轴向拉伸与压缩

/轴向拉伸和压缩一、内容提要轴向拉伸与压缩是杆件变形的基本形式之一,是建筑工程中常见的一种变形。（一）、基本概念1.内力由于外力的作用，而在构件相邻两部分之间产生的相互作用力。这里要注意产生内力的前提条件是构件受到外力的作用。2.轴力轴向拉(压）时,杆件横截面上的内力。它通过截面形心,与横截面相垂直。拉力为正,压力为负.3。应力截面上任一点处的分布内力集度称为该点的应力。与截面相垂直的分量称为正应力，与截面相切的分量称为切应力。轴拉（压)杆横截面上只有正应力。4．应变单位尺寸上构件的变形量。5.轴向拉（压）杆件受到与轴线相重合的合外力作用，产生沿着轴线方向的伸长或缩短的变形，称为轴向拉（压)。6．极限应力材料固有的能承受应力的上限，用０表示。7。许用应力与安全系数材料正常工作时容许采用的最大应力，称为许用应力。极限应力与许用应力的比值称为安全系数。８。应力集中由于杆件截面的突然变化而引起局部应力急剧增大的现象，称为应力集中。（二）、基本计算1．轴向拉（压)杆的轴力计算求轴力的基本方法是截面法.用截面法求轴力的三个步骤：截开、代替和平衡。求出轴力后要能准确地画出杆件的轴力图.画轴向拉（压）杆的轴力图是本章的重点之一，要特别熟悉这一内容。２。轴向拉（压)杆横截面上应力的计算任一截面的应力计算公式等直杆的最大应力计算公式3。轴向拉（压)杆的变形计算虎克定律虎克定律的适用范围为弹性范围。泊松比4。轴向拉（压)杆的强度计算强度条件塑性材料:ｍax≤［］脆性材料：tｍａx≤［t] ｃmａx≤［c］强度条件在工程中的三类应用（1）对杆进行强度校核在已知材料、荷载、截面的情况下，判断max是否不超过许用值［],杆是否能安全工作。(2）设计杆的截面在已知材料、荷载的情况下,求截面的面积或有关尺寸。(3）计算许用荷载在已知材料、截面、荷载作用方式的情况下,计算杆件满足强度要求时荷载的最大值。再由ＦN与外荷载FP的关系求出[FP］。强度计算是本章的重点，要能灵活地运用强度条件解决工程中的三类问题。（三）、材料的力学性质材料的力学性质是指材料在外力作用下所表现出来的强度和变形方面的特性。它是通过实验来测定的.本章仅介绍了在常温、静荷载作用下两类代表性材料（塑性材料——低碳钢,脆性材料——铸铁）的性质。学习这部分内容时要从应力——应变图入手。材料的力学性质是解决强度、刚度问题的重要依据。学习重点是掌握低碳钢的应力——应变图，了解力学性质指标。二、思考题提示或解答7-1.简述轴向拉（压）杆的受力特点和变形特点。判断图示杆件中，哪些属于轴向拉伸?哪些属于轴向压缩？各杆自重均不计。(空12行)思7-1图答：轴拉（压）杆受力特点：作用于杆上外力(或外力的合力）作用线与杆轴线重合变形特点:纵向伸长或缩短a)全段轴向拉伸；b）柱上段轴向压缩，下段可能不是轴向压缩;c)全段轴向压缩；ｄ)BＣ为二力轴压杆。7-2.什么是轴力？简述用截面法求轴力的步骤。答:轴力-—与杆轴线相重合的内力。截面法求轴力的步骤:截开:用假想的截面，在要求内力的位置处将杆件截开,把杆件分为两部分.代替：取截开后的任一部分为研究对象，画受力图。画受力图时，在截开的截面处用该截面上的内力代替另一部分对研究部分的作用.3）平衡：由于整体杆件原本处于平衡状态,因此被截开后的任一部分也应处于平衡状态.根据作用在该部分上的力系情况，建立平衡方程，从而可求出截面上的内力.7-3正应力的“正”指的是正负的意思,所以正应力恒大于零，这种说法对吗？为什么？答：这种说法不对。正应力的“正"指的是正交的意思，即垂直于截面。其本身有正负规定：拉为正，压为负.7－4力的可传性原理在研究杆件的变形时是否适用?为什么?答:不适用.因为应用力的可传性原理会改变杆件各部分的内力及变形。７—5什么是危险截面、危险点?对于等截面轴向拉（压）杆而言，轴力最大的截面一定是危险截面，这种说法对吗？.答：危险截面——应力最大的截面;危险点——应力最大的点;破坏往往从危险截面上的危险点开始。对于等截面轴向拉（压）杆而言，轴力最大的截面一定是危险截面，这种说法正确。7－6内力和应力有何区别？有何联系？答：（1)两者概念不同:内力是杆件受到外力后，杆件相连两部分之间的相互作用力；应力是受力杆件截面上某一点处的内力分布集度,提及时必须明确指出杆件、截面和点的位置.(2)两者单位不同：内力——kN、ｋＮ·m，同力或力偶的单位；应力——N/m２或N/mｍ２，Pa（帕）或MPa(兆帕）。（3）两者的关系：整个截面上各点处的应力总和等于该截面上的内力。在弹性范围内，应力与内力成正比。7－７两根材料与横截面面积均相同，受力也相同的轴向拉（压)杆只是横截面形状不同,它们的轴力图是否相同?横截面上的应力是否相同？答:轴力图相同，横截面上的应力也相同。(并且变形也相同）7—8低碳钢拉伸时的应力——应变图可分为哪四个阶段？简述每个阶段对应的特征应力极限值或出现的特殊现象;分析图示三种不同材料的应力——应变图，回答：哪种材料的强度高？哪种材料的刚度大？哪种材料的塑性好？(空7行）思7—８图答：低碳钢拉伸时的应力——应变图可分为四个阶段（1）弹性阶段在此阶段材料的变形是完全弹性的，在此范围内卸载后,试件能恢复原长。弹性阶段的最高点对应的应力值为弹性极限，用e表示。（2）屈服阶段进入屈服阶段后,由于材料产生了显著的塑性变形，应力--应变关系已不是线性关系了。若试件表面光滑，可以看到在试件表面出现了一些与杆轴线大约成4５°的倾斜条纹，通常称之为滑移线.在此阶段应力基本不变但应变显著增加.屈服阶段对应的特征应力值为屈服极限，用s表示。（3）强化阶段经过屈服阶段后,材料的内部结构重新得到了调整，材料又恢复了抵抗变形的能力，要使试件继续变形就得继续增加荷载。强化阶段对应的特征应力极限值为强度极限，用ｂ表示。（4）缩颈阶段在试件某一段内的横截面面积将开始显著收缩，出现颈缩现象.16Ｍn钢强度高（曲线高);1６Mn钢刚度大(曲线线斜率大）;黄铜塑性好（延伸率大）。7－9有一低碳钢试件,由实验测得其应变=0．002,已知低碳钢的比例极限p=20０MPａ，弹性模量E＝２0０GPa，问能否由拉(压）虎克定律＝Ｅ·计算其正应力？为什么？答：能否用胡克定律计算正应力，要看这个低碳钢试件是否在弹性阶段。先计算出应力达到比例极限时对应的线应变而现在测得应变ε=０。00２，已超出弹性范围，胡克定律也就不再适用了。７-10塑性材料与脆性材料的主要区别是什么？什么是延伸率?塑性材料、脆性材料的延伸率各自在何范围内?延伸率是不是衡量材料塑性大小的唯一指标?答:塑性材料与脆性材料的主要区别是拉伸试验中有无屈服现象。断裂后的标距长度l1与原标距长度ｌ的差值除以原标距长度l的百分率称为材料的延伸率，用符号δ表示。δ≥５％为塑性材料，δ<５％为脆性材料.延伸率不是衡量材料塑性大小的唯一指标。截面收缩率也是指标之一。7－11现有低碳钢和铸铁两种材料,在图示结构中，AＢ杆选用铸铁，AＣ杆选用低碳钢是否合理?为什么?如何选材才最合理？答：不合理。对实际结构进行受力分析可知：AB为二力拉杆，ＡC为二力(空6行12字）压杆。由此可见,AC杆应选用铸铁。思7-11图7－12一圆截面直杆，受轴向拉力作用，若将其直径变为原来的２倍，其它条件不变。试问：⑴轴力是否改变?⑵横截面上的应力是否改变？若有改变，变为原来的多少倍?⑶纵向变形是否改变？若有改变，是比原来变大还是变小了？答：（1）轴力不会改变；（２）根据，面积变为４倍后，应力变为原来的四分之一；(3)根据,变形也变为原来的四分之一.7—13什么是极限应力？许用应力?安全系数?工作应力?并回答：塑性材料和脆性材料的极限应力各指什么极限？答：极限应力——材料能承受的最大应力；许用应力-—极限应力除以一个大于1的系数后,作为构件最大工作应力所不允许超过的数值.安全系数—-一个大于1的系数,因塑性材料与脆性材料不同而异；工作应力--杆件受力后实际应力的最大值。塑性材料的极限应力指屈服极限；脆性材料的极限应力指强度极限。7－14材料经过冷作硬化处理后,其力学性能有何变化?答:材料经过冷作硬化处理后，提高了弹性极限以及屈服极限,在提高承载力的同时降低了塑性，使材料变脆、变硬，易断裂，再加工困难等.７—15分别写出轴向拉（压）杆件用塑性材料和脆性材料时的强度条件，并简述强度条件在工程中的三类应用.答：塑性材料抗拉、压强度条件≤[]脆性材料抗拉强度条件≤［t]脆性材料抗压强度条件≤[c]强度条件在工程中的三类应用,即强度校核、设计截面、确定许用荷载.7-16什么是应力集中？答：因杆件截面尺寸的突然变化而引起局部应力急剧增大的现象,称为应力集中.三、习题解答7—１求图示各杆指定截面上的轴力.解a)1—１截面，截开取左,如图所示。列平衡方程，可得FN１＝—3０kN2-2截面,截开取右，如图所示。列平衡方程，可得FＮ２=20kＮ（空１6行）题解７-1图a题解７－１图bb）2-2截面，截开取右，如图所示。列平衡方程，可得ＦN1=—3FP1－1截面,截开取右，如图所示。列平衡方程，可得ＦＮ2=—FPc）1—1截面,截开取上，如图所示。列平衡方程，可得ＦN1＝—6０kN2—２截面，截开取上,如图所示.列平衡方程,可得FＮ2=-260kN（空12行）题解7-１图c题解7—1图dd)1－１截面,截开取上，如图所示.列平衡方程,可得FN1＝０２-２截面,截开取上,如图所示。列平衡方程，可得ＦＮ2=—FP7-2画图示各杆的轴力图,并求｜FNmaｘ|。（各杆均不考虑自重）解a）、ｂ)、ｃ)各杆轴力图如图所示（空22行）题７—2图由图可知a)|FNmax|=5０kNb）|ＦＮmaｘ｜＝18ｋＮc）｜ＦＮmax|=2５0kNd)图中AB、AC都是二力杆。根据平衡条件可得FＮAB=200kN（拉)ＦNＡC＝—２00ｋN(压)｜ＦNmax｜=200kN7—3画图示各杆的轴力图,并找出危险截面。（各杆均考虑自重,设杆的横截面面积均为A,材料的重度均为）。（空14行)题7-３图解:各杆考虑自重,所以应纳入轴力的计算,利用截面法计算各控制截面轴力.a）截面AFNA＝－FＰ截面BFNB=—（FP＋ＡH）并且两截面间轴力呈线性变化,可作出轴力图如图示。截面B为危险截面。b）截面CFNC＝0截面B下端FNＢ1=AH截面B上端FNB２=FP+ＡH截面ＡFNＡ=FP＋2AH并且三个截面间轴力呈线性变化，可作出轴力图如图所示.截面A为危险截面.7－4判断下列各杆的轴力图是否正确，若有错，指出错在哪里,并加以改正.（空10行１4字)题７－5图解:a)错误。FN图与杆截面没有上下对正.b)错误.ＢC段FＮ图应画在ｘ轴下方。c)错误。FN图中未标数值.ｄ)错误。ＢＣ段轴力应为１０kN。正确的图形标于原图下方或旁边，如图所示。7—5图示三角支架中，AB杆为圆截面，直径d=２5mm，ＢＣ杆为正方形截面,边长a=80mm，FP=３0kＮ，求在图示荷载作用下AB杆、Ｂ（空２2行)题７—4图解:（1）求轴力。AB、BC杆均为二力杆，根据几何关系可求出FNＡB=６０ｋＮFNBＣ=３0kN=51．９６kＮ（2）计算工作应力。ＡＢ杆：mｍ2=491ｍm2ＭPa=122。２MPa（拉)BC杆：mm2=6４0０mm2MＰa=—8。21MPａ(压)7-６、各杆的横截面及荷载情况如图所示。求各杆横截面上的最大工作拉应力和最大工作压应力。解:a)先画出轴力图，如图所示。(空12行)题７-６图a计算最大工作应力拉应力（AB段）ＭPａ＝３8２。2MＰa压应力（BＣ段）ＭＰa=－９5．5MＰab）先画出轴力图，如图所示。（空12行)题7—６图b计算最大工作应力压应力(ＡＢ段）ＭPa＝-６6．7ＭPa拉应力（BC段)ＭPa=127。4MPa７—7钢杆的受力情况如图所示,已知杆的横截面面积A=4000ｍｍ2，材料的弹性模量E=20０G⑴杆件各段的应力⑵杆的总纵向变形(空1２行1６字）题7—7图解:（１）先画出轴力图,如图所示。(2）计算各段应力MPa=—10MPaMPa=—15MPａ（3）计算纵向变形７—8拉伸试验时,低碳钢试件的直径d＝1０ｍｍ,在标距ｌ＝100Δｌ=０。06mｍ，材料的比例极限P=200MPａ，弹性模量E=200GPａ。求试件内的应力，此时杆所受的拉力是多大？解：(１）计算线应变(２)计算应力=E=２00×1０３×0。00０6ＭＰa=１20Ｍｐａ〈＝200MPa（３）计算杆受的拉力F=A=(120×２5)N＝9４25N=9。425kN７—9若低碳钢的弹性模量E1=２10ＧＰa，混凝土的弹性模量Ｅ2=28ＧPa.求：⑴在正应力相同的情况下，低碳钢和混凝土的应变的比值.⑵在线应变ε相同的情况下,低碳钢和混凝土的正应力的比值。⑶当线应变ε=—0。000１５时，低碳钢和混凝土的正应力。解:（1）根据胡克定律即所以与弹性模量成反比(2）仍根据胡克定律即所以与弹性模量成正比（3)7-10、一根直径d=20ｍm，长度ｌ=1m的轴向拉杆,在弹性范围内承受轴向拉力FP=８0kN，材料的弹性模量Ｅ=２.1×10５MPa，泊松比μ=0.3。试求该杆的纵向变形Δｌ和横向变形Δd.（空7行）题７—1０图解:根据胡克定律７-11、图示结构为石油钻井用的A型井架，架高Ｈ＝2８m，风荷载ｑ=3ｋN/m，斜杆AB的长度l=5m,倾角α=6０°，由两根20ａ的工字型钢组成。若材料的许用应力为［]=1６0ＭＰａ。试校核拉杆AB(空14行18字）题7—11图解:(1）画出井架受力简图如b所示kNkＮ（２)强度校核查附表20a〈[]由此可知，拉杆AB满足强度要求。７—1２、若用钢索起吊一钢筋混凝土管,起吊装置如图所示,若钢筋混凝土管的重量ＦW=１５kＮ，钢索直径ｄ=4０mm,许用应力[］=10MPa。试校核钢索的强度。(空１4行)题7-12图解:（1）取吊钩A为研究对象,画出受力图如b所示，根据几何关系可知钢索拉力(２)强度校核＜［］由此可见，钢索满足强度要求.7－１３、图示结构中，AC、BD两杆材料相同，许用应力［］=160ＭＰa，ＡC杆为圆截面,BD杆为一等边角钢，弹性模量E=2０0GＰａ，荷载FＰ=６0kN。试求：⑴AＣ杆的直径。⑵BＤ杆的角钢型号。（空12行)题7-１３图解:(1)先画出杆AB的受力图如b所示。根据杆ＡB的平衡，可求出杆AC、BD的轴力.（2）设计杆AＣ。根据强度条件,确定杆ＡC面积,进而确定直径。≥即≥取（３）设计杆BD,根据强度条件,确定杆BＤ面积,再查附表选择角钢型号。≥查附表，选用∟3６×4，Ａ=２7５.或选用∟45×3，A=26７-１4、图中木构架受集中荷载FP＝15kN,斜杆ＡB采用正方形截面,木材的许用应力［］=3MPa，试确定ＡＢ杆截面的边长。（空12行)题７—1４图解：(１）先画出杆CD的受力图如ｂ所示。根据杆ＣD的平衡，即可求出杆ＡＢ的轴力。（2）根据强度条件，确定杆AB的面积，进而确定其边长。≥即≥取.7-15、图中所示为建筑工程中某雨蓬的计算简图，沿水平梁的均布荷载q=10ｋN/ｍ,ＢC杆为一拉杆,材料的许用应力[]＝160MPa，若斜拉杆BC由两根等边角钢组成。试选择角钢的型号。(空1２行）题7-15图解：(1）先画出杆AC的受力图如b所示。根据杆AC的平衡，即可求出杆AC的轴力。(2）根据强度条件，确定杆AC的面积,再查附表选择角钢型号。≥查附表，可选用2∟20×３，A=2×113。２mm27-1６、一正方形截面混凝土柱如图所示，设混凝土的重度=20kN/m３，柱顶荷载FＰ=３0０kN,容许压应力[c］＝2MPa。试根据柱的正应力条件选择截面边长a。（空12行)题７—16图解：工程中对较长的、材料容重较大而材料强度不高的构件，都应考虑构件的自重影响。本题属于这种情况。求解时应将柱看作是在轴向压力FＰ及自重共同作用下的等直杆。（1)计算柱的轴力柱的轴力沿高度呈直线规律变化柱顶FP＝３0０kＮ柱底轴力图ｃ所示。(2)设计柱的截面由强度条件≤［]得≥而边长≥取7—17、一装置简图如图所示，自重不计,拉绳AＢ的截面面积A=400mm２,许用应力[]=６0ＭPa.试根据拉绳AB的强度条件确定容许重量FW。(空10行)题７—17图解：（1)先画出整个结构的受力简图如b所示，根据几何关系可得再由平衡条件（2）根据强度条件,确定杆AB的许用荷载，进而计算出容许重量W。≤kN所以≤ｋＮｋＮ即kN7—1８、图