北大考前辅导数学3天讲义

第二部分分章节复义第零节充分条件与条件充分性判断第二节比值、绝对值、平均值第三节整式和分式第四节函数、方程和不等式第五节数列第六节平面几何与立体几何第七节解析几何第八节数据分析第九节数据分析*第三部分模拟题与讲第一部 考试大纲与考试题求解（3分15=45分，五选一）和条件充分性判断（3分10=30分，五选一。在1小时第二部 分章节复第零节充分条件与条1.1p成立可以推出命题q成立（pq是真命题p是命题q的充分条件,也称命题q是命题p必要条件。p既是命题q的充分条件，也是命题qp是命q的充要条件，也称命题p与命题q等价，记做pq。确：由题干给出结论，由题支（1（2）给出条件。（1）a（2）a例题中，当a1y

4x1的最大值

4(2)4

A是B （3）A：xyRx2y1)2 （4）A：x1x

B：x21 （5）A：abB： 第一节实数的概念、性质和运算（一）n（mZnZ）m（三）任意实数ababababa为任意实数，则a20当a0a

an1（200810）以下命题中正确的一个是（）E．一个数的2倍大于这个数本身正确答案是D。 最后车的位置取决于这些数字之和，即(10)658)915)121，所以车子最后的位置在首次出发地的西面1公里处。1(1)2(1)3(1 0.10.20.3

1118 () 2()2

)32

)8 12

0.10.20.30.99(0.10.9) 1 1 12(

(

(

此

0.10.20.3

(13)(132)(134)(1332) 3323334

13102

12

12

12

(13)(132)(134)(1332)233233341(31)(31)(321)(341)(3321)1136412

31 3（200910）a与b2007次方等于1a的相反数与b2009次方也等于1，则a2007b2009 a

1

a

ab 因此a2007b20091。正确答案是C。（200910）若x,y是有理数，且满足(123)x(1 3)y2 ）由已知，(123)x(1 3)y2xy22xy50x1y3。正确答案是C。（200710（

(xy2)(2xy5)0，所 x,y （200710（由条件（1），若a10，则a1且a1，所以条件（1）充分。由条件（2），若|a|1，则1a1，所以条件（2）不充分。（200801（实数a,b,c满足abc （2）实数a,b,c满足abab2cb2ac)b20。显然，单独由条件（1）或条件（2）联合条件（1）和条件（2），由于abc0且abc，所以a0c，但无法推测b是否为零。取ac0b0，满足条件（1）和条件（2），但此时有ab2cb20，（20001（

1 1（1）a,b为实数，且a2 （2）a,b为实数，且 2 2条件（1）显然不充分，例如(2)21)2，但是211 1（2 2a2b，所以ab，所以条件（2）充分（也可以根2 212y 2

R上的减函数得到ab（201201（（1）a2ba2取a2,b1，可知条件（1）和条件（2）单独都不充分， 正确答案是E。 （A）6 （B）7 （C）8 （D）9 所以最右边的盒子里的乒乓球个数与第1个盒子中球数相同，为6。（200810（正确答案是E。 a B.a1,a aaa2 a2 E．a21,aa2a2由题设知，该自然数为a2，所以与a2相邻的两个自然数的算术a2aa21（200710（若mpp和q为非零整数，且m2q若m

pp和qq

2m 由条件（1）m是一个有理数，如果m不是整数，则qp，于是m2不是整数，与条件，因此m一定是整数，所以条件（1）充分。2m 3n n，于是m （n为整数），当n1时，m n（20010（

nn是一个整数，且7 n n7正确答案是A。（201001（正确答案是A。（201201（条件充分性判断）已知m,n是正整数，则m3m22n2（2，3m正确答案是D。数且依次相差6岁，他们的之和为（） 设三名小孩的分别为abc，由题设知，a6，ba6，cb6。若a2则b8为合数，不合题意；若a3，则b9a5，则bc17abc5111733。正确答案是C。（201101）设abc12|ab||bc||ca|8，abc（） abc，则|ab||bc||ca|bacbca2(ca8ca4122,3,5,7,11，满足条件的只能是c7，a3，从而b5abc35715。正确答案是D。（20010（不妨设1abcde。需a2b2,c3d3,e75，取得的最大值为22337585133，所以条由条件（2，abcde20002222555要使abcde取最大值，则需 3，3正确答案是C。已知不全相等的正整数a,b,c都是两位数，且它们的最小公倍数是385，则abc的 abc3855711abc是不全相等的两位数，所以abc的最小值当a11b11c35取得，值为11113557。正确答案是A。第二节比值、绝对值、平均值（一）aa:ba:b

ac:

（或b acad

R

(a01．a

则|a

(a(

00aa2．|a| |a||a |ab||a||b|abxx1x2x nx1x2x （x1nx1x2xx1x2xn （x , 2,nx1nx1x2xx1x2xa 2

a2（ab为正实数1a1（200810）若ab

1:

12a， 3 12a 1a 4

4，可设a4kb3k3

12a

124k8

9641（200201）设

1:

4:5:6，则使xyz74成立的y值是 114k15k16k xyz11113774y 24 6 12：

1:

4:5:6x:y:z

1:1:

45z10mxyz37m74，所以m2y12m24。正确答案是A。（200210）若abcabcabck，则k的值为 由题设可得，k2abcabcabc，所以k23（此时abc0 或者k20（此时abc0abc0，即k1或k2（200110）若ab0，k0,则下列不等式中能够成立的是 bb

a

bb

aa a

b

a

bb (aB，Dkb。由题设可得，akaa(ak)0c（20010（a

c（1）0ca （2）0ab（1， 0，所以abbcc

0，进 ca

c

（200610（条件充分性判断）|ba||cb||c|实数a,b,c实数a,b,c条件（1）a0bc，那么ba0,cb0,c0|ba||cb||c|(bacbcabbcca，条件（2）cb0a，那么ba0,cb0,c0|ba||cb||c|bacbca，（200101）已知|a|5，|b|7，ab0，则|ab| 正确答案是C。x32x x32x22x B.x C．2x D．2xxx2x3x32xx

|x ，2x0，即2x0。正确答案是C。（201110（

x，xf(x)|x1|g(x)|x1||x2||x2|f(xx（1）1x （2）1x由条件（1）gx)1f(x)(1x1)(x1)(2x(x2)6，所由条件（2）gx)1f(x)(x1)x1)(2xx2)2（200401（（1）x0,y （2）x0,y由条件（1）|x||y|xy|xy|，所以条件（1）由条件（2）|x||y|xy|yx||xy|，所以条件（2）也充分。正确答案是D。（200310（x（1）xy

|xy时 x

|xyx

正确答案是E。5x2x 35x5x2x2xx5或x B．5x C．5x D．3x 5x2x由 ，所以 或 ，解得 x 35x2x由 ，所以 或 ，解得 x 2x 2x5 2x5 2 x28x（200810（x28x（1）2（2）x

2xx28x1x |1x||x28x1：由条件（1）x5，此时|1x||x4|3255，所以条件（1）不由条件（2）x0，此时|1x||x4|3205，所以条件（2）联合条件（1）和条件（2），此时|1x||x4|x14x2x5，即条件

1x2：|1x||x4|2x5x401x4，显然条件（1）和条件正确答案是C。1（200910（132x2x

2xx2

11x2x32xx22xx2

1x

成立等价于12x0，即x 22x 由条件（2），2x1 正确答案是E。aab（20010（ （1）a0,b （2）a0,ba|a|

ab

（200801（条件充分性判断）bccaab|a

|b

|c（1）实数a,b,c满足abc （2）实数a,b,c满足abc由条件（1）bccaababc，取ab1c2|a |b |c |a |b |cbccaab1，所以条件（1）|a

|b

|c由条件（2），取abc1bccaab6，所以条件（2）|a

|b

|c联合条件（1）和条件（2）abca0bcbccaababc1111，即条件（1）和条件（2）|a

|b

|c

|a

|b

|c（200501（（1）a （2）b由条件（1），取ba，此时可得|a|aba|ab|0，所以条件（1）由条件（2），取a0，此时可得|a|aba|ab|0，所以条件（2）联合条件（1）和条件（2），|a|ab)a|ab|0a|ab|，即条件（1）和条（201001（a|实数a （2）实数a,b满足a由条件（2），取ba0a|ab|0|a|ab，所以条件（2）不充分。正确答案是A。(a60) |b90|(c130)20，则ab(a60) B．280 D100 (a60)2(a60)2|b90|(c130)2c130，所以abc100。正确答案是C。

90 a60b90（200810）3x22x212xy18y20，则2y3x A． B．2C．2E． 99993x22x212xy18y23x22(x3y)203x20x2x3y y2，所以2y3x4214 （200901）已知实数a,b,x,y满足y |1a2，|x2|y1b2，3xy3ab 由题设可得 ||x2|a2b20x2ab

y1，所以3xy3ab333028。正确答案是D。（200910（（1）a,b,x,y满足y||1a2 abxy满足|x3|3by1

联合条件（1）和条件（2，可得|||x3|ab0x3 abx3ab0y1，所以2xy2ab242017，此即表明条件（1）（201101）若实数a,b,c满足|a3| (5c4)20，则abc 5 B.

C．

E． a3 |a3|

(5c4)

3b50a3b3c55c5c4abc3544 解法1：|ab|20|ca|411|ab|1或|ab|0|ca| |ca||ab||ac||bc|22：取特殊值ab0c1，满足题设，此时|ab||ac||bc|2。正确答案是A。（200701）如果方程|x|ax1有一个负根，那么a的取值范围是 A.a B.a C.a D.a E.以上结论均不正若方程|x|ax1有一个负根，那么xax1，解得(a1)x1x0a10，即a1。（200901）方程|x|2x1||4的根是 （A）5或 （B）5或

（C）3或 （D）3

y没有最小 B.只有一个x使y取得最小C.有无穷多个x使y取得最大 D.有无穷多个x使y取得最小y|x2||x2|

x2x2借助图像）y|x2||x2|4x正确答案是D。（200301（（1）s （2）s6|x2||4x|2x

x2x4，（）可得|x2||4x|2x正确答案是A。（200710（（1）x(, （2）x(1,解法1：由条件（1），|x1||x|x1x2x2

(,1)，这表明由条件（2）|x1||x|x1x2，即12，所以方程无根，即条件（2）1解法2：|x1||x|2x

x（x（200801（（1）f(x)x x （2）f(x)|x2||4x1 x

x x （ 13

6

xx2x

2x4（借助图像）f(xx最小值2，所以条件（2）充分。正确答案是B。（200910）y|xa||x20||xa20|0a20ax20的x值，y的最小值是 由题设，当ax20时，y|xa||x20||xa20|xa20xa20x40xx20y取最小值402020。正确答案是C。（200601）如果X1,X2,X3三个数的平均值为5，则X12,X23,X36与8的算 1 B． C． D． X1X2X35

X

X

15X12,X

3,X

6与8

X12X23X36

15

7 （200710（条件充分性判断）三个实数x1x2x3的算术平均值是（1）x16x22,x35的算术平均值是（2）x2x1x3的等差中项，且x2由条件（1），x16x22x354，即有xx 3，则x,x,x的算术 均值x1x2x31，所以条件（1）不充分3

由条件（2）x

x

xx1x2

3x2

4

正确答案是B。 A.10 B.9 C.2 D.1 E.0x1x2x10的算术平均值x，所以x1x2x1010x，从（200510）（条件充分性判断）a,b,c的算术平均值是 3

，而几何平均值是abc是满足abc1babc是满足abc1b

ab3

（条件充分性判断）a,b,c的几何平均值是a2,b2,c的几何平均值是b是a和c的等比中项，且b由条件（1）a1b3c64a2,b2,c的几何平均值是3(a2)(b4，但a10，abc的几何平均值无定义，所以条件（1）不充分。由条件（2）a1c16acb242，但a13(a2)(b33(a2)(b2)c联合条件（1）和条件（2），有acbb

a2b4c83 3（201001（41（1）ab1

（2）a2b21由条件（1），取a0b2，此时ab01

，但ab25，所以条件（1）4由条件（2），当abab5a2b22ab25ab

a2b2

1，且当ab2

22

b

2ab2

联合条件（1）与条件（2）a2b22ab1

第三节整式和分式f(x除以(axbfbf(x可以被(axb整除f()0a

f(x含有因式(ax

（200901）若(1xn(1x)2(1x)na(x1)n则a12a2nan

(x1)2na(x1)n3n2

3n12

3n12

3n2

3n4 3(13n 3n1由题设，令x2，则a12a2nan333 13 正确答案是C。 （201110（条件充分性判断x(1kx)3axax2ax3ax4对所有 都成立，则a1a2a3a4（1）a2 （2）a3x1，则题干等价于a1a2a3a41k)38，即k3 x3kx23k2x3k3x4axax2ax3ax4 3由条件（1），比较系数可得3ka29，则有k3，所以条件（1）充分。由条件（2），比较系数可得3k2a27，则有k3，所以条件（2）不充分。正确答案是A。3（200810（（1）a:b3: （2）a3,b (ax2bx1)(3x24x5x的一次方项为(5b4)x，三次方项为(3b4a)x35b4

题干等价于3b4a0，解得a （200810（（1）m （2）m1：x2mxy6y210y40acac与左端对比系数得到bdbcad

acac，化简得到b(ac)10b2x (my)24(6y210y4)表示两条直线，所以(my)24(6y210y4)AyB)2具备完全平方形式，从而关于y的一元二次方程(my)24(6y210y4)m224)y240y160有两个相等实根，因此402416(m224)0，解得m7。条件（1）和条件（2）都充分。（200710）f(xx3a2x2x3ax1整除，则实数a（A. B. C.0或 D.2或- E.2或f(1)1a213a0，解得a1或2（200910（条件充分性判断二次三项式x2x6是多项式2x4x3ax2bxab（1）a （2）b联合条件（1）和条件（2），x2x6x2)(x3)f(x2x4x316x22x17f(2)f(3)0f(2)22423162222170（f(2)为奇数x2x6x2)(x3)不是fx)的因式，条件（1）和条件（2）联合起（201001）多项式x3ax2bx6的两个因式是x1和x2，则其第三个一次因式 A.x B.x C.x D.x E.xxcx3ax2bx6x1x2xcx时有(1)(2)c6c3。（201010（条件充分性判断）ax3bx223x6能被x2x3)（1）a3,b （2）a3,bf(xax3bx223x6fx能被x2x3)f(2)f(3)08a4b40即27a9b630，解得a3,b16，所以条件（1）不充分，而条件（2）充分。（201201）若x3x2axb能被x23x2整除，则 a4,b B.a4,b C.a10,bD.a10,b E．a2,bf(xx3x2axbx23x2x1)(x2)fx)x23x211abf(1)f(2)0，即842ab

，解得a10,b8（200201）abc是不完全相等的任意实数，若xa2bcyb2cazc2ab，则x,y,z 都大于 xyza2b2c2abbcca，再由abca2b2c2abbcca1(ab)2(bc)2(ca)202正确答案是B。abc（200910（ abc abca,b,cbaba

c11c 1由条件（2）abc为不全相等的大于1的正数，a

113 c 1b111 1b 1

211

12

1 c

10a正确答案是C。（201010）若实数a,b,c满足且a2b2c29，则(ab)2(bc)2(ca)2的 E.由题设(ab)2bc)2ca)23(a2b2c2abc)22732a2b2c29且abc0时取到（例如取a0，bc 正确答32（200801）ABCabca2b2c2abbcca，则ABC B.直角三角 C.等边三角D.等腰直角三角 E.以上结果均不正a2b2c2abbcca0a2b2c2abbcca1(ab)2(bc)2(ca)22因此abc（200910（条件充分性判断）ABC是等边三角ABC的三边满足a2b2c2abbcABCa3a2bab2ac2b3bc2由条件（1）a2b2c2abbcca0，而a2b2c2abbcca1(ab)2(bc)2(ca)22因此abc，所以条件（1）充分。由条件（2），可得a3a2bab2ac2b3bc2(ab)(a2abb2)ab(ab)c2(aab)(a2b2c20，不能推出abc，所以条件（2）不充分。（201101（条件充分性判断）已知ABC的边长分别为a,b,c，则ABC是等腰直角（1）(ab)(c2a2b2)