空间直线及其方程7

2

向量及其加减法

向量与数的乘法6空直及其程一空直的一方空间直线L可看作是两个平的线1如果两个相交平和的程分别为zAy直122L上的任点的坐标应同时满足这两个平的方应足方程

Az11Axy2

(1)反过来点M不直L上它不可能同时在平面和上以的坐标不满1足方程(1)此线L可用方程组(1)来表示组(叫做空间直线的一方设L是平面与的交线平面的程分别为Az和1111x点M在线L上且仅当它同时在这两个平面且当它的坐标同222时满足这两个平方满足方程组

Ayz11Ax2

因线L可以上述方程组来表示述方组叫做空间直线的般方通过空间一直线L的面有无限多个在这无限多个平面中任意选两它的方程联立起来的方程组就表示空间直线二空直的对式程与数程方向向量果个非零向量平行于一条已直线个量就叫做这条直线方向向量容易知道线上任一向量都平行于该直线方向向确定直线的条直线L上点M()和它的一方向向m已知00线L的置就完全确直线方程的确知直线L通点M()直线的方向量为线000L的方程设Mx线L上任一点么(x00从而有xz00m

这就是直线L方做线的对称式程或点向式方注m一个为零如方程组应理解为

0z00np当m两个为如p方程组应理解为1

xxyzyz

向量及其加减法

向量与数的乘法

x0y0

直线的任一方向量坐标mp叫这直线的一组方向数向量的向余弦叫做该直线的方向余由直线的对称式程容易导出直线的参数方设

x00方程组mp

zpt此方程组就是直的参数方例对称式方程及参数方程表示直解先直线上的一x

解此方程组y一再求这直线的方向量平面x法向量的向量积作为直的方向向量s:ijk1i3因给直线的对称式方程为yz令所给直线的参数方程为

z提时方程组的解ijkjij)113令2

^^212zz12^^^212zz12^

向量及其加减法

向量与数的乘法(1

三两线夹角两直线的方向向的夹角通指锐)叫做两直线的夹设直线L和L的向向量分别为)和)么L和的夹角11112,)和),)者中的锐角此)|据两向量的夹角的余21212公线和L的1

12

|p|21122122来确定从两向量垂直、行的充分必要条件立即推得下结设有两直线L1

xz12mp122

Lmn12122mL1m22

例求直:和L:的夹角12解两直的方向向量分别为(1角1

222

2

所以

四直与面的角当直线与平面不直时线它在平面上投影直线的夹角直线与平面的夹角直线与平面垂直定直线与平面的角为

设直线的方向向的法线向量为n与面夹角,n此,)|两向量夹角余弦的坐表示2sin

A222

因为直线与平面直相当于直线的方向向量与平的法线向量平线与平面垂直相当于3

ByzyzByzyz2323

向量及其加减法

向量与数的乘法mnp因为直线与平面行或直线在平面上相当于直线方向向量与平面的法线向量垂直以直线与平面平行直线在平面上相当于Am设直线L的向量为(m线向量(A则LmnpL/

例求过(面的线的方解平的法线向量(为所求线的方向向此可所求直线的方程为yz五杂例与两平面和交线平行且过(线的方程解平x和交的方向向量就是求直线的方向向量因为

ijkk)i)10j)所以所求直线的程为31例直线12解所给线的参数方程为

与平面代入平面方程

)解上列方程直的数方所交点的标为y例求过(与线垂相交的直线的方解过(2直线

垂的平面为3(y3x直线与面交坐标为()7以点2起点(,)为终的向量为7774

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向量及其加减法

向量与数的乘法((2,77所求直线的方程例过(与线垂相交的线的方12解过已点与已知直线相垂直平面的方程为(xzx此平面与已知直的交点(1所求直线的方向量为所求直线的方程0

y1

提平面x直线的12直线的参数方程(2)解得t的数方程得x平面束直线L的般方程为

Axyz1Axyz222

其中系数A、B、与、、C不成比虑元一次方程1yy)1112即(Az1221其意数为数与B不成比以对于任何一方112程的系数不全为而表示一个平于不同的应的平面也不且这些平面都通过直线L就个方程表示通过直线L的一族平面一方何通过线L平面也一定包含上述通过L平面族通过定直线的所平面的全体称为平面方程yxy)就通过直线L的平面束方1