直线与平面垂直学案-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册_第1页
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文档简介

8.6.2直线与平面垂直学习目标理解直线与平面垂直的定义。理解直线与平面垂直的判定定理。理解直线与平面垂直的性质定理,并能够证明。能运用判定定理证明直线与平面垂直的简单命题。能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题。基础梳理一般地,如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α。直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面。直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P

叫做垂足。过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条。过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与垂足间的线段,叫做这个点到该平面的垂线段,垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离。一般地,我们有如下判定直线与平面垂直的定理:定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直。如图,一条直线l与一个平面α相交,但不与这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点A叫做斜足。过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂足PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上射影,平面的一条斜线和它平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角。一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是90°;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角是0°。直线与平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤我们得到了直线与平面垂直的一条性质定理:定理垂直于同一个平面的两条直线平行。一条直线与一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫做这条直线到这个平面的距离。如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等,我们把它叫做这两个平行平面间的距离。随堂训练1、已知,表示两条不同直线,表示平面,下列说法正确的是(

)A.若,,则 B.若,,则

C.若,,则 D.若,,则 2、如图,为正方体,下面结论错误的是()A.平面 B.

C.平面 D.异面直线与所成的角为3、如图,点N为正方形的中心,为正三角形,平面平面是线段的中点,则()A.,且直线是相交直线

B.,且直线是相交直线

C.,且直线是异面直线D.,且直线是异面直线4、如图,在正四棱锥中,是的中点,点在内及其边界上运动,并且总有,则动点的轨迹与组成的图形是(

)A.B.

C.D.5、如图,在正方形中,分别是和的中点,是的中点.分别沿及将折起,使点重合,重合后的点记为,则下列结论成立的是(

)A.平面

B.平面

C.平面

D.平面6、如图,正方体的棱长为1,动点E在线段上,F、M分别是AD、CD的中点,则下列结论中错误的是()A. B.平面C.存在点E,使得平面平面 D.三棱锥的体积为定值7、如图,是的直径,C是圆周上不同于的任意一点,平面,则四面体的四个面中,直角三角形的个数有()A.4个 B.3个 C.2个 D.1个8、在长方体中,底面是边长为的正方形,高为,则点到截面的距离是()A. B. C. D.9、如图,所在的平面,AB是的直径,C是上的一点,于E,于F,

下列四个命题中:

①面PAC;

②面PBC;

③;

④面PBC.

其中正确命题的是______请写出所有正确命题的序号10、已知正方体的棱长为a,点E,F,G分别为棱AB,的中点.下列结论中,正确结论的序号是______.①过E,F,G三点作正方体的截面,所得截面为正六边形;②∥平面EFG;③⊥平面;④异面直线EF与所成角的正切值为;⑤四面体的体积等于11、已知,为平面外一点,,点到两边的距离均为,那么到平面的距离为___________.12、如图,在三棱台中,平面平面,.

(1)求证:平面;

(2)求直线与平面所成角的余弦值.13、如图,在四棱锥中,平面,,,,,,.(1).求异面直线与所成角的余弦值;(2).求证:平面;答案随堂训练1答案及解析:答案:B解析:对于选项A,与还可以相交或异面;

对于选项C,还可以是;

对于选项D,还可以是或或与相交.2答案及解析:答案:D解析:A中因为,正确;B中因为,由三垂线定理知正确;

C中由三垂线定理可知,,故正确;

D中显然异面直线与所成的角为

故选:D.

A中因为可判,B和C中可由三垂线定理进行证明;而D中因为,所以即为异面直线所成的角,.

本题考查正方体中的线面位置关系和异面直线所成的角,考查逻辑推理能力.3答案及解析:答案:B解析:作于,连接,过M作于.连,平面平面.平面,平面,平面,与均为直角三角形.设正方形边长为2,易知,.,故选B.4答案及解析:答案:A解析:取的中点,的中点.连接,则,∵在正四棱锥中,在平面内的射影在上,且,∴,故.又,∴,∴平面,∴当点在上移动时,总有.故选A.5答案及解析:答案:B解析:折起后,,∴SG平面,故选B.6答案及解析:答案:C解析:在A中,因为F、M分别是AD、CD的中点,所以,故A正确;在B中,F,M是底面正方形边的中点,由平面几何得,又底面,所以,,所以平面,故B正确;在C中,BF与平面有交点,所以不存在点E,使得平面平面,故C错误.在D中,三棱锥以面BCF为底,则高为上下底面的距离,所以三棱锥的体积为定值,故D正确.7答案及解析:答案:A解析:∵是圆O的直径,∴,∴是直角三角形;又平面,∴,;∴是直角三角形;又,∴平面,∴,∴是直角三角形;∴四面体的四个面中,直角三角形有4个。故答案为:A.8答案及解析:答案:C解析:点到截面的距离是,由可得解得.9答案及解析:答案:①②③解析:∵所在的平面,

∴,

又∵AB是的直径

∴,由线面垂直的判定定理,可得面PAC,故①正确;

又由平面PAC

∴,结合于F,

由线面垂直的判定定理,可得面PBC,故②正确;

又∵于E,结合②的结论

我们易得平面PAB

由平面PAB,可得,故③正确;

由②的结论,及过一点有且只一条直线与已知平面垂直,故④错误;

故答案为:①②③

根据已知中,所在的平面,AB是的直径,C是上的一点,于E,于F,结合线面垂直的判定定理,我们逐一对已知中的四个结论进行判定,即可得到答案.10答案及解析:答案:①③④解析:延长分别与的延长线交于连接交于H,设与的延长线交于P,连接交于I,交于M,连FH,HG,GI,IM,ME,则截面六边形EFHGIM为正六边形,故①正确;与HG相交,故与平面EFG相交,所以②不正确;∵,且AC与相交,所以平面,故③正确;以D为原点,DA,DC,DD1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,利用空间向量的夹角可得异面直线EF与的夹角的正切值为,故④正确;四面体的体积等于正方体的体积减去四个正三棱锥的体积,即为,故⑤不正确。故答案为:①③④11答案及解析:答案:解析:作分别垂直于,平面,连,知,,平面,平面,,.,,,为平分线,,又,.12答案及解析:答案:(1)延长相交于一点,如图所示,

因为平面平面,且,

所以平面,因此,

又因为,

所以为等边三角形,且为的中点,则,

所以平面.

(

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