高考数学二轮复习分层设计（全国I卷）学案第一层练悟篇第4讲排列组合二项式定理

第4讲排列、组合、二项式定理排列、组合的应用[题组练透]1．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A．12种 B．18种C．24种 D．36种解析：选D第一步：将4项工作分成3组，共有Ceq\o\al(2,4)种方法．第二步：将3组工作分配给3名志愿者，共有Aeq\o\al(3,3)种分配方法，故共有Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(3,3)＝36种安排方式．故选D.2．从1,2,3，…，10中选取三个不同的数，使得其中至少有两个相邻，则不同的选法种数是()A．72 B．70C．66 D．64解析：选D从1,2,3，…，10中选取三个不同的数，恰好有两个数相邻，若取出数1,2，则第三个数有Ceq\o\al(1,7)种取法，同理，取出9,10时，有Ceq\o\al(1,7)种取法；若取出数2,3，则第三个数有Ceq\o\al(1,6)种取法，同理取出数3,4；4,5；5,6；6,7；7,8；8,9时，均有Ceq\o\al(1,6)种取法，共有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,7)＋Ceq\o\al(1,7)·Ceq\o\al(1,6)＝56种选法，三个数相邻共有Ceq\o\al(1,8)＝8种选法，故至少有两个数相邻共有56＋8＝64种选法．故选D.3.如图，某圆形花坛被其内接三角形分成四部分，现计划在这四部分种植花卉，如果仅有5种花卉可供选择，要求每部分种植1种花卉，并且相邻两部分种植不同的花卉，则不同的种植方法有()A．360种 B．320种C．108种 D．96种解析：选B如图对分成的四部分进行编号，可以分以下3种情况进行分析：(1)总共种植2种花卉，即1部分种植1种花卉，2,3,4部分种植同一种花卉，种植方法有Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(2,2)＝20(种)；(2)总共种植3种花卉，即1部分种植1种花卉，2,3部分种植同一种花卉或2,4部分种植同一种花卉或3,4部分种植同一种花卉，另外一部分种植另一种花卉，种植方法有3Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(3,3)＝180(种)；(3)总共种植4种花卉，种植方法有Aeq\o\al(4,5)＝120(种)．所以不同的种植方法有20＋180＋120＝320(种)．故选B.4．(2019·惠州模拟)《红海行动》是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成A，B，C，D，E，F六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求，重点任务A必须排在前三位，且任务E，F必须排在一起，则这六项任务完成顺序的不同安排方案共有()A．240种 B．188种C．156种 D．120种解析：选D因为任务A必须排在前三位，任务E，F必须排在一起，所以可把A的位置固定，E，F捆绑后分类讨论．当A在第一位时，将E，F捆绑与B，C，D全排，排法有Aeq\o\al(4,4)，而E，F排法有Aeq\o\al(2,2)，故有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,2)＝48种；当A在第二位时，第一位只能是B，C，D中的一个，E，F只能在A的后面，故有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2)＝36种；当A在第三位时，分两种情况：①E，F在A之前，此时应有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)种，②E，F在A之后，此时应有Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)种，故A在第三位时有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝36种．综上，共有48＋36＋36＝120种不同的安排方案．故选D.[题后悟通]求解有限制条件排列问题的主要方法(1)间接法：对于分类过多的问题，一般利用正难则反、等价转化的方法；(2)捆绑法：相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列；(3)插空法：不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列后的空中；(4)除法：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以已定元素的全排列；(5)直接法：①分类法：选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数；②分步法：选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完成，分别计算出各步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数．[提醒]注意排列、组合问题的3个易错点(1)分类标准不明确，有重复或遗漏；(2)混淆排列问题与组合问题；(3)解决捆绑问题时，忘记“松绑”后的全排列.二项式定理[题组练透]1．二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－2x2))9的展开式中，除常数项外，各项系数的和为()A．－671 B．671C．672 D．673解析：选B令x＝1，可得该二项式展开式的各项系数之和为－1，因为该二项展开式的通项公式为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,9)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))9－r·(－2x2)r＝Ceq\o\al(r,9)(－2)r·x3r－9，令3r－9＝0，得r＝3，所以该二项展开式中的常数项为Ceq\o\al(3,9)(－2)3＝－672，所以除常数项外，各项系数的和为－1－(－672)＝671.故选B.2．已知(1＋x)n的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A．29 B．210C．211 D．212解析：选A由题意得Ceq\o\al(4,n)＝Ceq\o\al(6,n)，由组合数性质得n＝10，则奇数项的二项式系数和为2n－1＝29.故选A.3．已知(x＋2)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9a9)2－(2a2＋4a4＋6aA．39 B．310C．311 D．312解析：选D对(x＋2)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9两边同时求导，得9(x＋2)8＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋8a8x7＋9a9x8，令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＋9a9＝310，令x＝－1，得a1－2a2＋3a3－…－8a8＋9a9＝32.所以(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9a9)2－(2a2＋4a4＋6a6＋8a8)2＝(a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＋9a9)(4．(2019·全国卷Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为()A．12 B．16C．20 D．24解析：选Aeq\a\vs4\al(法一：)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为1×Ceq\o\al(3,4)＋2Ceq\o\al(1,4)＝12.故选A.eq\a\vs4\al(法二：)∵(1＋2x2)(1＋x)4＝(1＋2x2)(1＋4x＋6x2＋4x3＋x4)，∴x3的系数为1×4＋2×4＝12.故选A.5．(2019·浙江高考)在二项式(eq\r(2)＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．解析：由二项展开式的通项公式可知Tr＋1＝Ceq\o\al(r,9)·(eq\r(2))9－r·xr，r∈N,0≤r≤9，当为常数项时，r＝0，T1＝Ceq\o\al(0,9)·(eq\r(2))9·x0＝(eq\r(2))9＝16eq\r(2).当项的系数为有理数时，9－r为偶数，可得r＝1,3,5,7,9，即系数为有理数的项的个数是5.答案：16eq\r(2)56．(2019·南昌模拟)设(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a1等于________．解析：∵(x2－3x＋2)5＝(x－1)5(x－2)5，∴二项展开式中含x项的系数为Ceq\o\al(4,5)×(－1)4×Ceq\o\al(5,5)×(－2)5＋Ceq\o\al(5,5)×(－1)5×Ceq\o\al(4,5)×(－2)4＝－160－80＝－240.答案：－240[题