考研冲刺班高数讲义

考研数学中常出现三类非初等函数

1.分段函数

/,(x),x<a

例./(x)=4小

1/2(x),x>a

(1)注意分情况讨论

例如：要求复合函数/[/(X)]

r1f/i[/wlfM<a

先考虑丹/(划=，:；

fM>a

再考虑

f\[/,(-«)],x<a,ftM<a

,r..1/2[/iWlx<a,ft(x)>a

x

-Z[/2()lx>a,f2(x)<a

工出⑹x.>a,f2(x)>a

(2)讨论/(x)在分段点。处的极限、连续和倒数，由于a点两侧表达式不同，所以必

须先从左、右两侧讨论，由结果得出有关结论.

口诀(1)：分段函数分段点；左右运算要先行.

2.用极限表示的函数

(1)/(x)=lim/“(x)(离散型)

n->oo

(2)/(x)=limg(f,x)(连续型)

/->.r

先讨论极限得出/(X)的具体表达式，再讨论其他问题.

3.变限积分表示的函数

(1)设尸(x)=，/“油，/连续，则F(x)=/(x)

(2)设G(x)=「'/(f族，/连续，例,夕，可导，则

G'(x)=/M(x)M'(X)-/弧(x)L,(x)

口诀(2)：变限积分是函数；遇到之后先求导.

这部分内容有四个方面，其中以有关四个性质为重点.

求函数的值域

1.求反函数的定义域

2.求闭区间上的连续函数的最大值和最小值.

求/(x)在出力]上最大值和最小值，只需要比较/(x)在[a,句上的端点，驻点和不

可导点处的函数值，其中最大者为最大值，最小者为最小值.

口诀(3)：函数值域先求反函；不行再算其最值.

口诀(4)：端点、驻点、非导点；函数值中定最值.

例1.求)，=6式可的值域.

解：

我们先求出反函数，它的定义域就是原来函数的值域。

x=31+——，它的定义域y>0,且ywl

VIny

所以原来函数的值域为(0,l)U(l,+8)

例2.设/(了)=［5忖114力

(1)证明/(x)是以万为周期的周期函数

(2)求/(x)的值域

解：

3n

(1)/(x+»)=［2卜in/|力=f='(x)

(作变量替换I=〃+万)

可见，〃%)以万为周期

(2)只需讨论/⑴在［0㈤上的值域，为此，我们先找出/⑴在［07］上的最大值和

最小值。

f'(x)=sinx+--|sinx|=|cosx|-|sinx|

I2)

令((X)=O,得两个驻点，王=(,X2=y,

/(X)在［0,向上没有不可导点，有两个端点0和K

比较f(。)，/gy/㈤

，/(万)的函数值

/（0）=sintdt=1,f\~^\~Psintdf=V2,

5元

$皿力=2-血

/(TT)=『(-sin=1

所以/(x)在［0,1］上最小值为2-JL最大值为痣

因此，/(x)在［0,乃］上值域亦即(-8,+oo)内值域为(2-JI。

二.有关四种性质

1.单调性

口诀(5)：单调增加与减少；先算导数正与负.

2.奇偶性

口诀(6)：奇偶函数常遇到；对称性质不可忘.

公式：

r0/(X)为奇函数

［21/(x)d(x)/(x)为偶函数

3.周期性

4.有界性

例1.求/=£xx'+(e*-e-x)ln(x+Jx?+1)dx

解：

力(x)=e'-er是奇函数，

:力(—x)=e-，一/=—〃x),

2

/2(x)=ln(x+yjx+1)是奇函数，

「-2(-x)=In'x+^x2+1)=In+“士

x+^jx2+1

2

-lnl-ln(x+y/x+1)=-f2(x)

因此x(e*—e7)ln(x+J/+1)是奇函数,

于是/=^xbdx+0=2]xbdx-y

例2.设k(x)=/(x),则下列结论正确的是［］

(A)若/(x)为奇函数，则F(x)为偶函数。

(B)若/(x)为偶函数，则P(x)为奇函数。

(C)若/(x)为周期函数，则尸(x)为周期函数。

(D)若/(x)为单调函数，则尸■)为单调函数。

解：

尤3

(B)不成立，反例f(x)=，,F(x)=—+1

(C)不成立，反例/(x)=cosx+1,F(x)=sinx+x

(D)不成立，反例/(x)=2x,/⑴二，在(一8,+oo)内

(A)成立，证明/(x)=N())+f/(fW，/为奇函数，

F(-x)=F(O)+「/(&/=尸(0)+

=F(。)+f=F(x)

.../(x)为偶函数。

例3.设f(x),g(x)是恒大于零的可导函数，且广(x)g(x)-/(x)g'(x)<0,则当

a<x<b时，下列结论成立的是[]

(A)f(x)g(b)>f(b)g(x)(B)/(x)g(a)>/(a)g(x)

(C)/(x)g(x)>f(b)g(b)(D)f(x)g(x)>f(a)g(a)

解：(A)成立只需/(x)/g(x)单调减少

(B)成立只需/(x)/g(x)单调增加

(C)成立只需/(x)g(x)单调减少

(D)成立只需/(x)g(x)单调增加

[/'(x)g(x)-/(x)g'(x)]<0.

于是x<b，则有,故(A)成立。

g(x)g(b)

三.有关复合函数

1、已知/(x),g(x),求/[g(x)]

2、已知/[g(x)],g(x),求/(x)

例1.已知/(ev)=xe-*,且/(1)=0,求/(x)

解：令/=f,x=hu,因此/'(e*)=/'(/)=也，

/(x)-/(l)=『受力4n力斗后

v/(l)=O,

,、[4-x2,Ixl<2

例2.设/(x)=求八/(刈

0,\x\>2

4-[/(x)]2,|〃木2

解：f[/(x)]=<

0,>2

当国>2时，|f(x)=0,.•.丹/(刈=4-0=4

当国42时，若|/(x)=|4—则要求24/46,

故行引x|42时，则/[/(X)]=4—(4_X2)2,

而凶<痣时，|/(“>2,贝iJ/[/(x)]=0

综合起来

0,|x|<V2

/[/M14-(4-X2)2,V2<|X|<2

4,|x|>2

四.有关函数方程

例1.设6>a均为常数，求方程

sin(x+/>)ln(x+b)+y](x+b)2+\-sin(x+a)ln(x+«)+-J(x+a)2+1=0的

一个解。

解：令/(，)=sin"n(，+J/+1)

则原方程为/(x+A)-/(x+。)=0

:sinr和ln(7+JPTi)均为奇函数，

.•./«)=sin”n(f++。是偶函数,

如果(x+b)=-(1+〃)，则f(x+b)=f(x+a)方程就成立。

因此X=+b)是方程的一个解。

例2.设/⑴在[0,+8)上可导，/(0)=0,反函数为g(x),

且=x2e'求f(x)

解：两边对x求导得g[/(x)]/'(x)=2xe,+//

于是jtf'(x)=x(2+x)ex,故/(x)=(x+231

/(x)=(x+l比+c,由/(0)=0,得c=-l

则/(x)=(x+lp-1

口诀(7)：正反函数连续用；最后只留原变量。

§1.2极限

--有关无穷小(量)

口诀(8)：极限为零无穷小；乘有界仍无穷小。

1.有界变量乘无穷小(量)仍是无穷小(量)

2.等价无穷小代换

当x->0时

(1)sinx-x

(2)tanx-x

(3)arcsinx-x

(4)arctanx-x

12

(5)1-cosx—x

2

(6)ln(l+x)~x

(7)e'—1~x

(8)(1+工厂一1〜以(a是实常数)

3.无穷小的阶的比较

a。)

rlim------

3队x)

(1)/=0,a(x)比/。)高阶无穷小

(2)/。0,/wl,a(x)与〃(x)为同阶无穷小

(3)/=1,a(x)与/(不)为等价无穷小

(4)I=oo,a(x)比/?(%)低阶无穷小

的।।+「x-sinx

例1.求hm------——

1。sin'x

h”i-x-sinx[.1-cosx1

解：原式=hm----------=hm----------=-

i2

XTO%3XTO3x6

例2.设当xf0时(l—cosx)ln(l+x2)是比xsinx"高阶的无穷小，而xsinx"是比

-1)高阶的无穷小，则正整数〃等于()

(A)1(B)2(C)3(D)4

解：•・•1-cosx~g/,ln(14-x2)^x2,xsinxw-xn+',(ex~-1)-x2,

由4〉(〃+l)〉2,故〃=2选(8)

例.设.平(『'(+。％,则当时"(》)是£(的(

3a(x)=/f,£x)=18.06)

(A)高阶无穷小(B)低阶无穷小

(C)同阶但不等价的无穷小(D)等价无穷小

sin5x

-------•3

姐[.a(x)ra\x\r5x5

解：lim—7-^=lim—X=hmi

zoP⑴a。/3\x)a。e

(1+sinx)■cosx

选(C)

二.有关两个准则

准则1.单调有界数列极限一定存在。

准则2.夹逼定理。

例1.设0</<3,x„=Jx„(3-x„),证明limx“存在，并求其值。

+lvn->oo

解:3-jj>0,0Vx2=J。G—X])K再+(3=

(几何平均值4算术平均值)

用数学归纳法可知〃>1忖，0<x“A：,.♦.｛xj有界。

又当“〉时，一

1x,1+1-x„=Jx“(3-x,)-x“=H(j3r“

7^7(3-2x„)>q

j3-x“+向

则单调增加。

x,)+1>x„,｛x“｝

根据准则1,limx“=/存在

把=&(3-x“)两边取极限，得/=7/(3-/)

I2=3l-l2,1=0(舍去)得/=3/2,=3/2

/I—>00

口诀(9)：递推数列求极限；单调有界要先证；两边极限一起上；方程之中把值找。

…i(1352n-1

例2.求lim---------

“Tool2462n

解：令％=工.3.32n-\242n

2462〃'%352n+l

1

则0<,于是0<x：<x.y”=

2n+l

由夹逼定理可知limx；=0,于是原极限为0

M—>00

.k兀

nsin——

例3.求lim£----勺

"T81

in+—

.k兀

⑺\Jk7T^Sin-T\Jk7T

解：•••——Ysin——<y——(4一£sin——

n+1yny〃+J."y"

~k

基本公式lim，S>P)=f/(x)dx

"f00力

I〃krcf.2

而lim一£sin——=sin%xax=—

inmn,)7i

lim—sin&limpq9绚=2

"->8"+]普n­01"+1人〃普nJn

nsin——

一?

由夹逼定理可知,limt

-°£r〃+_L4

k

口诀（10）：数列极限逢绝境；转化积分见光明。

例4.求lim—fIsint\dt

,r->+ooJ)11

解：「丁"bint\dt=£sintdt=2

设〃乃4x<(〃+1)%,则

2n=「卜近t\dt<口sint\dt</”[sint\dt=2(〃+1)

2n1pi.।2(n+l)

于是-------<—Isint\dt<-----------

(〃+i)7Tx力〃4

..』m3-=2,Hm迎业=2

“T8(〃+])〃兀"T8n兀71

I◎2

由夹逼定理可知lim—Plsint\dt=—

•rfxxJ)7V

三.两个重要公式

tsinx

公式1.hm------=1

1°X

公式2.limf14-—=e；limfl+—=e；lim(l+v)v=

nj"f<UjV->0

……Jl+tanx—Jl+sinx

例1.求hm--------------------c-------

XT。x((l-cosx)

/宓田—r(tanx4-l)-(sinx+l)

解：原式----~夕/一2―—J.

1。x(l-cosx^Vl+tanx+Vl+sinxj

tanx(l-cosx)1tanx1

=—hm——--------T-—lim------=—

2iox(l-cosx)21。尤2

例2.设/(x)在(-oo,+oo)内可导，且limfr(x)=e，

x->00

lim----=lim[/(x)-/(x-1)]

X-CJXTS

求c的值

解：由条件易见，CHO

由拉格朗日中值定理，有

/W-/(x-1)=/4-(X-1)]=:6)

其中J介于（X—1）与X之间，那么

lim［/（x）-/（x-l）］=limf'G）=e

x—>8A—>oo

（4—8）

于是，e?c=e,2c=1,则c=2

2

口诀（11）：函数之差化导数；拉式定理显神通。

四.洛必达法则

9型和男型

1、第一层次（直接用洛必达法则）

000

2、第二层次（间接用洛必达法则）0•00型和00-00型

小[..「Inx

例limxlnx=lim——

Xfo+XT0+1

X

3、第三层次（再间接用洛必达法则）1"型，0°型，8°型

lim.?(x)ln,/(x)

产)=XT.

XT*

而limg（x）ln/（x）一定是0,oo型

x->*

再用第二层次方法处理

口诀（12）：待定极限七类型；分层处理洛必达。

对于"（x）］g"）=网〃刈""=*刈心）,是常用的方法

口诀（13）：'界指函数最复杂；指数对数•起上。

(1COS2X

例1.求lim

22

XTOksinxx

222

&nh—x-sinx-cosx

解：原式=hm-------——-------

x—°x~sin-x

x2--sin22x

4

lim

XTOx4

4

2x—sin2xcos2x

lim4____________

104x3

1.“

x——sin4x

4

lim

x->02x3

1-cos4x4sin4x4

=lim------——=lim-------=—

x->06x2XTO12J3

f(x-

例2.设函数/（x）连续，且2（0）声0,求1101-^y---------------------

xf0

解：原式5mM上9

(分母令x-f=M)

rf/(，)力+加x)-v(x)

3。+

（用积分中值定理）

lim\(彳在0和%之间)

^xf^+xf[x}“

(S0)

/（0）1

/（0）+/（0）-2

例3.求limx

10*

limsinxIn>:limxlnjlim

解：原式=?5=e5i"

^x->o+-i/.v2=^。=]

五.求分段函数的极限

A

2+e，sinx

例.求lim

XTOF

7

2+exsinx

解：lim2-1=1

XT（F^+日

U+e，(0

_43、

2e*+exsinx

lim——十工0+1=1

e*+1)

口诀（14）：无穷大比无穷大：最高阶项除上下。

(1\

2+exsinx

lim+=1

XTO~TT

(1+e，11J

六.求极限的反问题

t2

例1.设lim-/-dt=19求a和。。

bx-sinx小

解：把极限用洛必达法则

原式左边=lim'/Ja+x如果bwl,则极限值为0,令极限为1,则6=1

h-cosx

1V222

因此原式左边=lim•—三—=lim7葭=卷

x+7a+x1-cosxija+xJa

2

由］==1,得出。=4。

例2.设/(x)在(0,+oo)内可导，/(x)>0，lim/(x)=l，且满足

XT+8

I

/(x+〃x)

limH求/(x)

/TO/(x)

2

/(犬+床)hlim—[in/(x+/u)-ln/(x)]

解：lim_e/fO/i

ATO/(x)

=产耗/(x+3n/(6]=e枷4)【

因此,Hln/(x)]=—,[in/(%)]=-^-,ln/(x)=--+c

xxx

i

f(x)=cex,由limf(x)=l,可知c=l

则f(x)=ex

七.其它

例1.设曲线y=/(犬)与y=sinx在原点相切，求lim,矿(1)

解:由题设可知/(O)=O,_f(O)=(sinJ=1

x=0

(?、©—/(O)

于是lim,矿一=lim2-------=2/'(0)=2

〃T8\n)〃T82

IP+2。+・・・+〃

例2.设p〉l,求lim--------——

“—8nr+

解：原式人丫

ink=}\n)

=卜0dx=1

p+1

§lo3连续

连续与间断

例1.设/(x),g(x)在(-8,+00)内有定义，/(X)为连续，且/(x)wO,g(x)有间

断点，则下列函数中必有间断点为［I

(A)g阿二[g(班©做)](D)鼎

解：令力1,g(x)=」；，：；；：可见g［/(x)］三—1,加(亦1,

皆为连续函数，故(A),(B),(C)不成立，而(D)的成立用反证法。如果幽=//(X)连

/(x)

续,则g(x)=/(x)%(x)连续与假设矛盾,故幽必有间断点。

例2.求liiJaU丫“7n、=/(x)的间断点，并判别其类型。

f\sinx)

解：x丰k冗，考虑ln/(x)=lim-；————ln|S^n1|

sinZ-sinxvsinx;

cost

=lim——sinx_x

fcostsinfsinx

sinx

X

：.f［x)-esinjt(xHICTT)

可见x=k不为间断点，x=0是可去间断点，其它皆为第二类间断点。

二.介值定理及其推论

例1.设/(x)在［0,1］上连续，且/(0)=0,/(1)=1,证明存在4«0,1),使得

f0=T

iff：令g(x)=/(x)+x—l,则g(x)在［0,1］上连续,g(0)=—1<0,g(l)=l>0,根

据介值定理推论，存在Jw(0,l)使g(J)=O,即证。

口诀(15)：函数为零欲论证；介值定理定乾坤。

例2.设/(X)在［0,2］上连续,K/(0)+/(l)+/(2)=3,

求证存在另G［0,2］,使/仔)=1

证：:/(x)在［0,2］上连续，故有最大值M壬0,最小值加，于是

m<1[/(O)+/(l)+/(2)]<M

根据介值定理，存在Je[0,2]使

水)=*(。)+仙)+〃2)]

"6)=1

第二章一元函数微分学

§2.1导数与微分

一.可导性与连续性

口诀(16)：可导、可微互等价；它们都比连续强。

例.设/3=则/A；；；'问a和6为何值时，/(x)可导，且求了'(X)

解：时，lime"(D=4-00,

rt->00

X<1时，lime"(i)=0,

〃一>8

x1x>1

4+/7+1

X=1

2

ax+bX<1

由/(x)在x=l处连续性(•.♦可导一定连续)

lim/(x)=lim/=1,/(i)=q±2±l=i,可知a+〃=i,再由x=l处可导性,

/；(1)=1如/—71)存在

IX-1

£(l)=lim(a~)；/⑴存在,且力(1)=£'(1)

XT「X-1

2X*a

根据洛必达法则，/：(1)=lim—=2,£'(1)=lim-=a

x->r11

,\a=2,b=\-a=-1,于是

XX>1f

/、\2xx>l

/(x)=11x=\,/(%)=]

二.导数与微分的运算法则和计算公式(略)

三.切线与法线方程

口诀(17)：切线斜率为导数：法线斜率负倒数。

切线方程y-f(x0)=f'(x0Xx-x0)

法线方程y-f(x0)=--^-(x-x0)

fUo)

7T

例1.已知曲线的极坐标方程是r=l-cos。,求该曲线上对应于0=-处的切线与法

6

线的直角坐标方程。

解：

x=rcosO=(l-cos^)cos^,

y=rsin。=(1-cos6)sin0,

TT

当。=2时,x——一，y

62424

dy

dydecos0-cos20

TT-----------------------------------n=1

dx02060

—sin-sin~6

6To6

切线方程

化简得x-y--V3+--0

44

nI

化简得x+y—»+上=0

44

例2.设/(x)为周期是5的连续函数，在x=0领域内恒有

/(1+sinx)-3/(1-sinx)=8x+«(x)

其中吗?中=0,7(x)在x=l处可导,

求曲线)，=/(x)在(6,/(6))处的切线方程

解：

由题设可知/⑹=/(1)，广(6)="1)

故切线方程为y-/⑴=-6)

所以关键是求/⑴和广(1)

由/(x)连续性，+sinx)-3/(1-sinx)]=-2/(1)

又lim[8x+(z(x)]=0,

x->0

—2/(l)=0,/⑴=0

再由条件可得lim/(1+smx)-3/(1-smx)=]加[龙匚+幽]=8,

…sinx^°|_sinxsinx

..,一**/(l+r)-3/(l-z)

令sinx=£,上式左边=vlim--------------------

701

I->0tt->0I—j)

=:(1)+3/(1)=4/(1)

・・./'(l)=2于是切线方程为y—0=2(x—6)

即2x—y—12=0

四.高阶导数

1、二阶导数

d2y

例:设x=eQ),y=/«),求一

dx

2心)刈《叫

解.空=8,在_炉⑺1⑺—句⑺，“)

dx”(f)dx2dxdtdx_

dt

2、n阶导数

„3

例：设y=—-------求y(")(〃正整数)

X2-3X-4

解:

13x+12AB

y=(x+3)+——(x+3)+---------1--------

(x-4)(x+1)x-4x+1

1

二(X+3)+£(X-4)+[(x+l)।

(„)=(_1)(_2),.・(一〃)64]

(n>2)

-_5[(x-4)，，+l(x+l)，，+l

(-641

=51(…)"M+(X+1)"M

口诀(18)：有理函数要运算；最简分式要先行。

口诀(19)：三角高次要运算：降次处理要先行。

例：y=sin"x+cos"x,求y""

§2。2微分中值定理

罗尔定理

口诀(20)：导数为零欲论证；罗尔定理定乾坤。

口诀(21)：导数、函数合为零；辅助函数用罗尔。

1.模型L设/(x)在［。力］上连续，(。力)内可导，f(a)=f(b)=0,g(x)是(。力)内

的连续函数，则存在&e(a,b),使广团+g修才位)=0成立。

证：令尸(x)=eG(，)/(x),其中G［x)=g(x)

于是F(x)在上连续，在(a力)内可导，F(a)=F(b)=0

根据罗尔定理，存在使产化)=0

而产'(x)=eG(J!)f'(x)+eG(JC)G'(x)f(x),

叫/⑹+gG)/(4)］=0,而⑶工0

因此广团+g⑹/t)=0

例1.设/(x)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，/(0)=川)=0,/［£|=1，试证：

⑴存在使/(7)=〃

(2)存在［6(0,力,使尸团一儿f团一句=1(＞为任意实数)

证：(1)令o(x)=/(x)-x,显然，°(x)在［0,1］上连续，又夕(g］=；>0，

研1)=—1<0,根据介值定理推论存在〃使必7)=0,即/(77)=；7

(2)令/(x)=e〃W(x)=em［/(x)—x］(相当于模型I中，g(x)=-2,G(x)=-/k)

,/夕(0)=°(力=0，

网。)=网〃)=0

-(X)在［o,〃］上用罗尔定理,存在到€(。力),使尸G)=o

即：eY{/⑥一心仔)一引一1}=0

从而广仔)—4/1仔)—引=1

2.模型H：设/(x),g(x)在L㈤上连续，(凡。)内可导，且/(。)=0,g(b)=0,

则存在Je(a,b),使

♦G)g⑥+/®g婚)=。

证：令/(x)=/(x)g(x),则尸(a)=尸(。)=0,

/x)在上用罗尔定理，存在Jc(a,日使尸0=0,

即(G)g⑹+/G)g'⑹=0

例2.设“X)在［0,1］上连续，(0,1)内可导，/(0)=0,k为正整数，求证:存在Jw(0,1),

使得

百「⑥+kf®=f'(3

证:取4=0,6=1,令g(x)=(x—l)。则g(l)=o,用模型n,存在&e(o,l),使

得

.(%—-+总-1)1/团=0

故广仔XJ-1)+4⑥=o，

即4<6)+4仁)=/⑹

3.例3.设/(x)在。汨上连续，(/(x)dx=0,(〃x)cosxdx=0,求证：存在

&€(0㈤&€(0，1)看尸务使/(0=/©2)=0

证：令F(x)=，f(t)dt(0<x<7T),则F(0)=0,F5)=0,又

0=£/(x)cosxdx=£cosxdF(x)=F(x)cosx1^+£F(X)sinxdx

=PF(x)sinxdx

如果/(x)sinx在(0,万)内不变号，由于连续性，积分不为0,故尸(x)sinx在(0,左)内

一定有正有负，故存在Jw(0,不)使Fe)sinJ=0,而sinJwO,故F(乡=0,于是分别

在［0,身和片,加上对F(x)用罗尔定理,则存在刍€(0,9看2€(31),列声」2,使

/©)=0和？©2)=0,即/©)=〃殳)=0

二.拉格朗日中值定理和柯西中值定理

例1.设函数/(x)在卜,以上连续，在(a,b)内可导，且:(X)H0,试证存在因,

〃e(a,b)，使得纲二厂1二一〃

/⑶b—a

证：令g(x)=",用柯西中值定理，存在使粤二巡=/㈤再在［a,"

e-eae1

上对/(x)用拉格朗日中值定理存在Je(a,b),使/(»-/(〃)=/⑹(匕-。)

代入上式得

与一:团=4广(〃)

e—ee'

整理得

/仔)“e«

"小b-a

I」诀(22)：J找《力无约束；柯西拉氏先、匕

例2.设/(x)在［0,1］上连续，(0,1)内可导，且f(0)=0,/(1)=1,证明:

(I)存在Jw(0,l),使得/仁)=1一4

(ID存在〃<w(o,i),n丰q，使广(〃)/(?)=1

证：(I)令g(x)=/(x)+x-l,则g(x)在［0,(上连续,

且g(0)=—l<0,g(l)=l〉O,用介值定理推论

存在♦€（0,1）,使g团=0,即/⑹=1一€

（II）在［0,3和匕,1］上对/（X）用拉格朗日中值定理，

存在〃€（0局，使得/（〃）=室普=与

J-0占

存在？€0,1）,4W77,使得

Jg———

••WG=i

口诀（23）：寻找行约束；两个区间用拉氏。

三.泰勒公式（数学一和数学二）

例.设/（x）在［0,1］上三阶可导，且/（0）=1,/（1）=2,/（jUo

证明：存在J€（0,1）,使得『"61224

证：在x=L处展开拉格朗日型余项的二阶泰勒公式

2

（。在X与g之间）

(0<^,<-)

12

令x=l代入，得

(-<^,<1)

22

因此，

|/(1)7©=白广鸣)+尸(生)

4o

4o

W《maxq_r痣)””侈2)}

则存在火(0,1),使|尸团>24|/(l)-/(Oj=24

§2.3导数的应用

一.不等式的证明

例1.求证：当x>0时，(x2-l)lnx>(x-l)2

证：令/(1)=卜2-l)]nx—(x-l)2,只需证明x>0时，/(x)>0,可知f(l)=0,

fr(x)=2xlnx-x+2-—,广⑴=0

x

由于广(x)的符号不易判别,再求导得/"(x)=21nx+l+2,/'(1)=2,

x

再考虑了”(%)=2」；-1)可见当0<%<1时,/w(x)<0；/〃(x)单调减少，当

1<X<+00时,yw(x)>0,_r(x)单调增加,

・•./"(1)=2是尸'(X)的最小值,由于/*(%)>0,

•・./'(X)单调增加，而r(1)=0,

0<x<1时，/'(X)<0，

则/(X)单调减少，l<x<+8时，/(x)>0,/(X)单调增加

于是，x>0时，/(x)>0

证一：对/(x)=h?X在［凡例上用拉格朗日中值定理得

In2Z?-In2a=(b-a)(a<&<b)

§

再来证明g(x)=与在x>e时，单调减少

X

g'(x)=l?x<0(龙〉e)故g(—>g(e?)==-4

xee

故21nl〉之,贝2a>—7S-a)

e2e2

证二：令夕(x)=In?x—'x,则夕'(x)=,^9ff(x)=2-~

exex

当x>e时，e"(x)<0,；.e'(x)单调减少，又x<e),

•••^，(x)>^(e2)=-T-4'=0

ee

因此，e<x<e?,山°'(x)>0可知/(x)单调增加

于是e<a<b<e?有(p(b)>°(a)

则In2b-3b>In2a-^-a,即In?/?-In2a>3(/?一。)

eee“

二.极值与拐点

例1.设/(x)的导数在x=a处连续，又lim£㈤=-1则［］

f"x-a

(A)x=a是/(x)的极小值点

(B)x=a是/(x)的极大值点

(C)(aj(a))是曲线y=/(尤)的拐点

(D)x=a不是/(x)的极值点，(0,/1))也不是曲线,=/(幻的拐点

证：由lim/(*)=—1可知lim/,(x)=Olvlim(x-a)=O)

再由f'(x)在x=a处连续性可知尸(a)=limf'(x)=O

x->a

因此/"(a)=lim/'(x)5")=-l<0

Xiax-a

则x=a是/(x)的极大值点

.•.选(B)

例2.设y=/(x)有二阶导数,满足疗1"(。+30/(刈2=1—6-，

求证：当/(须))=0时，/(X。)为极小值。

证：(1)与片0情形

0,1

f"(%)=>0"°>-：：>°故/(x0)为极小值。

A

x()XQ<0,1—€°<0

(2)%=0情形

这时x=0直接代入条件中的方程，则不行。又因为没有假设/"(x)在x=0处连续,

所以也不能用/*(O)=lim/*(x)

XTO

•・•〃(x)存在

.""(X)连续，于是lim/'(x)=/(0)=0

x->0

f"(o)=lim/'(X)一尸(」=lim卫)=1而l区

iox—0I。xI。1

=lim<-----3［尸(x)(>=lim-~~--=lim--=1>0

xf°Xv->0%x->01

・・・/(o)是极小值。

三.最大值和最小值

1.求/(X)在［凡切上最大值和最小值

2.实际应用题（略）

第三章一元函数积分学

§3o1积分的概念与计算

一.一般方法

口诀（24）：第一换元经常用；微分公式要背透。

口诀（25）：第二换元去根号；规范形式可依靠。

遇至（Iyla2-x2,令x=asinf;遇至ij-\la2+x2,令x=atan遇至U-Jx2-a2,令

x=asect

口诀（26）：分部积分难变易；弄清u,v是关键。

例1.设/（x）的一个原函数F（x）=帝。+JPT7）,求/=^xf'{x}dx

解：

I-Jx疗（x）=xf[x）-=xF\x）—F（X）+C

例2.设/'(x)=/(x),当xNO时，/(x)F(x)=,又产(0)=1,F(x)>0,

2(1+x)2

求/(x\x>0)

解：

2j/(x)F(x)Jx=21F(x)JF(x)=F2(X)+C,

dx=——+a

1+X