平面向量的应用学习学案-高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

高一下数学学案第9课时平面向量的应用高一下数学学习指南第9课时第9课时平面向量的应用【学习内容分析】向量具有明确的几何背景，向量的加法、减法的几何意义是平行四边形和三角形法则，向量的数乘的几何意义是平行（或共线），由此可以自然而然的利用向量来解决有关三角形、平行四边形、平面内两条直线平行或垂直关系及夹角的几何问题.向量有丰富的物理背景，即力、速度、加速度和位移，自然而然可以利用向量解决物理力学现象，最短航程或最短时间等问题.通过解决平面几何和物理中的问题，最终归结为平面几何问题.向量在平面几何和物理中应用，可以体会到向量是工具，蕴含了数形结合、类比、化归与转化等数学思想方法，是培养数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象、数学建模等数学核心素养的极好载体.平面向量的概念平面向量的运算平面向量基本定理及坐标表示平面向量的应用平面向量的概念平面向量的运算平面向量基本定理及坐标表示平面向量的应用解决物理问题解决几何问题解决物理问题解决几何问题【学习目标】⑴经历几何元素转化的过程，能应用向量解决平面几何中的位置关系、长度和夹角等问题，纳出方法和步骤，体会化归与转化、数形结合的数学思想；⑵通过对实例的转化与建模，会应用向量解释物理现象或解决物理最优问题，归纳向量法解决物理问题的方法和步骤，提升数学建模、数学运算的核心素养.【学习重、难点】⑴重点：用向量法解决平面几何问题、物理问题的方法和步骤.⑵难点：如何把平面几何问题、物理问题转化为向量问题.【知识准备】认知准备：平面向量的概念、向量的线性运算、数量积运算、平面向量基本定理及坐标表示、余弦曲线.前测：⑴如图，是的中位线，,,,取为基底.①用，表示及;②求,;⑵用“五点法”画出一周期内的图象.【概念的形成】【问题1】将几何元素用向量表示几何特性几何元素及其表示向量元素及运算表示平行垂直长度角度【问题2】已知平行四边形，对角线和的长度与两条邻边和的长度之间的关系______________________________.【追问1】如何证明这个结论？【追问2】上述问题从矩形推广到平行四边形，这个结论还成立吗？若成立，结论如何证明？取为基底，_________________,_________________,_________________________,_________________________,__________________【问题3】向量方法解决平面几何问题的步骤有哪些？⑴____________________________________________________________；⑵____________________________________________________________；⑶____________________________________________________________.【追问1】可否用其他的“恰当的向量运算”解决该问题？【概念的理解】【问题1】两位同学共提一桶水，两人拉力夹角越大越费力，还是越小越费力？为什么？你能从数学的角度解释吗？该物理问题是力的______问题，可以用向量______的______________法则解决.设作用在水桶上的两个拉力分别为、，其夹角为𝜃，不妨设，水桶所受的重力为.由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识知.因为，由图象可知，当由逐渐变小到0，的值由____逐渐变____，此时由____逐渐变____，这就说明，、之间的夹角越_____越费力.【问题2】向量方法解决物理问题的步骤有哪些？⑴____________________________________________________________；⑵____________________________________________________________；⑶____________________________________________________________；⑷____________________________________________________________.【概念的应用】例1如图，在中，，，点在线段上，且,求：⑴的长；⑵的大小.例2一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行.已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时，这艘船行驶完全程需要多长时间？练习⑴如图所示，在正方形中，，分别是，的中点，①求证：；②若为中点，判断直线是否与直线平行，并证明你的结论.⑵已知质点由点移动到点的过程中，两恒力，作用于该质点.①求力，分别对质点所做的功；②求力，的合力对质点所做的功.拓展提升用向量法证明下列结论成立.①为的重心(中线交点)；②为的垂心(高线交点)；③为的外心(中垂线交点)（或）；④为的内心(角分线交点).【反思与小结】⑴向量法解决平面几何问题、物理问题的步骤是什么？⑵向量法解决问题的过程中用到了哪些数学思想方法？【课后作业】A组⑴人骑自行车的速度为，风速为，则逆风行驶的速度为（

）A． B． C． D．⑵一质点受到同一平面上的三个力，，（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知，成120°角，且，的大小都为牛顿，则的大小为______牛顿.⑶雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时雨滴下落的速度是4，现在有风，风使雨滴以的速度水平向东移动，求雨滴着地时的速度和方向.⑷试用向量法证明勾股定理.⑸求证：直径所对的圆周角为直角.B组⑹如