高数例题第六章定积分的应用

高数例题第六章定积分的应用第一页，共三十七页，2022年，8月28日三.用定积分来表达的量应具备的条件1.是与一个变量的变化区间有关的量。2.量对于区间具有数量的可加性。3.部分量的近似值可表示为

,其中上已知的连续函数。第二页，共三十七页，2022年，8月28日四、求的定积分表达式的步骤（元素法）1.选取适当的积分变量,并确定它的变化区间。2.求出相应于上的任意一个小区间上的部分量的近似值称为量的元素,记作即3.以量的元素为被积表达式,在上做定积分,得,这就是所求量的积分表达式,这种方法称作定积分的元素法(微元法)，称为所求量的元素。第三页，共三十七页，2022年，8月28日例1．计算由两条拋物线

所围成的图形的面积。第四页，共三十七页，2022年，8月28日

§6-2定积分在几何学上的应用一、平面图形的面积1、直角坐标情形例1．计算抛物线与直线所围成的图形的面积。第五页，共三十七页，2022年，8月28日例2．曲线

轴所围图形面积，用定积分可表示

为。第六页，共三十七页，2022年，8月28日例3．设，问取何值时,图中阴影部分的面积

之和最小？第七页，共三十七页，2022年，8月28日例4.求椭圆所围成的图形的面积。第八页，共三十七页，2022年，8月28日2、极坐标情形(一)曲边扇形的面积如图曲边扇形由及射线围成，在上连续,且,则曲边扇形的面积为第九页，共三十七页，2022年，8月28日例5．计算阿基米德螺线

上相应于

从0变到

的一段弧与极轴所围成的图形的面积。第十页，共三十七页，2022年，8月28日例6．计算心形线

所围成的图形的面积。第十一页，共三十七页，2022年，8月28日

4、几种特殊曲线的图形

4．其它各种曲线图形见教材。第十二页，共三十七页，2022年，8月28日例7.双纽线所围成的区域面积可用定积分表示为().

A.B.

C.D.第十三页，共三十七页，2022年，8月28日例8.求由曲线

直线及所围成的图形的面积。第十四页，共三十七页，2022年，8月28日二、体积(一)旋转体的体积1、定义：旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体,这直线叫做旋转轴。2、体积的求法(1)由连续曲线所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积。第十五页，共三十七页，2022年，8月28日例9．连结坐标原点及点的直线，直线及轴围成一个直角三角形，将它绕轴旋转构成一个底半径为，高为的圆锥体，计算这圆锥体的体积。

第十六页，共三十七页，2022年，8月28日例10.计算由椭圆所围成的图形绕轴旋转而成的旋转体(叫做旋转椭球体)的体积

第十七页，共三十七页，2022年，8月28日(2)由连续曲线，直线

轴所围成的曲边梯形,绕轴旋转一周而成的旋转体的体积为：第十八页，共三十七页，2022年，8月28日例11．计算由摆线

相应于的一拱,直线所围成的图形分别绕轴、轴旋转而成的旋转体的体积。第十九页，共三十七页，2022年，8月28日例12.设平面图形A由

所确定的图形A绕直线旋转一周所得旋转体的体积。第二十页，共三十七页，2022年，8月28日例13．在椭圆绕其长轴旋转成的椭球体上,沿长轴方向打一圆孔,使剩下部分的体积恰好等于椭球体体积的一半,试求该圆孔的直径.第二十一页，共三十七页，2022年，8月28日(二)平行截面面积为已知的立体的体积

已知立体在过点轴的两个平面之间，且垂直于轴的截面面积为为连续函数，

则第二十二页，共三十七页，2022年，8月28日例14.一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角,计算这平面截圆柱体所得立体的体积.第二十三页，共三十七页，2022年，8月28日例15．求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为h的正劈锥体的体积。第二十四页，共三十七页，2022年，8月28日例16.证明由平面图形

绕轴旋转所成的旋转体的体积为

第二十五页，共三十七页，2022年，8月28日三、平面曲线的弧长(一)平面曲线弧长的概念1、定义：设A,B是曲线弧上的两个端点，在弧上依次任取分点，并依次连接相邻的分点得一折线，当分点的数目无限增加且每个小段都缩向一点时,如果此折线的长的极限存在,则称此极限为曲线弧的弧长,并称此曲线弧是可求长的。第二十六页，共三十七页，2022年，8月28日2、定理：光滑曲线弧是可求长的。(二)弧长的求法1、参数方程情形设曲线弧由参数方程给出,其中在上具有连续导数;且不同时为零。则第二十七页，共三十七页，2022年，8月28日例17.计算摆线的一拱的长度。第二十八页，共三十七页，2022年，8月28日2、直角坐标情形设曲线弧由直角坐标方程

给出

上具有一阶连续导数.则

第二十九页，共三十七页，2022年，8月28日

同样,若曲线弧的直角坐标方程为

在上具有一阶连续导数第三十页，共三十七页，2022年，8月28日例18.计算曲线上相应于从到的一段弧的长度。第三十一页，共三十七页，2022年，8月28日

例20．求曲线

的弧长。第三十二页，共三十七页，2022年，8月28日例21．求曲线在的全长第三十三页，共三十七页，2022年，8月28日3、极坐标情形设曲线弧由极坐标方程给出，其中在上具有连续导数.则第三十四页，共三十七页，2022年，8月28日例21.求阿基米德螺线

相应于从0到一段的弧长.第三十五页，共三十七页，2022年，8月28日一、变力沿直线所做的功例1．把一带电荷量+q的点电荷放在r轴上坐标原点O处，它产生一个电场，这个电场对周围的电荷有作用力，由物理学知道，如果有一个单位正电荷放在这个电场中，距离原点O为r的地方，那么电场对它的作用力的大小为，当这个单位正电荷在电场中从