杨辉三角的研究课课件

杨辉三角的研究课11111111111332446551010复习1、什么是杨辉三角？111121133114641151010511615201561172135352171182856705628811936841261268436911104512021025221012045101111551653304624623301655511111266220495792924792495220661211137828671512871716171612877152867813111491364100120023003343230032002100136491141

1111211331146411510105116152015611721353521711828567056288119368412612684369111045120210252210120451011115516533046246233016555111112662204957929247924952206612111378286715128717161716128771528678131114913641001200230033432300320021001364911412、杨辉三角蕴含的二项式性质（1）表中每个数都是组合数，第n行的第r+1个数是．（2）三角形的两条斜边上都是数字1，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加，也就是（3）杨辉三角具有对称性、等距性（对称美），即（4）第n行的和，即（5）偶数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和=（6）若n为偶数，则中间项的二项式系数最大;若n为奇数，则中间项两项的二项式系数最大。3、介绍杨辉——古代数学家的杰出代表

杨辉，杭州钱塘人。中国南宋末年数学家，数学教育家．著作甚多，他编著的数学书共五种二十一卷，著有《详解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷、《乘除通变本末》三卷、《田亩比类乘除算法》二卷、《续古摘奇算法》二卷．其中后三种合称《杨辉算法》，朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界。

“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪．在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的（BlaisePascal,1623年~1662年）,他们把这个表叫做帕斯卡三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．4．观察杨辉三角所蕴含的数量关系，及有趣的数字排列规律（1）计算杨辉三角中各行数字的和，看有何规律：第1行1＋1＝2第2行1＋2＋1＝4＝22第3行1＋3＋3＋1＝8＝23第4行1＋4＋6＋4＋1＝16＝24第5行1＋5＋10＋10＋5＋1＝32＝25．．．第n行问题前n项（含第0行）所有数的和与第n行所有数的有何关系？结论:(1)第n行数字的和为2n．(2)前n行(含第0行)所有数的和为2n–1，它恰好比第n行的和2n小1．（2）斜看杨辉三角中各数的和，又有何规律？（3）如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．此数列{an}满足,a1=1,a2=1,且an=an-1+an-2(n≥3)这就是著名的斐波那契数列．介绍斐波那契“兔子繁殖问题”增强趣味性中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作《算术之法》中提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子．设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡．问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？兔子繁殖问题也可以从杨辉三角得到答案：1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．(4)杨辉三角与弹子游戏在游艺场，可以看到如图的弹子游戏，小球(黑色)向容器内跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落，如是，一直下跌，最终小球落入底层，根据具体区域获得奖品。试问：为什么两边区奖品高于中间区奖品？“概率三角形”照这样计算第n+1层有n+1个通道，弹子通过各通道的概率将是？与杨辉三角有何关系？介绍我国现代数学家华罗庚

华罗庚（1910-1985）是一位具有世界声誉的数学家，是我国现代数学家最杰出的代表。撰写了不少高质量的10部专著、200篇论文和10余部科普著作。由于他的贡献，有许多定理、引理、不等式与方法等都用他的名字命名．为了推广优选法，华罗庚带领小分队去二十七个省市普及应用数学方法达二十年之久，取得了明显的经济效益和社会效益，为我国经济建设作出了重大贡献．在他的科普著作《从杨辉三角谈起》中，对杨辉三角的构成，提出了上述有趣的看法．（5）杨辉三角与“纵横路线图”“纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题：如图是某城市的部分街道图，纵横各有五条路，如果从A处走到B处(只能由北到南，由西向东)，那么有多少种不同的走法？AB

由此看来，杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系→通过“杨辉三角”了解古代数学家杨辉，通过“弹子游戏”了解现代数学家华罗庚，增强爱国情感。→系统探究杨辉三角蕴含的数字排列规律，培养观察、探究及创新能力。→展示部分探究成果，相互交流学习，养成良好习惯。5．教学小结：第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051………………（04.上海春季高考）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第_____行中从左至右第14与第15个数的比为6．作业347、阅读材料事实上，历史上有关本三角形的最早记载，既不在法国，也不在中国，而在古印度。

ThefirstreferencetothistriangleoccursinIndianmathematician

Pingala'sbookonSanskritpoeticsthatmaybeasearlyas450BCasMeru-prastaara,the"staircaseofMountMeru".ThecommentatorsofthisbookwerealsoawarethattheshallowdiagonalsofthetrianglesumtotheFibonaccinumbers.ItwasknowntoChineseandIslamicscholarsinmedievaltimes.Itissaidthatthetrianglewascalled"YangHui'striangle"bytheChinese.Severaltheoremsrelatedtothetrianglewereknown,includingthebinomialtheorem.InItaly,itisreferredtoas"Tartaglia'striangle",namedfortheItalianalgebraistNiccoloFontanaTartagliawholivedacenturybeforePascal;Tartagliaiscreditedwiththegeneralformulaforsolvingcubicpolynomials.）

Inmoderntimes,Pascal'striangletakesitsnamefromtheTraitédutrianglearithmétique(1655)b