平面图形的几何性质

§I-3

平行移轴公式组合截面的惯性矩和惯性积§I-4

惯性矩和惯性积转轴公式·截面的主惯性轴和主惯性矩(选讲)§I-1

截面的静矩和形心§I-2

极惯性矩·惯性矩·惯性积附录I平面图形的几何性质1圆轴扭转：还将遇到一些新的截面几何量，为方便以后的研究，现在从纯几何的角度集中研究这个问题。杆件中的应力和变形，不仅与外力相关，而且与截面的几何形状与尺寸相关。轴向拉压：A、IP、Wt都是与截面形状与几何尺寸有关的量，称为截面的几何性质（或截面几何量），也称为平面图形的几何性质。2平面图形对y轴的静矩。§I-1静矩和形心一、静矩dAyzyzO1、量纲：m3、mm32、静矩值可为＋、－、0。3、平面图形关于对称轴的静矩值为0。zdA为微面积对y轴的静矩；ydA为微面积对z轴的静矩。定义：dSz－

ydA＝0＝ydA平面图形对z轴的静矩。yOz对称轴z-yyzdAdA3§1静矩和形心一、静矩二、形心及位置坐标形心：即为图形的几何中心。对于均质薄板，重心、质心与形心重合。形心坐标：AyOzyCzCCdAzy即：41、平面图形对形心轴的静矩为零。则yC＝0若z为形心轴,2、平面图形若有对称轴，则形心在对称轴上。形心轴：通过形心的坐标轴。反之，若图形对某轴静矩为零，该轴一定过形心。（因为图形关于对称轴的静矩为0。）yzOC形心二、形心及位置坐标5三、组合图形（组合截面）的静矩与形心1．组合图形：由简单图形(矩形、圆形等）组合而成的图形。2．组合图形的静矩：组合图形由A1、A2、An组成，其形心分别为（zC1，yC1）（zC2，yC2）（zCn，yCn）。因此：63、组合图形的形心坐标公式：利用形心与静矩的关系：2、所选坐标系不同，求得的形心坐标就不同，但形心在图形中的位置是固定不变的。1、一定要建立坐标系。若图形有对称轴，选取对称轴为坐标轴可简化计算。求形心时注意：7101040103030例题：求图示截面的形心。yzO建立参考坐标系Oyz如图。解：1238188.75（1）将此图形分为大矩形Ⅰ和小矩形Ⅱ。（3）由对称性可知（2）建立坐标轴：以图形的竖直对称轴为z轴，过Ⅱ底边的轴取为y轴。例题：求图形的形心。200300101010解：IIIOzyC9§I-2惯性矩和惯性半径定义平面图形对z轴的惯性矩对y轴的惯性矩对原点的极惯性矩1、IP、Iy、Iz的量纲m4；

iy、iz的量纲m；值恒正。微面积dA对z轴的惯性矩为：y2dAzyOρdAzy对y、z轴的惯性半径10D1D2d极惯性矩IPzyOρdAzyz’y’惯性矩惯性半径极惯性矩2、极惯性矩反映了平面图形相对于一点的分布情况。惯性矩、惯性半径反映了平面图形相对于坐标轴的分布情况。由于圆为中心对称，所以yzOyOz平面图形对过一点的任意一对正交轴的惯性矩之和，恒等于图形对该点的极惯性矩。3、由于11平面图形对yz轴的惯性积1、Iyz的量纲m4，可正、可负、可为零。zyOdAzyyOz对称轴2、平面图形关于含对称轴在内的正交坐标轴的惯性积等于0。z-yyzdAdA12例4：求圆截面关于对称轴的惯性矩。由于z、y均为对称轴，根据可得：解：所以同样，对应空心圆截面：而要求必须掌握yzO13bh例5：求矩形截面关于对称轴y、z轴的惯性矩。同样，要求掌握yzOzdz14§I-3平行移轴公式平面图形面积为A，形心C，形心轴为yC，zC。由惯性矩定义对于坐标系Oyz，y∥yC，z∥zC。微面积dA相对y轴的坐标为：z=zC+a因为yC为形心轴,而所以（要求掌握）由此可知，平面图形对形心轴的惯性矩最小。bzyOACyC

zCzCyCazydA(a、b为图形的形心在Oyz中的坐标）C（b，a）15求矩形对y1轴的惯性矩和y1z1轴的惯性积。bhzOyz1y1例平行移轴公式1、yC，zC为形心轴。2、y∥yC

相距为a。z∥zC注意：(a、b为图形的形心在Oyz中的坐标）解：解：求三角形对形心轴y的惯性矩。已知三角形对y1轴的惯性矩，例Ohyy1byC，zC为对称轴，16根据积分性质，可得：二、组合截面的惯性矩组合截面的惯性矩等于各个组成部分（简单图形）对同一轴的惯性矩之和。组合截面面积为A，由A1、A2、An组成。

对于任意截面，都可以利用积分求惯性矩。但计算繁琐。由于组合截面由几个简单图形组成，如矩形，圆形。而矩形、圆形关于自身对称轴的惯性矩已有现成公式，可以在此基础上用平行移轴定理很方便的求出组合截面的惯性矩。171402020100求图示T型截面对水平形心轴yC

的惯性矩。例6:ⅠⅡy（1）求形心的位置建立参考坐标系zCy如图。（2）求截面对形心轴的惯性矩利用平行移轴定理a1=33.3y1zC=46.7解：C第一块对yC

轴的惯性矩第二块对yC

轴的惯性矩yCzCC1C218200300101010求图形对水平形心轴的惯性矩。例III将此图形分为大矩形Ⅰ和小矩形Ⅱ。zyzC解：（1）形心的位置y1a1y2a2（2）求截面对形心轴的惯性矩:大矩形对yC

轴的惯性矩：小矩形对yC轴的惯性矩：C1C2CyCa1＝188.75－155＝33.75mma2＝188.75－150＝38.75mm总惯性矩19例题例

已知：F=15kN,l=400mm,b=120mm,d=20mm试计算：截面

B-B的最大拉应力st,max与压应力sc,max解：1.弯矩计算2.形心位置计算由矩形

1

与矩形

2

组成的组合截面203.惯性矩计算4.最大弯曲正应力21yOz一、转轴公式dAz1y1aaDEBACz1y1zy已知：Iy,Iz,

Iyz,

a,求§I-4转角公式主惯性矩(选讲)同理求出：应用三角公式,改写为a是y与y1轴的夹角，由y轴逆时针转到y1

轴时的a为正。22yOz转轴公式az1y1定义域：－≤≤，以为周期，即截面对夹角为0或180°的轴的惯性矩相同。23求惯性矩的极值及其坐标轴的方位：求得平面图形对两个互相垂直的坐标轴的惯性积为零时，对这两个坐标轴的惯性矩一定为极值。由于此极值一个为极大，一个为极小。可求出两个相差90°角24二、主轴与主惯性矩1．概念（1）主轴(主惯性轴）：惯性积等于零的一对正交轴；（3）形心主轴：过图形形心的主轴。图形的对称轴就是形心主轴。（4）形心主惯性矩：图形对形心主轴的惯性矩。（2）主惯性矩图形对主轴的惯性矩。平面图形对过某点所有轴的惯性矩中的极大值和极小值，就是对过该点主轴的两个主惯性矩。（5）形心主惯性平面：杆件横截面的形心主轴与杆件轴线所确定的平面。横截面的对称轴就是形心主轴，与杆件轴线所确定的纵向对称面为形心主惯性平面。252．主惯性矩和主轴方位（1）主惯性矩大小：（3）与主轴方位的对应关系：若Iy≥Iz，0轴对应Imax

；若Iy<Iz，0轴对应Imin

。（4）任何具有三个或三个以上对称轴的平面图形，所有形心轴都是主轴，如正三角形、正方形、正多边形。（2）主轴方位

0只取主值：|2

0|≤90°。26解：根据对称性可知：例题例：求图示正方形对过形心的y1、z1轴的惯性矩和惯性积。yzaaCy1z1a由此可知y1、z1轴也是形心主轴。因此，正方形任意形心轴均为形心主轴，任意正多边形都具有这种性质。271601111117070例试求图示图形的形心主轴和形心主惯性矩。解：图形的对称中心C为形心，在C点建立坐标系yz。将整个图形分成I、II、III三个矩形。IIIIIICyz整个