直线与平面垂直学案-高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6.2直线与平面垂直学习目标理解直线与平面垂直的定义。理解直线与平面垂直的判定定理。理解直线与平面垂直的性质定理，并能够证明。能运用判定定理证明直线与平面垂直的简单命题。能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题。基础梳理一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α。直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面。直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P

叫做垂足。过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条。过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离。一般地，我们有如下判定直线与平面垂直的定理：定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直。如图，一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足。过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂足PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上射影，平面的一条斜线和它平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角。一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°。直线与平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤我们得到了直线与平面垂直的一条性质定理：定理垂直于同一个平面的两条直线平行。一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离。如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离。随堂训练1、已知,表示两条不同直线,表示平面,下列说法正确的是(

)A.若,,则 B.若,,则

C.若,,则 D.若,,则 2、如图，为正方体，下面结论错误的是()A.平面 B.

C.平面 D.异面直线与所成的角为3、如图，点N为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段的中点，则()A．，且直线是相交直线

B．，且直线是相交直线

C．，且直线是异面直线D．，且直线是异面直线4、如图,在正四棱锥中,是的中点,点在内及其边界上运动,并且总有,则动点的轨迹与组成的图形是(

)A.B.

C.D.5、如图,在正方形中,分别是和的中点,是的中点.分别沿及将折起,使点重合,重合后的点记为,则下列结论成立的是(

)A.平面

B.平面

C.平面

D.平面6、如图,正方体的棱长为1,动点E在线段上,F、M分别是AD、CD的中点,则下列结论中错误的是（）A． B．平面C．存在点E,使得平面平面 D．三棱锥的体积为定值7、如图，是的直径，C是圆周上不同于的任意一点，平面，则四面体的四个面中，直角三角形的个数有()A.4个 B．3个 C．2个 D．1个8、在长方体中,底面是边长为的正方形,高为,则点到截面的距离是()A. B. C. D.9、如图,所在的平面,AB是的直径,C是上的一点,于E,于F,

下列四个命题中：

①面PAC；

②面PBC；

③；

④面PBC．

其中正确命题的是______请写出所有正确命题的序号10、已知正方体的棱长为a，点E，F，G分别为棱AB，的中点．下列结论中，正确结论的序号是______．①过E，F，G三点作正方体的截面，所得截面为正六边形；②∥平面EFG；③⊥平面；④异面直线EF与所成角的正切值为；⑤四面体的体积等于11、已知，为平面外一点，，点到两边的距离均为，那么到平面的距离为___________．12、如图,在三棱台中,平面平面,.

(1)求证:平面;

(2)求直线与平面所成角的余弦值.13、如图,在四棱锥中,平面,,,,,,.(1).求异面直线与所成角的余弦值;(2).求证:平面;答案随堂训练1答案及解析：答案：B解析：对于选项A,与还可以相交或异面;

对于选项C,还可以是;

对于选项D,还可以是或或与相交.2答案及解析：答案：D解析：A中因为，正确；B中因为，由三垂线定理知正确；

C中由三垂线定理可知，，故正确；

D中显然异面直线与所成的角为

故选：D．

A中因为可判，B和C中可由三垂线定理进行证明；而D中因为，所以即为异面直线所成的角，．

本题考查正方体中的线面位置关系和异面直线所成的角，考查逻辑推理能力．3答案及解析：答案：B解析：作于，连接，过M作于．连，平面平面．平面，平面，平面，与均为直角三角形．设正方形边长为2，易知，．，故选B．4答案及解析：答案：A解析：取的中点,的中点.连接,则,∵在正四棱锥中,在平面内的射影在上,且,∴,故.又,∴,∴平面,∴当点在上移动时,总有.故选A.5答案及解析：答案：B解析：折起后,,∴SG平面,故选B.6答案及解析：答案：C解析：在A中,因为F、M分别是AD、CD的中点,所以,故A正确；在B中,F,M是底面正方形边的中点，由平面几何得，又底面，所以，,所以平面,故B正确；在C中,BF与平面有交点,所以不存在点E,使得平面平面,故C错误．在D中,三棱锥以面BCF为底,则高为上下底面的距离，所以三棱锥的体积为定值,故D正确．7答案及解析：答案：A解析：∵是圆O的直径，∴，∴是直角三角形；又平面，∴，；∴是直角三角形；又，∴平面，∴，∴是直角三角形；∴四面体的四个面中，直角三角形有4个。故答案为：A.8答案及解析：答案：C解析：点到截面的距离是,由可得解得.9答案及解析：答案：①②③解析：∵所在的平面,

∴,

又∵AB是的直径

∴,由线面垂直的判定定理,可得面PAC,故①正确；

又由平面PAC

∴,结合于F,

由线面垂直的判定定理,可得面PBC,故②正确；

又∵于E,结合②的结论

我们易得平面PAB

由平面PAB,可得,故③正确；

由②的结论,及过一点有且只一条直线与已知平面垂直,故④错误；

故答案为：①②③

根据已知中,所在的平面,AB是的直径,C是上的一点,于E,于F,结合线面垂直的判定定理,我们逐一对已知中的四个结论进行判定,即可得到答案．10答案及解析：答案：①③④解析：延长分别与的延长线交于连接交于H,设与的延长线交于P,连接交于I，交于M，连FH，HG，GI，IM，ME，则截面六边形EFHGIM为正六边形，故①正确；与HG相交,故与平面EFG相交，所以②不正确；∵,且AC与相交,所以平面，故③正确；以D为原点,DA,DC,DD1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,利用空间向量的夹角可得异面直线EF与的夹角的正切值为，故④正确；四面体的体积等于正方体的体积减去四个正三棱锥的体积,即为，故⑤不正确。故答案为：①③④11答案及解析：答案：解析：作分别垂直于，平面，连，知，，平面，平面，，．，，，为平分线，，又，．12答案及解析：答案：(1)延长相交于一点,如图所示,

因为平面平面,且,

所以平面,因此,

又因为,

所以为等边三角形,且为的中点,则,

所以平面.

(