高考数学二轮培优讲义指导三4

4.数列、不等式1．等差数列的有关概念及运算(1)等差数列的判断方法：定义法an＋1－an＝d(d为常数)或an＋1－an＝an－an－1(n≥2)．(2)等差数列的通项：an＝a1＋(n－1)d或an＝am＋(n－m)d.(3)等差数列的前n项和：Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)，Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d.[回扣问题1]等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于()A．8 B．10 C．12 D．14答案C2．等差数列的性质(1)当公差d≠0时，等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n项和Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d＝eq\f(d,2)n2＋(a1－eq\f(d,2))n是关于n的二次函数且常数项为0.(2)若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列．(3)当m＋n＝p＋q时，则有am＋an＝ap＋aq，特别地，当m＋n＝2p时，则有am＋an＝2ap.(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列．[回扣问题2]设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于()A．6 B．7 C．8 D．9答案A3．等比数列的有关概念及运算(1)等比数列的判断方法：定义法eq\f(an＋1,an)＝q(q为常数)，其中q≠0，an≠0或eq\f(an＋1,an)＝eq\f(an,an－1)(n≥2)．(2)等比数列的通项：an＝a1qn－1或an＝amqn－m.(3)等比数列的前n项和：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).(4)等比中项：若a，A，b成等比数列，那么A叫做a与b的等比中项．值得注意的是，不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个，即为±eq\r(ab).如已知两个正数a，b(a≠b)的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为A＞B.[回扣问题3]等比数列{an}中，a3＝9，前三项和S3＝27，则公比q的值为________．答案1或－eq\f(1,2)4．等比数列的性质(1)若{an}，{bn}都是等比数列，则{anbn}也是等比数列．(2)若数列{an}为等比数列，则数列{an}可能为递增数列、递减数列、常数列和摆动数列．(3)等比数列中，当m＋n＝p＋q时，aman＝apaq.[回扣问题4]等比数列{an}的各项均为正数，且a4a5a6＝8，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a9＝()A．9 B．6 C．4 D．3答案A5．数列求和的常见方法：公式、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加．关键找通项结构．(1)分组法求数列的和：如an＝2n＋3n；(2)错位相减法求和：如an＝(2n－1)2n；(3)裂项法求和：如求1＋eq\f(1,1＋2)＋eq\f(1,1＋2＋3)＋…＋eq\f(1,1＋2＋3＋…＋n)；(4)倒序相加法求和．[回扣问题5]若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和Sn为()A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n2－2答案C6．求数列通项常见方法(1)已知数列的前n项和Sn，求通项an，可利用公式an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1（n＝1），,Sn－Sn－1（n≥2）.))由Sn求an时，易忽略n＝1的情况．(2)形如an＋1＝an＋f(n)可采用累加求和法，例如{an}满足a1＝1，an＝an－1＋2n，求an；(3)形如an＋1＝can＋d可采用构造法，例如a1＝1，an＝3an－1＋2，求an.(4)归纳法，例如已知数列{an}的前n项和为Sn，且Seq\o\al(2,n)－(an＋2)Sn＋1＝0，求Sn，an.[回扣问题6]设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝eq\f(n,3)，则数列{an}的通项公式为________．答案an＝eq\f(1,3n)7．不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，必须讨论这个数的正负或是否为零．两个不等式相乘时，必须注意同向同正时才能进行．[回扣问题7]若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有()A.eq\f(a,d)＞eq\f(b,c) B.eq\f(a,d)＜eq\f(b,c)C.eq\f(a,c)＞eq\f(b,d) D.eq\f(a,c)＜eq\f(b,d)答案B8．在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示，不能直接用不等式表示．[回扣问题8]已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是{x|x＜－2，或x＞－eq\f(1,2)}，则ax2－bx＋c＞0的解集为________．答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＜x＜2))))9．基本不等式：eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a，b＞0)，当且仅当a＝b时，“＝”成立．(1)推广：eq\r(\f(a2＋b2,2))≥eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)≥eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))(a，b∈R＋)．(2)用法：已知x，y都是正数，则①若积xy是定值p，则当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(p)；②若和x＋y是定值s，则当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)s2.利用基本不等式求最值时，要注意验证“一正、二定、三相等”的条件．[回扣问题9](1)已知x＞1，则x＋eq\f(4,x－1)的最小值为________．(2)已知x＞0，y＞0且x＋y＝1，且eq\f(3,x)＋eq\f(4,y)的最小值是________．答案(1)5(2)7＋4eq\r(3)10．解线性规划问题，要注意边界的虚实