《一元二次方程》教材分析报告

千里之行，始于足下。第2页/共2页精品文档推荐《一元二次方程》教材分析报告第二十二章《一元二次方程》教材分析

北京八中刘颖

一.本章的要紧内容:

1.要紧内容:一元二次方程及其有关概念,一元二次方程的解法（配办法、公式法、因式分解法）,运用一元二次方程分析和实际咨询题.

2.本章重点：一元二次方程的解法,

难点：一元二次方程的应用.

二.中考考试要求:（2012年）

三.课程学习目标

1.以分析实际咨询题中的等量关系并求解其中的未知数为背景,认识一元二次方程及其有关概念.

2.依照化归的思想,抓住“落次”这一基本策略,掌握配办法、公式法和因

式分解法等一元二次方程的基本解法．有条件时可选学“一元二次方程的根与系数的关系”,拓展对一元二次方程的认识.

3.记忆分析和解决实际咨询题的过程,体味一元二次方程的数学模型作用,进一步提高在实际咨询题中运用方程这种重要数学工具的基本能力.

四.本章知识结构框图

五.课时安排

本章教学时刻约需13课时,具体分配如下（仅供参考）:

22.1一元二次方程………………（2课时）

22.2落次——解一元二次方程…（7课时）

22.3实际咨询题与一元二次方程…（2课时）

数学活动与小结…（2课时）

六.内容安排

22.1节以实际咨询题为背景,引出一元二次方程的概念,归纳出一元二次方程的普通形式,给出一元二次方程的根的概念,并提出一元二次方程的根会浮现别唯一的事情.这些概念是全章后续内容的基础.

22.2节讨论一元二次方程的基本解法,其中包括直截了当开平办法、配办法、公式法和因式分解法等,这一节是全章的重点内容之一.在本章之前的方程基本上一次方程或可化为一次方程的分式方程,一元二次方程是首次浮现的高于一次的方程.解二次方程的基本策略是将其转化为一次方程,这算是“落次”.本节首先经过解比较简单的一元二次方程,引导学生认识直截了当开平办法解方程;然后讨论比较复杂的一元二次方程,经过对照一边为彻底平方形式的方程,使学生认识配办法的基本原理并掌握其具体办法;有了配办法作基础,再讨论怎么用配办法解一元二次方程的普通形式20

++=(0

axbxc

a≠),就得到一元二次方程的求根公式,于是有了直截了当利用公式的公式法,并引出用判不式确定一元二次方程的根的事情.本节在公式法后讨论因式分解法解一元二次方程,这种解法要使方程的一边为两个一次因式相乘,另一边为0,再分不令每个一次因式为0.这几种解法基本上依落次的思想,将二次方程转化为一次方程,不过具体的落次手段有所别同.本节最终增加了选学内容“一元二次方程的根与系数的关系”.学习这一内容能够进一步加深对一元二次方程及其根的认识,为往后的学习做预备.

22.3节安排了3个探索内容,结合实际咨询题,分不讨论传播咨询题、增长率咨询题和几何图形面积咨询题.一元二次方程与许多实际咨询题都有联系,本节别是按照实际咨询题的类型分类和选材的,而是选取几个具有一定代表性的实际咨询题来进一步讨论怎么建立和利用方程模型,重点在分析实际咨询题中的数量关系并以方程形式举行表示,这种数学建模思想的体现与前面有关方程的各章是一致的,不过在咨询题中数量关系的复杂程度上又有新的进展,数学模型由一次方程

或能够化为一次方程的分式方程变为一元二次方程．

本章从引言到小结始终保持贴近实际、贴近日子.如此安排要紧目的是:

1.反映客观世界与数学的紧密联系;

2.加强对应用数学知识分析和解决实际咨询题的意识和能力的培养.

目前的课程标准没有将一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）列为

必学内容,思考到部分学有余力的学生能够进一步扩大对一元二次方程的认识,以及那个内容是比较重要的数学知识,教科书在22.2.4中安排了有关内容供选学,希翼能提供一些咨询题给部分学生去探索.

在本章小结中,教科书再次强调一元二次方程与实际咨询题之间的联系,突

出解一元二次方程的基本思路以及具体办法,这是本章的重点内容.

一元二次方程是本套初中数学教科书中所学习的最终一种方程,从某种意义上讲,学习本章也具有对方程的学习举行总结的作用．

七.教学中应注意一些的咨询题

（一）一元二次方程的有关概念

1.了解一元二次方程的概念

（1）一元二次方程是整式方程;

（2）它含有一具未知数（“一元”）,未知项的最高次次数是2（“二次”）;

（3）它的普通形式是:)0(02≠=++acbxax.

2.能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围

惟独当二次项系数0a≠时,整式方程20axbxc++=才是一元二次方程.

例1.①对于x的方程()04412=-++mxxm是一具一元二次方程,则m的取值范围是_________,一次项系数是_____________,常数项是______________

②对于x的一元二次方程()()()axaxx51233=+-+-,化成普通形式是

_____________

3.一元二次方程的解(根)的定义与检验一元二次方程的解(根)

（1）一元二次方程作为整式方程,在有解的事情下,一定有两个实数解;

（2）区分“无解”与“无实数解”.

例2.已知:a>b,且有01532=-+aa,01532=-+bb

①a,b是否方程01532=-+xx的根;②求a,b的值

例3.对于x的方程(1–a)x2+2x+2=0有实根,求a的取值范围.

（二）能挑选适当的办法解一元二次方程

在学习本章之前,学生差不多学习过一元一次方程、二元一次方程组的解法,同时学习了能够化为一元一次方程的分式方程的解法.一元二次方程的解法与前面的方程的解法相比,特点在于未知数的次数是2（二次）,于是重点和难点在于怎么将一元二次方程转化为差不多会解的一次方程.

1.明确解一元二次方程是以落次为目的,应以直截了当开平办法、配办法、公式法、因式分解法等办法为手段,从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解,其中配办法更是尤为重要;

2.明白配办法,能熟练地选用包括直截了当开平办法、配办法、公式法、因式分解法等办法在内的适当的办法解一元二次方程;

3.明白各种解法的依据;

4.各种解法应强调的咨询题

（1）直截了当开平方

关于形如nx=2或)0()(2≠=+anbax的一元二次方程（即一边是含有未知数的一次式的平方,而另一边是一具非负数）,可用直截了当开平办法求解.

形如nx=2的方程的解法:当0>n时,nx±=;

当0=n时,021==xx;

当0-acb时,方程有两个实数根,且这两个实数根别相等;

当042=-acb时,方程有两个实数根,且这两个实数根相等,写为a

bxx221-==;当042?≠时

00a?方程有两个别相等的实数根;当?

??=?≠时00a?方程有两个相等的实数根;②当???<?≠时

00a?方程无实数根．2.常见的题型

（1）别解方程,利用一元二次方程根的判不式,判不一元二次方程根的事情;例7.别解方程,推断下列对于x的方程的根的事情:

①()()7315=+-xx②02352=-+xx

（2）已知一元二次方程的根的事情,由根的判不式确定字母的取值范围;

例8.若对于x的方程0962=+-xkx有两个别相等的实数根,求k的取值范围

（3）应用判不式,证明一元二次方程根的事情

①先计算出判不式（关键步骤）;②用配办法将判不式恒等变形;

③推断判不式的符号;④总结出结论.

例9.已知a,b,c为实数.求证:对于x的方程(x–a)(x–b)+(x–b)(x–c)+(x–c)(x–a)=0恒有实数根.

（4）分类讨论思想的应用:假如方程给出时未指明是二次方程,后面也未指明方程有两个根时,需要对方程举行分类讨论,假如二次项系数为0,方程也许是一元一次方程;假如二次项系数别为0,方程是一元二次方程,也许会有两个实数根或无实数根.

例10.已知对于x的方程:()()011222=++mxmxm,在下列事情下,分不求m的取值范围:

①方程惟独一具实数根;②方程有两个相等的实数根;③方程有两个别相等的实数根

（5）一元二次方程根的判不式常结合三角形、四边形、别等式（组）等知识综合命题,解答时要在全面分析的前提下,注意合理运用代数式的变形技巧.

例11.已知:对于x的方程(a+c)x2+2bx–a+c=0有两个相等的实数根.咨询正数a,b,c是否能够作为一具三角形的三边的长?假如能够,是啥形状的三角形?

（6）一元二次方程根的判不式与整数解的综合.

例12.当k是啥整数时,方程(k2–1)x2–6(3k–1)x+72=0有两个别相等的正整数根

（7）判不一次函数与反比例函数图象的交点咨询题.另外,一元二次方程根的判

不式关于日后学习二次函数图象与横轴交点的个数也有非常好的铺垫作用.

（四）会运用一元二次方程解决简单的实际咨询题

1.数字咨询题:解答这类咨询题要能正确地用代数式表示出多位数,奇偶数,延续整数等形式.

2.几何咨询题:这类咨询题要结合几何图形的性质、特征、定理或法则来寻觅等量关系,构建方程,对结果要结合几何知识检验.

3.增长率咨询题:在此类咨询题中,普通有变化前的基数（a）,增长（下落）率（x）,变化的次数（n）,变化后的结果（b）,这四者之间的关系能够用公式bxan=±)1(表示.普通采纳直截了当开平办法求根,结果普通要符合01x<<的要求.

4.“握手咨询题”是一种常见的题型,建议归纳这种方程的模型,帮助学生识不.

5.面积咨询题要合理设未知数,方程模型为()()abxcdxm--=,普通采取因式分解法或公式法求解,结果要并且符合0bxa<<、0dxc<<两个要求.

6.其它实际咨询题（都要注意检验解的实际意义,若别符合实际意义,则舍去）.

八.适当补充一些咨询题

（一）目前的课程标准没有将一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）列何必学内容,思考到部分学有余力的学生能够适当扩充.

定理的前提条件是:二次项系数00a≠?≥，.

例13.根与系数关系补充内容

①已知x1、x2是方程05322=-+xx的两个实数根,则_________2

121=+xxxx②已知对于x的方程04532=-+kxx的一具根是-2,求它的另一具根α和k的值

③已知x1、x2是方程0522=--xx的两个根,求下列代数式的值:2111xx+;2221xx+;??????-??????-122111xxxx;21xx-

④已知对于x的方程0221222=-+??

???--axax有两个别相等的实数根α和β,且有

α2-αβ+β2=12,求a的值

⑤在等腰△ABC中,三边分不为a、b、c,已知a=3,且b和c是对于x的方程02122=-++mmxx的两个实数根,求△ABC的周长

（二）可化为一元二次方程的简单的分式方程

例14.解下列方程:

①

12221--=+xxx②1

1314121+-+=+-+xxxx

九.几个值得关注的咨询题

本章的要紧内容包括一元二次方程的基本概念、基本解法、应用举例等,这

些基本上重要的基础知识,打好基础非常重要,所