与面积有关的几何概型

高中数学：与面积有关的几何概型角度1与平面图形面积相关的几何概型I 丨21（2019•河南安阳模拟）在边长为a的正三角形内任取一点q,则点q到三个顶点的距离均大于a的概率是（B）A.—#兀 B.1-活C.3 D.2解析：设边长为a的正三角形为三角形ABC,如下图所示:a2,a2,•••AB=a，・・・S三角形ABC=2sSin3=fa2,满足到正三角形ABC的顶点A、B、C的距离至少有一个小于或等于a的所有点组成的平面区域如图中阴影部分所示，各部分组合起来构成一个半径为a的半圆,1・•1・•・$阴影=2(0\•兀・22=I2丿na2~8，na2・•・使点Q到三个顶点A、B、C的距离都大于2的概率P=1-文2 p3a24=1一 n，故选B.角度2与线性规划有关的几何概型角度2与线性规划有关的几何概型xWO,（2019•武汉模拟）由不等式组xWO,（2019•武汉模拟）由不等式组＜y$0， 确定的平、y—x—2W0面区域记为0,不等式组］ 确定的平面区域记为碍，在盘中随机取一点，则该点恰好在碍内的概率为（D）B-4B-47D・8C.4 D.7解析：如图，由题意知平面区域0的面积SQ1=Saaom=1X2X2117与碍的公共区域为阴影部分，$阴=2—2X1X2=4e由几何概型得在色内随机取一点,S47则该点恰好落在碍内的概率P=S阴=2=&"方法技巧与面积有关的几何概型的常见题型及求解策略（1）几何概型与平面几何的交汇问题，其解题思路为：利用平面几何的相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率；

（2）几何概型与线性规划的交汇问题，其解题思路为：先根据约束条件作出可行域，再确定形状，求面积大小，进而代入公式求概率．“跟踪训练2⑴在区间［0,1］随机抽取2n个数X］,x2，…,xn，尹］,y2，…，yn，构成n个数对（X］,yj,（x2，y2），…，（xn，儿），其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率n的近似B.2n值为(CB.2n4nA.—mD.2D.2m解析：由题意得：（xz，尹并=1,2,…，n）在如图所示的正方形中（含边界）,而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中（不含圆的边界）,1nR2S4 n m由几何概型概率计算公式知P=s^="R厂=4，又P=n，所以正方形nm 4m4=n，所以兀=百yO⑵（2019yO⑵（2019・广东化州模拟）如图，正方形ABCD内的图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是n解析：设正方形边长为2，则正方形面积为4，正方形内切圆中1 n的黑色部分的面积S=2XnX12=2，・・・在正方形内随机取一点，则此n2兀点取自黑色部分的概率P=4=8.考点三与体积有关的几何概型14；(1)(20®湖南长沙四县联考)如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器(与外界相通)，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是(D)”一 刖]K/[|]11*1\/”V-TOC\o"1-5"\h\z, .n nA-1_4 B口一n -nC.4 D-—豆解析：鱼缸底面正方体的体积为23=8,圆锥底面圆的面积为n，12高为2，圆锥的体积为3XnX2=3n.所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外2n3 n面的鱼吃到”的概率是1—育=1—辽，故选D.(2)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点F，则点P到点On的距离大于1的概率为1—方.解析：如图，与点O距离等于1的点的轨迹是一个半球面，其体积V1=2x4nX1体积V1=2x4nX13=2n.GAB5D0AB2n事件“点P与点O距离大于1的概率”对应的区域体积为23—亍根据几何概型概率公式得，点P与点O距离大于1的概率P=2n23 ■3_n23 =1—1T"方法技巧与体积有关的几何概型问题如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用空间几何体的体积表示，则其概率的计算公式为：岸_ 构成事件A的区域体积P(A)_试验的全部结果所构成的区域体积.求解的关键是计算事件的总体积以及事件A的体积.(1)(2019•豫东名校联考)一个多面体的直观图和三视图如图所示,点M是AB的中点，一只蝴蝶在几何体ADF-BCE内自由飞翔，则它飞入几何体F—AMCD内的概率为(D)正视图俯盘图B・3D.2解析：由题图可知vf-amcd^3xs正视图俯盘图B・3D.2解析：由题图可知vf-amcd^3xs四边形AMCD侧视图XDF=^VADF-BCE1

=ja3,4a3i所以它飞入几何体F-AMCD内的概率为厂=2.(2)(2019•黑龙江五校联考)在体积为V的三棱锥S-ABC的棱ABV2上任取一点F,则三棱锥S-APC的体积大于3的概率是3.Vi解析：由题意可知严C>3,三棱锥S-ABC的高与三棱锥S-APCVS-ABC3的高相同．如图