微元法及定积分的几何应用

6.5定积分的几何应用利用定积分解决实际问题的关键：建立定积分的式子，即找出被积函数和积分区间。建立定积分式子的方法：微元法〔又称元素法〕定积分微元法的实质：对能够用定积分解决的实际问题，寻找其被积函数和积分区间的方法。定积分的定义表达式：1、分割：2、近似代替：3、求和：4、取极限：abxyo分成n个小区间知识回忆定积分的定义表达式：1、分割：2、近似代替：3、求和：4、取极限：abxyo分成n个小区间：第i个小曲边梯形面积曲边梯形面积：任取知识回忆定积分的定义表达式：1、分割：2、近似代替：3、求和：4、取极限：abxyo分成n个小区间：第i个小曲边梯形面积曲边梯形面积：任取知识回忆观察以下演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．播放观察以下演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察以下演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察以下演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察以下演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察以下演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察以下演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察以下演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察以下演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察以下演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察以下演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察以下演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察以下演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察以下演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察以下演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察以下演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．定积分的定义表达式：1、分割：2、近似代替：3、求和：4、取极限：abxyo分成n个小区间：第i个小曲边梯形面积曲边梯形面积：任取知识回忆1、分割：2、近似代替：3、求和：4、取极限：abxyo分成n个小区间曲边梯形面积：任取abxyoxx+dx区间长度：dx面积总量：1、分割：2、近似代替：3、求和：4、取极限：abxyo分成n个小区间曲边梯形面积：任取abxyoxx+dx区间长度：dx面积总量：面积微元通过寻找局部量的近似值〔A的微元〕来构造定积分的方法所求量为U，满足以下3个条件：进一步推广〔2〕所求量U关于区间具有可加性；（3）部分量U能表示成的形式（1）所求量U与变量

的变化区间有关；第三步：以所求量的微元为被积表达式，写出在区间上的定积分，得第二步：写出在任一小区间上的微元．用定积分微元法计算某个量U的步骤第一步：

根据问题的具体情况，选取一个积分变量（如），并确定积分区间

;上述方法称为微元法或元素法，也称为微元分析法．1、选变量2、求微元3、列积分二.平面图形的面积1．直角坐标系下平面图形的面积面积微元:yo面积(1)由连续曲线y=f(x)(f(x)

0),直线x=a,x=b(a<b)及x轴所围成的平面图形的面积xyoab面积微元:(2)由连续曲线y=f(x),y=g(x),直线x=a,x=b(a<b)所围成的平面图形的面积:解先求两曲线的交点选x为积分变量,例1

abox

y体积元素:旋转体的体积为三.旋转体的体积直线OP的方程为解例1

xyo1y=exy=x例3

围成的平面图形的面积.xoy解

由对称性:交点dcxyo及y轴围成的平面图形的面积为及y轴围成的平面图形的面积为：dcxyo解两曲线的交点例3

此法麻烦。此题选y为积分变量比较好,选择积分变量的原那么：(1)积分容易；(2)尽量少分块.假设f(x)有正有负,那么曲边梯形面积为xyoabcdcxyoab一般地，xyodcbdcxyob

旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台三、立体的体积1、旋转体的体积abox

y体积元素:旋转体的体积为直线OP的方程为解例1

例2x

yOab解

x

yOabx

ycdox

ydc例3解

圆柱壳法下面再介绍一个新方法.yxo1214作业第五节习题

(第