，共176页。*.变力的冲量t0ttiti+titFO力对时间的平均值

第九十页，共176页。二、动量定理1.内容：物体所受合外力的冲量等于物体动量的变化量。研究对象可以是单个物体，也可以是系统。2.表达式：3.定性应用：4.定量计算：选对象，定过程，列方程。第九十一页，共176页。三、动量守恒定律

系统不受外力或者受外力的合力为0，则系统动量守恒。

系统受外力，但外力远小于内力（如碰撞等），则系统动量守恒。

若系统在某一方向所受的合力的冲量为零，则该方向动量守恒。第九十二页，共176页。*.动量定理、定理守恒定律与参考系动量定理、动量守恒定律只适用于惯性参照系。在非惯性参照系中使用动量定理，需计入惯性力的冲量；在非惯性参照系中，动量守恒定律的适用条件为外力与惯性力的合力为零.。第九十三页，共176页。四、碰撞第九十四页，共176页。（1）弹性碰撞：e=1,（2）完全非弹性碰撞：e=0,第九十五页，共176页。五、动能定理1.质点的动能定理：文字表述：合外力对物体做的总功等于物体动能的变化量。2．质点组的动能定理文字表述：外力做的功和内力做功之和等于质点组（系统）动能的变化量。第九十六页，共176页。六、势能1.保守力：做功只与物体的始、末位置有关，而与物体的运动路径无关的力。3.特点：系统共有，相对值，位置的函数重力势能:弹力势能:引力势能:第九十七页，共176页。七、功能原理机械能守恒定律1.功能原理2.机械能守恒定律封闭保守系统：第九十八页，共176页。yxCO1.质心八、质心运动定理第九十九页，共176页。2．质心运动定理

系统质心加速度的大小与于所受的合外力大小成正比，与系统的总质量成反比，加速度的方向沿合外力的方向。

内力不影响系统质心的运动。第一百页，共176页。九、柯尼希定理质点系动能等于质心动能与体系相对于质心系的动能之和。此结论称为柯尼希定理。特别地：两质点构成的质点系统的总动能为推论：质心参照系中两质点构成的质点系统的总动能为第一百零一页，共176页。

例4.1

如图所示，四个相等质量的质点由三根不可伸长的绳子依次连接，置于光滑水平面上，三根绳子形成半个正六边形保持静止。今有一冲量作用在质点A，并使这个质点速度变为u，方向沿绳向外，试求此瞬间质点D的速度uABCD第一百零二页，共176页。ABCDI1I1I2I2I3I3I0uu1u2600600u：A的速度或B的速度在B、A连线方向的分量u1：B或C的速度在C、B连线方向的分量u2：D的速度或C的速度在D、C连线方向的分量第一百零三页，共176页。解：B球：C球：D球：联立以上各式，解得：第一百零四页，共176页。第一百零五页，共176页。第一百零六页，共176页。解：第一百零七页，共176页。根据（1）—（5）可得第一百零八页，共176页。mmOMmgN第一百零九页，共176页。解：（1）

以上不等式有解：第一百一十页，共176页。

即开始上升时，

第一百一十一页，共176页。MmvRV第一百一十二页，共176页。解：第一百一十三页，共176页。脱离球面的条件：N＝0，则第一百一十四页，共176页。MmRO第一百一十五页，共176页。MmOO'yxyxsR解：

第一百一十六页，共176页。五.角动量定理角动量守恒定律第一百一十七页，共176页。1．力矩dOMFPr第一百一十八页，共176页。质点对参考点O的角动量定义为：2．质点的角动量mdOLvr第一百一十九页，共176页。3．质点的角动量定理和角动量守恒定律——质点的角动量守恒

角动量守恒，动量未必守恒第一百二十页，共176页。4．质点系的角动量定理和角动量守恒定律——质点系的角动量守恒

内力不改变系统的总角动量第一百二十一页，共176页。FmR第一百二十二页，共176页。解：FmR第一百二十三页，共176页。例5.2

如图所示，质量为m的小球B放在光滑的水平槽内，现以一长为

l的细绳连接另一质量为m的小球A，开始时细绳处于松弛状态,A与B相距为l/2。球A以初速度v0在光滑的水平地面上向右运动。当A运动到图示某一位置时细绳被拉紧，试求B球开始运动时速度vB的大小。l/2lBAA300vAyvAxvBvA第一百二十四页，共176页。解：第一百二十五页，共176页。第一百二十六页，共176页。m2mlAOlBBA12机械能守恒:角动量定理：（1）解：第一百二十七页，共176页。对小球1：同理对小球2：

.lOl22mgf11N1f2N2mg第一百二十八页，共176页。

.lOl22mgf11N1f2N2mg第一百二十九页，共176页。

初速度的方向与水平线的夹角：得任意t时刻球2的位置坐标：第一百三十页，共176页。球2脱离细杆时，第一百三十一页，共176页。第一百三十二页，共176页。解：（1）螺旋环的角动量：角动量守恒：第一百三十三页，共176页。（2）根据角动量守恒和机械能守恒定律解得：第一百三十四页，共176页。另解：（1）

第一百三十五页，共176页。（2）

第一百三十六页，共176页。六.万有引力与天体运动第一百三十七页，共176页。1.开普勒三定律第一定律：行星围绕太阳运动的轨道为椭圆，太阳在椭圆轨道的一个焦点上。第二定律：行星与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积：第三定律：各行星绕太阳运动的周期平方与轨道半长轴立方之比值相等：第一百三十八页，共176页。2.万有引力与引力势能2.1万有引力2.2引力势能第一百三十九页，共176页。解：

rSr第一百四十页，共176页。例6.2

地球和太阳的质量分别为m和M

，地球绕太阳作椭圆运动，轨道的半长轴为a，半短轴为b

，如图所示。试求地球在椭圆顶点A、B、C三点的运动速度大小及轨迹在A、B、C三点的曲率半径。MmACObaB第一百四十一页，共176页。解：A、B两点：MmvAAvCCObacaBvB第一百四十二页，共176页。A、C两点：MmvAAvCCObacaBvB第一百四十三页，共176页。例6.3

质量为M的宇航站和对接上的质量为m的飞船沿圆形轨道绕地球运动着，其轨道半径是地球半径的n倍（n＝1.25）。某一瞬时，飞船从宇航站沿原运动方向射出后沿椭圆轨道运动，其最远点到地心的距离为8nR，求质量m/M为何值时，飞船绕地球运行一周后正好与宇航站相遇？mMM+mM0第一百四十四页，共176页。解：M+m：m：M+mM0unRmv1nR8nR第一百四十五页，共176页。设M的最近点到地心的距离为x，则M：MM0v2nRx第一百四十六页，共176页。mMM0nRx8nR第一百四十七页，共176页。第一百四十八页，共176页。MCmRr（1）解：第一百四十九页，共176页。设地球绕太阳作圆周运动，则（2）若M＝MS，则第一百五十页，共176页。七.简谐振动第一百五十一页，共176页。1．简谐振动的基本概念1.1简谐振动的定义物体在运动过程中所受的合力与离开平衡位置的位移成正比而方向相反，