初中数学奥林匹克训练题五及答案

数学奥林匹克初中训练题(五)第一试一.选择题.(每小题7分，共42分)()1.若a,b均为质数，且a2+b=2003，则a+b的值为：(A)1999 (B)2000 (C)2001 (D)2002b+ca+c-a+b()2,设aA0AbAc,a+b+c—1,,M= ,N= ,P= ,则M,N,Pabc之间的关系是：(A)MANAP (B)NAPAM(C)PAMAN(D)MAPAN()3.设△ABC的三边长为a,b,c满足b+c=8,bc=a2—12a+52贝必ABC的周长是:(A)10 (B)14 (C)16 (D)不能确定()4,下面四个命题:①直角三角形的两边长为3,4,则第三边长为5;②x、;'-X=4—,③对角线相等且互相垂直的四边形是正方形;④若四边形ABCD中,AD〃BC,且AB+BC=AD+DC,则四边形ABCD是平行四边形.其中正确的命题的个数为:(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 ^()5•一个四位数aabb为平方数，则a+b的值为：(A)11 (B)10 (C)9 (D)8()6.如果满足ZABC=60o,AC=12,BC=k的^ABC恰有一个，那么k的取值范围是：(A)k=8<3(B)0Yk<12(C)k>12(D)0yk<12或k=8<3二,填空题.(每小题7分，共28分)1.已知a,b,c为实数，且多项式x3+ax2+bx+c能被x2+3x-4整除，则2a—2b—cTOC\o"1-5"\h\z的值是 .2,设正整数a,b,c满足ab+bc=518,ab-ac=360，则abc的最大值是 .=2003，=2003，则x=3,若abc=1, +---—+ 1+a+ab1+b+bc1+c+ac4.如图1,AB是半圆O的直径，四边形CDMN和DEFG都是正方形，其中C,D,E在AB上,F,N在半圆上.若AB=10，则正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是 .第二试“ 1 .（20分）若AD是△ABC角平分线,I是线段AD上的点，且/BIC=90O+-/BAC.乙求证:I是△ABC的内心.二.（25分）用汽船拖载重量相等满载货物的小船若干只，在两港之间来回送货物.已知每次拖4只小船，一日能来回16次;每次拖7只小船，一日能来回10次.每日来回次数是拖小船只数的一次函数（一天中每次拖小船只数不变）.问每日来回多少次，每次拖多少只小船，才能使运货问题达到最大？, , - a +b+c,.1 三。5分)设a，b，c是从1到9的互不相同的整数,求k的最大的可能值.参考答案第一试一、1.(C).由于2003是奇数，所以a、b中必有一数是偶质数2.若6=2,则=2001,而2001不是完全平方数.故a=2,6=1999,有a+b=2001..(D).因为m= =P———1,/V—P——^―<0,故N<P,M-尸：^2>0,M>P.所以，M>P>N..(B).因为(6-cP=64-4面-12a+52)=-4(a一6尸NO,所以，q=6,且b-c,又b+c=8,贝(Jb=c-4.从而,a+&+c=14..(B).只有④是正确的.如图2,延长◎至 ADE,使麻：=熊.延长AD至/[/7"F,使。歹=则四边形 E~BCECR4是平行四边形，所 图2以，NE=NF.由乙曲：=2NE,NADC=2NF,知NABC=NM)C.又扪〃BC,故+N9=18(T,即/4DC+NBW=180P.所以，成〃CD,四边形ABCD是平行四边形..(A).因为益胡=1000a+100a+106+6=ll(100a+b),由题意可设100a+6=llc2J是正整数)，所以，101<100a+6=11/<999,即9<c2<90.于是,4WcS9.经检验,c=8时满足条件,此时a=7,b=4.故a+6=11..(D).TOC\o"1-5"\h\z如图3,根据题意知， „以C为圆心」为半径的圆与优弧6恰有一个交点 -8,易得0<AW12或k= 一12—"V48,/3. ।二、1.14.由题意得，-4、1是方程x3+ax2+bx+c=0的两根，即16。-46+c=64, ①a+b+c=-1. ②①x6-②得2a-26-c=14.1008.由向+庆=518,必-改=360,两式相减，得c(a+b)=2x79.经验证，取c=2,a+6=79,则向=518-庆=518-26.经检验当6=7时，而取得最大值504.故abc的最大值为1008.则NICE+NMEC=9O5,即IC1.EF.于是，有△/*'娑△CEF.从而，宙=FC,即EM是IC的垂直平分线.故MC=MI.于是,NMC7=NM7c.又/MCI=ZMCB+ZBCI,ZMIC=ZMAC+^ACI=ZMCB+ZACI,则N8。=NACI,即CI平分NACB.因此，/是△ABC的内心.二、设每日每次拖n只小船，每日来回y次，每只小船的载重量为时.若y=b+b,则J4A+b-16,1-7A+b=10.图4三图4三、设尸=色+廿'

abc2003.由M=1,有1.11

.’ •+ +_ 1+a+I+b+beI+c+ca得*=2003.4.25.如图4,连结ON.OF.设CN=x,EF=y，则x+(x+ZX7)z=25,①y2+(y-DO)2=25.②①-②，得(x2-y2)+DO-(x+y)=0.又x+y>0,所以，DO=y-x.故工？+/=25.解得k=-2,6=24,即y=-2x+24.于是，每日运货总重量G=Mxy-~2Af（x-6）2+72M.当工=6,y=12时，G有最大值，最大值为72M.即每日来回12次,每次拖6只小船，运货总重量最大.在式①中，让a、b暂时不变，只让c变，c可取1〜9中的各整数.则由尸=小护=2+察知，当c=l时，P取得最大值，故c=l.第二试一、如图5,作4ABC的外接圆。。，设AD的延长线交@。于M,期的延长线交©O于瓦连ME、CE、CM,IC与ME交于点F.则ZMEC=~ZBACM于是，尸=y±，_L+缺②abaab在式②中，让a暂时不变，只让6变，6可取2〜9中的各整数.则由式②知，当6=2时,P取得最大值，故b2.=+NBEC.因NBIC=