高考数学基础知识综合复习学考模拟卷（六）

/10/10/学考模拟卷(六)(时间:80分钟满分:100分)一、选择题(本大题共18小题,每小题3分,共54分.每小题列出的四个备选项中只有一个符合题目要求,不选、多选、错选均不给分)1.设集合A={1,2,6},B={2,4},C={1,2,3,4},则(A∪B)∩C=()A.{2} B.{1,2,4} C.{1,2,4,6} D.{1,2,3,4,6}2.函数y=ax+2-1(a>0且a≠1)的图象恒过的点是()A.(0,0) B.(0,-1) C.(-2,0) D.(-2,-1)3.有一组样本数据x1,x2,…,xn,由这组数据得到新样本数据y1,y2,…,yn,其中yi=xi+c(i=1,2,…,n),c为非零常数,则两组样本数据都相同的是()A.标准差、极差 B.平均数、中位数C.平均数、标准差 D.中位数、极差4.甲、乙两人独立地破译一份密码,已知各人能破译的概率分别是13,1A.112 B.16 C.14 5.若函数f(x)=sin(x+φ)+cosx的最大值为2,则常数φ的一个取值可以是()A.π6 B.π4 C.π3 6.已知奇函数y=f(x)(x≠0),当x∈(0,+∞)时,f(x)=x-1,则函数f(x-1)的图象为()7.在△ABC中,已知sin2A=sin2B+sinBsinC+sin2C,则A等于()A.30° B.60° C.120° D.150°8.已知向量a=(m2,-4),b=(1,-1),则“m=-2”是“a∥b”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.不等式|x2-2|<2的解集是()A.(-1,1) B.(-2,2) C.(-1,0)∪(0,1) D.(-2,0)∪(0,2)10.若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°,半径为1的扇形,则这个圆锥的表面积与侧面积的比是()A.3∶2 B.2∶1 C.4∶3 D.5∶311.已知x>0,y>0,且2x+1y=1,则x+2A.8 B.4 C.22 D.212.已知|a|=6,a与b的夹角为π3,且(a+2b)·(a-3b)=-72,则|b|=(A.4 B.5 C.6 D.1413.已知sinπ4-x=35,则sin2x的值为()A.1825 B.1625 C.925 14.已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列说法正确的是()A.若m∥α,m∥β,则α∥β B.若m⊥α,m∥β,则α∥βC.若m⊥α,n∥α,则m∥n D.若m⊥α,n⊥α,则m∥n15.为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是()A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元C.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间16.若函数f(x)=loga(ax-t)(a>0且a≠1)在区间m2,n2上的值域为[m,n],则实数t的取值范围是(A.(0,1) B.0,14 C.14,12 D.12,117.已知锐角三角形ABC的三个内角互不相等,则在sinAcosB,sinBcosC,sinCcosA三个值中,大于12的值的个数的最大值是(A.0 B.1 C.2 D.318.已知矩形ABCD,AB=4,BC=2,E,F分别为边AB,CD的中点.沿直线DE将△ADE翻折成△PDE,在点P从A至F的运动过程中,CP的中点G的轨迹长度为()A.2π4 BC.2π2 D.二、填空题(本大题共4小题,每空3分,共15分)19.函数f(x)=2x21-x+log12(4-x2),则f(0)=20.我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别为3,4,记大正方形的面积为S1,小正方形的面积为S2,则S1S2=21.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为.?22.已知a,b均为单位向量,与a,b共面的向量c满足2|a+c|=|2a-c|,(c-a)·b=0,则b·c的最大值是.?三、解答题(本大题共3小题,共31分)23.(本小题满分10分)已知函数f(x)=sin2x-cos2x-23sinxcosx(x∈R).(1)求f2π3的值;(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.24.(本小题满分10分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ACC1A1⊥平面ABC,侧面BCC1B1是正方形,AC=BC=2,∠A1AC=60°,M是B1C1的中点.(1)证明:AC⊥B1C1;(2)求直线A1M与平面A1BC所成角的正弦值.25.(本小题满分11分)已知a,b是实数,函数f(x)=x|x-a|+b.(1)当a=2时,求函数f(x)的单调区间;(2)当a>0时,求函数f(x)在区间[1,2]上的最大值;(3)若存在a∈[-3,0],使得函数f(x)在[-4,5]上恒有三个零点,求b的取值范围.学考模拟卷(六)1.B解析∵集合A={1,2,6},B={2,4},C={1,2,3,4},∴(A∪B)∩C={1,2,4,6}∩{1,2,3,4}={1,2,4}.2.C解析∵当x=-2时,函数y=a0-1=0,即函数图象恒过定点(-2,0).3.A解析根据题意,得D(yi)=D(xi+c)=D(xi),所以两组数据的标准差相同,且两组数据的极差相同,故选A.4.D解析根据题意,设甲破译密码的事件为A,乙破译密码的事件为B,则P(A)=13,P(B)=14,P(AB)=23×34=12,则成功破译密码的概率为P=5.D解析∵-1≤sin(x+φ)≤1,-1≤cosx≤1,∴要使f(x)取得最大值2,则sin又sin(x+φ)=sinxcosφ+cosxsinφ,所以sinφ=1,则φ=π2+2kπ,k∈Z.结合选项可知,常数φ的一个取值可以是π6.D解析用图象平移或直接求出f(x-1)=x-27.C解析根据正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R,化简已知等式,得a2=b2+bc+c2,即b2+c2-a2=-bc,所以根据余弦定理,得cosA=b2+8.A解析当a∥b时,m2×(-1)-1×(-4)=0?m=±2,故选A.9.D解析不等式|x2-2|<2等价于-2<x2-2<2,即0<x2<4,解得x∈(-2,0)∪(0,2).10.C解析圆锥的侧面积为π×12×120°360°=π3,底面半径为2π×1×120°360°÷2π=13,底面积为π×11.A解析由x+2y=(x+2y)2x+1y=4+xy+4yx≥8,当且仅当xy=412.A解析由(a+2b)·(a-3b)=-72得a2-6b2-a·b=-72,又|a|=6,a与b的夹角为π3,所以36-6b2-3|b|=-72,即2b2+|b|-36=0,解得|b|=413.D解析方法一:由已知得22(cosx-sinx)=35,两边平方得12(1-sin2x)=925,求得方法二:令π4-x=α,则sinα=3所以sin2x=sinπ2-2α=cos2α=1-2sin2α=725.14.D解析若m∥α,m∥β,则平面α与β可能相交,A错误;若m⊥α,m∥β,则α⊥β,B错误;若m⊥α,n∥α,则m⊥n,C错误.15.B解析对于A,该地农户家庭的年收入低于4.5万元的农户比率为(0.02+0.04)×1=0.06=6%,故A正确;对于B,估计该地农户家庭年收入的平均值为3×0.02+4×0.04+5×0.1+6×0.14+7×0.2+8×0.2+9×0.1+10×0.1+11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.02=7.68>6.5万元,故B错误;对于C,该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率为(0.02×3+0.04)×1=0.1=10%,故C正确;对于D,家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为(0.1+0.14+0.2+0.2)×1=0.64>0.5,故D正确.16.B解析∵y=ax-t与y=logax的单调性相同,∴函数f(x)=loga(ax-t)(a>0且a≠1)在区间m2,n2上单调递增,则f(m2)=m,f(n2)=n,即loga(am2-t)=m,loga(an2-t)=n,∴方程17.C解析由锐角三角形ABC的三个内角互不相等,可知sinA,cosB,sinB,cosC,sinC,cosA均为正数,由基本不等式可知sinAcosB≤sin2A+cos2B2,sinBcosC≤sin2B+cos2C2,sinCcosA≤sin2C+cos2A2,三式相加可得sinAcosB+sinBcosC+sinCcosA≤32,当且仅当sinA=cosB,sinB=cosC,sinC=cosA,即A=B=C=π4时,等号成立,所以得sinAcosB+sinBcosC+sinCcosA<32,所以这三个值不会都大于12.若取A=π6,18.C解析设AF与DE相交于O,由于在矩形ABCD中,E,F分别为边AB,CD的中点,且AE=EF=FD=DA,所以四边形AEFD是正方形.沿直线DE将△ADE翻折成△PDE,在点P从A至F的运动过程中,OP=OA=12AF=2不变,故点P的轨迹是以O为圆心,半径为2的半圆.设Q是OC的中点,由于G是CP的中点,所以QG是△OPC的中位线,所以QG∥OP,QG=12OP=22.由于在翻折过程中,O,C两点的位置不变,所以点Q的位置不变,所以点G的轨迹是以Q为圆心,半径为22的半圆,所以G的轨迹长度为π19.-2(-2,1)解析f(0)=01+log12(4-0)=-2,又因为1-x20.25解析∵直角三角形直角边的长分别为3,4,∴斜边为5,即大正方形边长为5,面积S1=25,小正方形的面积为S2=S1-S阴影=25-4×12×3×4=1,∴S1S21.64解析取BC的中点E,连接C1E,AE(图略),则AE⊥BC,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BB1C1C,平面ABC∩平面BB1C1C=BC,∴AE⊥平面BB1C1C,∴∠AC1E是AC1与平面BB1C1C所成的角,由AB=AA1,在Rt△AC1E中,sin∠AC1E=AEAC1.设AB=1,经计算可得sin∠AC22.23解析将2|a+c|=|2a-c|两边平方得c·(c+4a)=0,作OA=4a,AN=a,AC=c,则OC⊥AC,点C的轨迹是以M为圆心,2为半径的圆.再以A为圆心作单位圆,由(c-a)·b=0,得AB⊥CN,所以当点C在大圆上运动时,点B的轨迹是两段弧,即弧BD和弧EF,而b·c最大等价于a·b最大,记∠NAB=θ,所以a·b=cosθ,当CN与大圆相切时,θ最小,此时根据三角形相似,得∠NMC=θ,cosθ=CMMN=23,即b23.解(1)f(x)=-cos2x-3sin2x=-232sin2x+12cos2x=-2sin2x+π6,∴f2π3=-2sin3π2=2.(2)最小正周期T=π,又2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+∴kπ+π6≤x≤kπ+2π3,即单调递增区间为kπ+π6,kπ+2π3(k∈Z24.证明(1)在平面ACC1A1内过点A1作A1D⊥AC,垂足为D,∵平面ACC1A1⊥平面ABC,∴A1D⊥平面ABC,即A1D⊥BC.又侧面BCC1B1是正方形,∴C1C⊥BC.又直线C1C与直线A1D相交,∴BC⊥平面ACC1A1,即BC⊥AC,而BC∥B1C1,∴AC⊥B1C1.(2)解连接AC1交A1C于点E,取A1B的中点F,连接EF,MF,则EF∥BC,EF=12BC∴四边形EFMC1是平行四边形.∵AC=BC=CC1=2,∠A1AC=60°,∴四边形ACC1A1是菱形,AC1⊥A1C,又由(1)知,BC⊥平面ACC1A1,∴BC⊥AC1,∴AC1⊥平面A1BC,而MF∥AC1,即MF⊥平面A1BC,∴∠MA1F就是直线A1M与平面A1BC所成的角.在Rt△MA1F中,A1M=5,MF=C1E=3,设∠MA1F=θ,则sinθ=MFA∴直线A1M与平面A1BC所成角的正弦值是155(或者取BC中点N,通过A1M∥AN转化,在Rt△ANE中,同样可求.)25.解(1)当a=2时,f(x)=x|x-2|+b=x∴f(x)在(-∞,1],[2,+∞)上单调递增,在[1,2]上单调递减.(2)当a>0时,f(x)=x|x-a|+b=x①当a2≥2,即a≥4时,f(x)在[1,2]上单调递增∴f(x)max=f(2)=2a-4+b;②当1<a2<2<1+22a,即2<a<4时,f(x)max=fa2③当a2≤1<2≤1+22a,即4(2-1)≤a≤f(x)