高中数学七章三角函数73三角函数性质与图像731正弦函数性质与图像B

正弦函数的性质与图像(教师独具内容)课程标准：1.借助单位圆理解正弦函数的定义以及周期性、奇偶性、单一性等性质.2.能用五点法画出正弦函数的图像．教课要点：掌握正弦函数的性质．教课难点：正弦函数性质的综合运用.【知识导学】知识点一正弦函数的性质一般地，对于函数f(x)，假如存在一个非零常数T，使得对定义域内的每一个x，都满足□f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，非零常数T称为这个函数的□12周期．对11于一个周期函数f(x)，假如在它的全部周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就称为f(x)的□13最小正周期．知识点二正弦函数的图像一般地，y＝sinx的函数图像称为□01正弦曲线．我们作正弦曲线的简图时，在精准度要求不高的状况下，一般都是先找出确立图像形状的要点的五个点，而后再描点作图，这类作图方法称为□02五点法．(3)利用“五点法”作正弦函数y＝sinx在区间[0,2π]上的图像的五个要点点是□03(0,0)，□π3π04050607【新知拓展】1．作正弦函数图像时，函数自变量要用弧度制，以保证自变量与函数值都为实数．2．假如

y＝sin

x

的定义域不是全体实数，那么它的值域便可能不是

[－1,1]

．如

y＝πsin

x，x∈

0，

2

，此时

y∈[0,1]

．3．正弦曲线的对称轴必定经过正弦曲线的最高点或最低点，此时，正弦函数取最大值或最小值．4．正弦曲线的对称中心必定是正弦曲线与x轴的交点，即此时的正弦值为0.5．正弦函数在其定义域上不是单一的．6．奇偶性的判断步骤是：(1)求定义域；(2)察看f(－x)与±f(x)的关系；(3)下结论．7．周期性除用定义外还要重视图像法．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)π2ππ2π(1)因为sin6＋3＝sin6，则3是函数y＝sinx的一个周期．( )(2)画正弦函数图像时，函数自变量要用弧度制．( )(3)正弦函数在定义域上不是单一函数．( )答案(1)×(2)√(3)√做一做(1)以下区间中，是函数y＝sinx的单一增区间的是()π，3πA．[0，π]B.22C.－π，πD．[π，2π]22(2)函数y＝2－sinx的最大值为________，取最大值时x的值为________．(3)函数y＝sinx，x∈[0，π]时，值域为________．π答案(1)C(2)3－2＋2kπ，k∈Z(3)[0,1]题型一判断正弦函数的奇偶性例1判断以下函数的奇偶性：3πf(x)＝4sinx＋2；1－sinx(2)f(x)＝1＋sinx.[解](1)因为函数的定义域为R，33π3f(x)＝4sinx＋2＝－4cosx.33因此f(－x)＝－4cos(－x)＝－4cosx＝f(x)，33π为偶函数．因此函数f(x)＝sinx＋24(2)函数应知足1＋sinx≠0，因此函数的定义域为xx∈R，且x≠3π.＋2kπ，k∈Z2因为函数的定义域不对于原点对称，因此该函数既不是奇函数也不是偶函数．金版点睛函数奇偶性的判断方法看函数的定义域能否对于原点对称．看f(x)与f(－x)的关系．[追踪训练1]判断函数f(x)＝xsin(π＋x)的奇偶性．解函数的定义域为R，对于原点对称．f(x)＝xsin(π＋x)＝－xsinx.f(－x)＝－(－x)sin(－x)＝－xsinx＝f(x)，∴f(x)是偶函数.题型二正弦函数的单一性及应用例2(1)比较以下各组数的大小：ππ75sin－18与sin－10；②sin4与cos3.求函数y＝－2sinx－1的单一递加区间．ππππ[解](1)①因为－2<－10<－18<0，正弦函数y＝sinx在区间－2，0上是增函数，ππ因此sin－18>sin－10.5π5π7π53ππ3π②因为cos3＝sin2＋3，又2<4<2＋3<2，而y＝sinx在2，2上是减函数，7π575因此sin4>sin2＋3，即sin4>cos3.因为y＝－2sinx－1，因此函数y＝－2sinx－1的递加区间就是函数y＝sinx的递减区间．π3π因此2＋2kπ≤x≤2＋2kπ(k∈Z)，因此函数y＝－2sinx－1的递加区间为π＋2kπ，3π＋2π(k∈Z)．22k金版点睛利用正弦函数单一性比较大小的步骤必定：利用引诱公式把角化到同一单一区间上．二比较：利用函数的单一性比较大小．[追踪训练2](1)以下关系式中正确的选项是( )A．sin11°<cos10°<sin168°B．sin168°<sin11°<cos10°C．sin11°<sin168°<cos10°D．sin168°<cos10°<sin11°π(2)函数y＝2sinx＋6(x∈[0，π])为增函数的区间是________．答案(1)C(2)0，π2π分析(1)∵cos10°＝sin80°，sin168°＝sin12°，且y＝sinx在0，2是增函数，∴sin80°>sin12°>sin11°，即cos10°>sin168°>sin11°.(2)y＝2sinx＋π在x∈[0，π]上的单一递加区间与y＝sinx在[0，π]上的单一递加6π区间同样，为0，2.题型三求正弦函数的值域或最值例3求使以下函数获得最大值和最小值时的x值，并求出函数的最大值和最小值：(1)y＝2sinx－1；(2)y＝－sin2x＋2sin3x＋.4π[解](1)由－1≤sinx≤1知，当x＝2kπ＋2，k∈Z时，函数y＝2sinx－1获得最大值，ymax＝1；当x＝3π＝－3.2＋2kπ，k∈Z时，函数y＝2sinx－1获得最小值，ymin(2)y＝－sin2x＋2sin3sinx－225，因为－1≤sinx≤1，因此当sinx＝x＋＝－＋4242π3π52，即x＝4＋2kπ或x＝4＋2kπ(k∈Z)时，函数获得最大值，ymax＝4；3π1当sinx＝－1，即x＝2＋2kπ(k∈Z)时，函数获得最小值，ymin＝－4－2.金版点睛与正弦函数相关的函数的值域(或最值)的求法(1)求形如y＝asinx＋b的函数的最值或值域时，可利用正弦函数的有界性(－1≤sinx≤1)求解．求形如y＝asin2x＋bsinx＋c，a≠0，x∈R的函数的值域或最值时，能够经过换元，令t＝sinx，将原函数转变为对于t的二次函数，利用配方法求值域或最值．求解过程中要注意正弦函数的有界性．[追踪训练3]设f(x)＝asinx＋b的最大值是1，最小值是－3，试确立g(x)＝b2sinxa2的最大值．解由题意，a≠0，a＋b＝1，

a＝2，当a>0时，

因此－a＋b＝－3，

b＝－1，此时g(x)＝sinx＋4的最大值为5.a＋b＝－3，a＝－2，当a<0时，－a＋b＝1，因此b＝－1，此时g(x)＝sinx＋4的最大值为5.综上知，g(x)的最大值为5.题型四用“五点法”作正弦函数的图像例4作函数y＝sinx，x∈[0,2π]与函数y＝－1＋sinx，x∈[0,2π]的简图，并研究它们之间的关系．[解]按五个要点点列表：x0ππ3π2π22sinx010－10－1＋sinx－10－1－2－1利用正弦函数的性质描点作图，如图：由图像能够发现，把

y＝sin

x，x∈[0,2π]的图像向下平移

1个单位长度即可得

y＝－1＋sin

x，x∈[0,2π]的图像．金版点睛用五点法作函数y＝sinx的图像的步骤列表，由x＝0，π，π，3π，2π求出y的值，获得“五点”坐标．22在同一坐标系中描出各点．用圆滑曲线连结这些点，所成图像即为所求．[追踪训练4]用五点法作出函数y＝sinx＋5在[0,2π]上的图像，并写出它的最值．解列表以下：x0ππ3π2π22sinx010－10y56545描点连线，以下图．获得函数y＝sinx＋5的图像，其最大值为6，最小值为4.1．函数y＝(sinx－2)2在R上的最大值为()A．4B．9C．1D．3答案B分析由y＝sinx在R上的最小值为－1，最大值为1，联合二次函数的图像，可适当sinx＝－1时，y＝(sinx－2)2获得最大值9.2．函数y＝sinx，x∈π2π，则y的范围是()6，3A．[－1,1]3B.1，221D.3，1C.，122答案C分析当x＝π时，y取最小值1，当x＝π时，y取最大值1.6223．函数y＝3sinx＋5的最小正周期是________．答案2π分析∵y＝3sinx＋5和y＝sinx周期同样，∴最小正周期为2π.4．已知a∈R，函数f(x)＝sinx－|a|，x∈R为奇函数，则a等于_______