高考数学(文)一轮复习教案7对数与对数函数

INET】1．(2022·安徽十校联盟联考)已知a＝log23，b＝2log53，c＝，则a，b，c的大小关系为()A．a>c>b B．a>b>cC．b>a>c D．c>b>a答案B解析∵a＝log23>1，b＝2log53＝log59>1，c＝<0，∴eq\f(a,b)＝eq\f(log23,log59)＝eq\f(lg3,lg2)×eq\f(lg5,lg9)＝eq\f(lg3,lg2)×eq\f(lg5,2lg3)＝eq\f(lg5,2lg2)＝eq\f(lg5,lg4)＝log45>1，∴a>b，∴a>b>c.2．若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围为()A．[1,2) B．[1,2]C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)答案A解析令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数f(x)在(－∞，1]上单调递减，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g?1?>0，,a≥1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－a>0，,a≥1，))解得1≤a<2，即a∈[1,2)．思维升华求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．跟踪训练3(1)若实数a，b，c满足loga2<logb2<logc2<0，则下列关系中正确的是()A．a<b<c B．b<a<cC．c<b<a D．a<c<b答案C解析根据不等式的性质和对数的换底公式可得eq\f(1,log2a)<eq\f(1,log2b)<eq\f(1,log2c)<0，即log2c<log2b<log2a<0，可得c<b<a<1.(2)若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(logax，x≥2，,－logax－4，0<x<2))存在最大值，则实数a的取值范围是．答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))解析当a>1时，函数f(x)＝logax在[2，＋∞)上单调递增，无最值，不满足题意，故0<a<1.当x≥2时，函数f(x)＝logax在[2，＋∞)上单调递减，f(x)≤f(2)＝loga2；当0<x<2时，f(x)＝－logax－4在(0,2)上单调递增，f(x)<f(2)＝－loga2－4，则loga2≥－loga2－4，即loga2≥－2＝logaa－2，即eq\f(1,a2)≥2,0<a≤eq\f(\r(2),2)，故实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))).课时精练1．(2022·重庆巴蜀中学月考)设a＝eq\f(1,2)，b＝log7eq\r(5)，c＝log87，则()A．a>b>c B．a>c>bC．c>b>a D．c>a>b答案D解析a＝eq\f(1,2)＝log7eq\r(7)>b＝log7eq\r(5)，c＝log87>log8eq\r(8)＝eq\f(1,2)＝a，所以c>a>b.2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)等于()A．log2xB.eq\f(1,2x)C．D．2x－2答案A解析函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax，又f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2.故f(x)＝log2x.3.函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是()①a>1；②0<c<1；③0<a<1；④c>1.A．①② B．①④C．②③ D．③④答案C解析由图象可知函数为减函数，∴0<a<1，令y＝0得loga(x＋c)＝0，x＋c＝1，x＝1－c，由图象知0<1－c<1，∴0<c<1.4．(2022·银川模拟)我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．一般地，声音的强度用(W/m2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L1＝10lg?eq\f(I,I0)(单位：分贝，L1≥0，其中I0＝1×10－12是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．某新建的小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，则声音强度I的取值范围是()A．(－∞，10－7) B．[10－12，10－5)C．[10－12，10－7) D．(－∞，10－5)答案C解析由题意可得，0≤10·lg?eq\f(I,I0)<50，即0≤lgI－lg(1×10－12)<5，所以－12≤lgI<－7，解得10－12≤I<10－7，所以声音强度I的取值范围是[10－12,10－7)．5．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,?－x?，x<0.))若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)答案C解析由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,log2a>))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,?－a?>log2?－a?，))解得a>1或－1<a<0.6．(2022·汉中模拟)已知log23＝a,3b＝7，则log2156等于()A.eq\f(ab＋3,a＋ab) B.eq\f(3a＋b,a＋ab)C.eq\f(ab＋3,a＋b) D.eq\f(b＋3,a＋ab)答案A解析由3b＝7，可得log37＝b，所以log2156＝eq\f(log3?7×23?,log3?3×7?)＝eq\f(log37＋log323,log33＋log37)＝eq\f(b＋3×\f(1,a),1＋b)＝eq\f(ab＋3,a＋ab).7．(2022·海口模拟)log3eq\r(27)＋lg25＋lg4＋＋的值等于．答案eq\f(7,2)解析原式＝log3＋lg52＋lg22＋2＋＝eq\f(3,2)＋2lg5＋2lg2＋2＋(－2)＝eq\f(3,2)＋2(lg5＋lg2)＋2＋(－2)＝eq\f(3,2)＋2＋2＋(－2)＝eq\f(7,2).8．已知函数y＝loga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是．答案(4，－1)解析令x－3＝1，则x＝4，∴y＝loga1－1＝－1，故点P的坐标为(4，－1)．9．设f(x)＝log2(ax－bx)，且f(1)＝1，f(2)＝log212.(1)求a，b的值；(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的最大值．解(1)因为f(x)＝log2(ax－bx)，且f(1)＝1，f(2)＝log212，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2?a－b?＝1，,log2?a2－b2?＝log212，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＝2，,a2－b2＝12，))解得a＝4，b＝2.(2)由(1)得f(x)＝log2(4x－2x)，令t＝4x－2x，则t＝4x－2x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)))2－eq\f(1,4)，因为1≤x≤2，所以2≤2x≤4，所以eq\f(9,4)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)))2≤eq\f(49,4)，即2≤t≤12，因为y＝log2t在[2,12]上单调递增，所以ymax＝log212＝2＋log23，即函数f(x)的最大值为2＋log23.10．(2022·枣庄模拟)已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a>0且a≠1.(1)判断f(x)的奇偶性并予以证明；(2)当a>1时，求使f(x)>0的x的解集．解(1)f(x)是奇函数，证明如下：因为f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1>0，,1－x>0，))解得－1<x<1，f(x)的定义域为(－1,1)．f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)＝－[loga(1＋x)－loga(－x＋1)]＝－f(x)，故f(x)是奇函数．(2)因为当a>1时，y＝loga(x＋1)是增函数，y＝loga(1－x)是减函数，所以当a>1时，f(x)在定义域(－1,1)内是增函数，f(x)>0即loga(x＋1)－loga(1－x)>0，logaeq\f(x＋1,1－x)>0，eq\f(x＋1,1－x)>1，eq\f(2x,1－x)>0，2x(1－x)>0，解得0<x<1，故使f(x)>0的x的解集为(0,1)．11．设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则()A．a＋b<ab<0 B．ab<a＋b<0C．a＋b<0<ab D．ab<0<a＋b答案B解析∵a＝log0.20.3>log0.21＝0，b＝log20.3<log21＝0，∴ab<0.∵eq\f(a＋b,ab)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4，∴1＝log0.30.3>log0.30.4>log0.31＝0，∴0<eq\f(a＋b,ab)<1，∴ab<a＋b<0.12．若实数x，y，z互不相等，且满足2x＝3y＝log4z，则()A．z>x>y B．z>y>xC．x>y，x>z D．z>x，z>y答案D解析设2x＝3y＝log4z＝k>0，则x＝log2k，y＝log3k，z＝4k，根据指数、对数函数图象易得4k>log2k，4k>log3k，即z>x，z>y.13．函数f(x)＝log2eq\r(x)·(2x)的最小值为．答案－eq\f(1,4)解析依题意得f(x)＝eq\f(1,2)log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2x＋\f(1,2)))2－eq\f(1,4)≥－eq\f(1,4)，当log2x＝－eq\f(1,2)，即x＝eq\f(\r(2),2)时等号成立，所以函数f(x)的最小值为－eq\f(1,4).14．已知函数f(x)＝|log2x|，实数a，b满足0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋b的取值范围是________．答案(2，＋∞)解析∵f(x)＝|log2x|，∴f(x)的图象如图所示，又f(a)＝f(b)且0<a<b，∴0<a<1，b>1且ab＝1，∴a＋b≥2eq\r(ab)＝2，当且仅当a＝b时取等号．又0<a<b，故a＋b>2.15．(2022·贵阳模拟)若3a＋log3a＝9b＋2log9b，则()A．a>2b B．a<2bC．a>b2 D．a<b2答案B解析f(x)＝3x＋log3x，易知f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∵3a＋log3a＝32b＋log3b，∴f(2b)＝32b＋log3(2b)>32b＋log3b＝3a＋log3a＝f(a)，∴2b>a.16．已知函数f(x)＝log2(2x＋k)(k∈R)．(1)当k＝－4时，解不等式f(x)>2；(2)若函数f(x)的图象过点P(0,1)，且关于x的方程f(x)＝x－2m有实根，求实数m的取值范围．解(1)当k＝－4时，f(x)＝log2(2x－4)．由f(x)>2，得log2(2x－4)>2，得2x－4>4，得2x>8，解得x>3.故不等式f(x)>2的解集是(3，＋∞)．(2)因为函数f(x)＝log2(2x＋k)(k∈R)的图象过点P(0,1)，所以f(0)＝1，即log2(1＋k)＝1，解得k＝1.所以f(x)＝log2(2x＋1)．因为关于x的方程f(x)＝x－2m有实根，即log2(2x＋