立体几何选择填空题难题汇编各地模拟题

最新立体何选择填空难题汇编（解析）第Ⅰ卷选择题）一．选题（共14小题）1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为，则几何体的高x为（）A．3B．．4D．2．如图，四面体ABCD中，面ABD和面BCD都是等腰Rt△，AB=

，∠BAD=∠CBD=

且二面角A﹣BD﹣的大小为

若四面体ABCD的顶点都在球O上，则球O的表面积为（）A．

B．πC．πD3已知球的直径SC=4AB是该球球面上的两点AB=则棱锥S﹣ABC的体积为（）

∠ASC=BSC=30°A．3．2．

D14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A．36πB．πC．πD．25π第1页（共37页）

11111111115．正三棱ABC﹣BC中，若，=1，若则A到平面ABC的距离为（）A．

B．

．

D6章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为堑堵”已知某堑堵”三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，若存在球与该“堑堵表面所在的五个平面都相切，则图中边长a的所有可能取值组成的集合为（）A．{2

﹣2，2

+2}B．{1，

+1，﹣1．{2

﹣2，2

+2，2，4

D{22

+2，2

﹣2}7．在三棱锥﹣ABC中，⊥平面ABC∠BAC=120°，

，M是线段上一动点，线段PM长度最小值为积是（）

，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面A．

B．．18πD40π8．球O径为，设S、、B、C是球面上四中，则棱锥S﹣ABC的体积的最大值为（）A．

B．

．

D9．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为2为（）

，则这个四棱锥的外接球的体积A．

B．

．16πD32π10在四面体ABCD中AD底面ABC，E为棱BC的中点，点在上且满足，若四面体ABCD的外接球的表面积为tan∠AGD=（）

，则A．

B．．

D第2页（共37页）

111111111111111．在底面是正方形的四棱锥﹣ABCD中，⊥底面ABCD，点为棱PB的中点，点F在棱AD上，平面CEF与PA交于点K，且，，则四棱锥﹣ABCD的外接球的表面积为（）A．

B．

．19πD12知正方体ABCD﹣BCD体积为8BCD在一个半球的底面上、B、、D四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为（）A．

B．

．12πD13．已知三棱P﹣ABC所有顶点都在球O的球面上，底面△ABC是以C为直角顶点的直角三角形，AB=2

，PA=PB=PC=

，则球O的表面积为（）A．9π．

．4πDπ14．已知边长2的等边三角形ABC，为BC的中点，以AD为折痕，将△折起，使∠BDC=90°，则过，，，D四点的球的表面积为（）A．3π．4πC．πD6π第Ⅱ卷非选择题）二．填题（共26小题）15．如图，已知矩ABCD，AD=2，E为AB边上的点，现将△ADE沿翻折至eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)′DE使得点A′在平面上的投影在CD上且直线A′D与平面EBCD所成角为45°则线段AE的长为．16．在四面体ABCD中，底面ABC，AB=6AC=10，BC=12，，G为△ABC的重心F为线段AD上一点，且FG∥平面则直线FG与AC所成角的余弦值为．第3页（共37页）

11122111111122111111111111111111117三棱锥的三视图如图所示该棱锥的体积为面积为．18．如图，在三棱柱ABC﹣ABC中，各侧棱均垂直于底面，∠BC=90°，AB=BC=3N=2BC与平AMN所成角的正弦值为．19．已知正方体ABCD，则AC与BC所成的角为．20．三棱锥PABC侧面PAC面ABC，侧棱PA⊥AB且PA=PC=AC=AB=4．如图AB平面α，以直线AB为轴旋转三棱锥，记该三棱锥在平面α上的俯视图面积为S，则S的最小值是，S的最大值是．21是边长a的正三角形ABC外一点PB⊥⊥，则P到△ABC所在平面的距离为．22．△ABC中，，，BC=3，若该三角形绕BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是．第4页（共37页）

111110000001111100000023三条线段两两垂直面ABC内一点Q到三个面、PBC的距离分别为Q点与顶P之间的距离为．24．设M，分别是正方体ABCD的棱，AD的中点，试作出平面CMN与正方体的截面．．四面体的六条棱中，有五条棱长都等于

，则该四面体体积的最大值为．26．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是14母线长是10cm，则圆锥的母线长为

cm．27．如图，棱长3的正方体的顶点A在平α上，三条棱ABACAD都在平面α的同侧．若顶点B，C到平面的距离分别为．建立如图所示的空间直角坐标系，设平面α的一个法向量为（x，y，zx=1则y=

，z=

，且顶点D到平面α的距离是．28．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm如果不计容器的厚度，则球的体积为．29．在等腰梯形中，∥CDAB=2BC=2CD=2，E是AB的中点，是的中点，沿直DE将△ADE翻折成棱锥A﹣，当棱A﹣BCDE的体积最大时，则直线AB与CF所成角的余弦值为．第5页（共37页）

30．如图，一个盛满水的三棱锥容器，三条侧棱上各有一个小D，，，且知道SD用这个容器盛水最多可盛原来水的．31．在正三棱锥S﹣ABC中，SA=1，∠ASB=40°，过作三棱锥的截面AMN，则截面三角形AMN的周长的最小值为．32．已知、PB、PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值是．33给定一个正方体与三个球其中一个球与该正方体的各面都相切第二个球与正方体的各棱都相切，第三个球过正方体的各个顶点，则此三球的半径之比是．34．△ABC中，AB=9，，∠BAC=120°，它所在平面外一点P到△ABC三个顶点的距离是14，那么点P到平面ABC的距离是：．35．从空间一个点P引四条射线、PB、、PD，它们两两之间的夹角相等，则该角的余弦值为．36．在正三棱锥P﹣中，MN分别是侧棱，PC的中点，若截面⊥侧面PBC，则此三棱锥的侧面与底面所成的角的正切是．第6页（共37页）

111111111137．已知m，l是异面直线，那么：①必存在平面过且与平行；②必存在平面β过m且与l垂直③必存在平面γ与m都垂直④必存在平面π，与m，l的距离都相等．其中正确的结论是．38．如图，在正三棱柱ABC﹣ABC中，AB=1AA=2则二面角C﹣﹣C的余弦值为．39点P在直径为2的球面上过P两两垂直的3条弦若其中一条弦长是另一条的2倍，则这3条弦长之和的最大值是．40．如图，已知棱长为4的正方体﹣A'B'C'D'，是正方形的中心，P是△A'C'D包括边界动点足PM=PD点P的轨迹长度为．第7页（共37页）

22222222参考答案与试题解析一．选题（共14小题）1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为，则几何体的高x为（）A．3B．．4D．【解答】解：该几何体的外接球的表面积为

，可得球的半径为r=

．几何体是四棱锥，如图：AO′=SO''==，OO′=x﹣，AO″=，可得：AO″=AE+OO′，

，O向SE做垂直垂足O''，，即

=1+（﹣），解得x=2．故选：D2．如图，四面体ABCD中，面ABD和面BCD都是等腰Rt△，AB=第8页（共37页）

，∠BAD=

∠CBD=

且二面角A﹣BD﹣的大小为若四面体ABCD的顶点都在球上，则球O的表面积为（）A．

B．20πC．πD．【解答】解：取CD中点E，BD中点F，连结BE、AF、EF∵四面体ABCD中ABD和面BCD都是等腰Rt且二面角A﹣BD﹣C的大小为，

∠CBD=

，∴AF⊥BD，EF⊥BD，∴∠是二面角A﹣BDC的平面角，

，BD=BC==2CD=

，CE=DE=

，AF=BF=DF=EF=1，

，则点E为△BCD外接圆的圆心，点F为△ABD外接圆的圆心，过点E作平面BCD的垂线EO，过点F作平面ABD的垂线，且直线EO与直线FO交于点O，则点O为四面体ABCD外接球的球心，如下图所示，易知

，，所以，

，所以，因此，球O的表面积为故选：B．

，则四面体ABCD的外接球半径为，第9页（共37页）

，

2222223已知球的直径SC=4AB是该球球面上的两点AB=则棱锥S﹣ABC的体积为（）

∠ASC=BSC=30°A．3．2．

D1【解答】解：设球心为点，作中点D连接OD，．因为线段是球的直径，所以它也是大圆的直径，则易得：∠SAC=∠所以在Rt△SAC中，SC=4∠ASC=30°得：，又在Rt△SBC中，SC=4，∠BSC=30°得：BC=2，SB=2

则：SA=SB，因为点是AB的中点所以在等腰三角形ASB中，SDAB且SD==在等腰三角形CAB中，⊥AB且CD===

=又SD交CD于点所以平面SCD即S﹣ABC的体积AB•S

△

，因为

SC=4所以由余弦定理得∠（+CDSC）=（

+

﹣16）

==则：sinSDC==由三角形面积公式得△SCD的面积S=SD•CD•sinSDC==3所以：棱锥S﹣ABC的体积：AB•S

△

=

=故选：．第10页（共37页）

11111111114．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A．36πB．πC．πD．25【解答】解：三视图对应几何体的直观图如图：﹣由题意可知AB=4，BC=2，SDAB，三角形ABC的外心为O′，设三棱锥的外接球的球心为O，设OO′=x，则即所以外接球的半径：

=，解得x=，．

，外接球的表面积为：4×故选：B．

=29π5．正三棱ABC﹣BC中，若，=1，若则A到平面ABC的距离为（）第11页（共37页）

11A．

B．

．

D【解答】解：设点A到平面ABC的距离为h，∵

=

，∴

，∴

，解得h=故选：B．

，6章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为堑堵”已知某堑堵”三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，若存在球与该“堑堵表面所在的五个平面都相切，则图中边长a的所有可能取值组成的集合为（）A．{2

﹣2，2

+2}B．{1，

+1，﹣1．{2

﹣2，2

+2，2，4

D{22

+2，2

﹣2}【解答】解：由三视图可知直三棱柱的底面斜边的高为，斜边长为2，直角三角形，棱柱的高为a，若存在球与该“堑堵表面所在的五个平面都相切，则球半径R满足：①R==

（此时球为棱柱的内切球得：第12页（共37页）

﹣2

222222②R=且R+1=

（此时球在棱柱外，正视图中球对称的圆在直角的夹角内解得：a=2

+2，③R=且R+角内解得：a=2，故选：D

（此时球在棱柱外，正视图中球对称的圆在45°角的7．在三棱锥﹣ABC中，⊥平面ABC∠BAC=120°，

，M是线段上一动点，线段PM长度最小值为积是（）

，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面A．

B．．18πD40π【解答】解：如图所示：三棱锥P﹣ABC中，⊥平面ABC，M是线段BC上一动点，线段PM长度最小值为则：当AM⊥时，线段PM达到最小值，由于：⊥平面ABC，所以：PA+AM=PM，解得：AM=1，

，，所以：BM=

，则：∠BAM=60°，由于BAC=120°，所以：∠MAC=60°则：△ABC为等腰三角形．第13页（共37页）

所以：BC=2

，在△ABC中，设外接圆的直径为2r=则：r=2，

，所以：外接球的半径R═

，则：S=故选：．

，8．球O径为

，设S、B、是球面上四个点，其中，则棱锥S﹣ABC的体积的最大值为（）A．

B．

．

D【解答】解：当S在经过AC与球心的连线上时，由于：AC==8球心到AC的中点的连线，，d=所以：锥体的最大高度为：h=3所以：V==故选：A．

．

，9．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为2为（）

，则这个四棱锥的外接球的体积A．

B．

．16πD32π【解答】解：如图，设正四棱锥底面的中心为O，则第14页（共37页）

32222222223222222222在直角三角形ABC中，∴，在直角三角形PAO中，

×AB=4，==2∴正四棱锥的各个顶点到它的底面的中心的距离都为，∴正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，且球半径，球的体积V=πr=

π故选：B．10在四面体ABCD中AD底面ABC，E为棱BC的中点，点在上且满足，若四面体ABCD的外接球的表面积为tan∠AGD=（）

，则A．

B．．

D【解答】解：由题意可得，点G是△ABC的重心，∴AG=AE=

，设△ABC的外心为O，由题意点O在AE上，令OA=r，则OE+EC=OC，即（3﹣r+=r，解得r=，∵AD⊥平面，∴四面体ABCD的外接球的半径R=r+（）=第15页（共37页）

+，

2222222222由题意得4πR=4π（解得AD=4，．∴tan∠AGD=故选：B．

+）=

，11．在底面是正方形的四棱锥﹣ABCD中，⊥底面ABCD，点为棱PB的中点，点F在棱AD上，平面CEF与PA交于点K，且，，则四棱锥﹣ABCD的外接球的表面积为（）A．

B．

．19πD【解答解图所示延长CF交于G连接EG与于K则AG=6，过A做AH∥PB，与EG交于H，则

===．，AF=2，∴AK=，底面是正方形的四棱锥，连接AC和BD交于O，设球心为，可得OI=．球心到A，，，D距离等于球的半径，∴R=OI+OA==

，外接球的表面积V=4πR=故选：D

．第16页（共37页）

1111111111111111111111112知正方体ABCD﹣BCD体积为8BCD在一个半球的底面上、B、、D四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为（）A．

B．

．12πD【解答】解：∵正方体ABCD﹣ABCD体积为8，∴正方体ABCD﹣ABCD的棱长为2则平面ABCD的外接圆半径r=球心到平面的距离d=2，

，则球的半径R=

=

，故此半球的体积V=

=

，故选：D13．已知三棱P﹣ABC所有顶点都在球O的球面上，底面△ABC是以C为直角顶点的直角三角形，AB=2

，PA=PB=PC=

，则球O的表面积为（）A．9π．

．4πDπ【解答】解析：设AB中点为D则D为△ABC的外心，因为证PD⊥面，，所以球心O在直线PD上，

，易又PA=

，AB=2

，算得PD=1，设球半径为，则△AOD中，第17页（共37页）

22（﹣1）+2=R，可得：R=．则球O的表面积S=4πR故选：A．

2

=9π，14．已知边长2的等边三角形ABC，为BC的中点，以AD为折痕，将△折起，使∠BDC=90°，则过，，，D四点的球的表面积为（）A．3π．4πC．D6π【解答解：边长2的等边三角形ABCD为BC的中点，AD为折痕，将△ABC折起，使∠BDC=90°，∴将折后的图形可放到一个长方体中，其体对角线长为

，故其外接球的半径为

，其表面积为5π．故选：．二．填题（共26小题）15．如图，已知矩ABCD，AD=2，E为AB边上的点，现将△ADE沿翻折至eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)′DE使得点A′在平面上的投影在CD上且直线A′D与平面EBCD所成角为45°则线段AE的长为2

．第18页（共37页）

【解答】解：如图所示，过A′作A′O⊥CD，垂足为点．连接OE．由题意可得：∠A′DO=45°．．∵A′D=AD=2，∴OD=A′O=设AE=x，则DE=，OE=在Rt△ADE中，∠AED=

．

．在△ODE中，cos∠ODE=∴=

，

，化为：

x=4，解得

．故答案为：2

．16．在四面体ABCD中，底面ABC，AB=6AC=10，BC=12，，G为△ABC的重心F为线段AD上一点，且FG∥平面则直线FG与AC所成角的余弦值为．【解答】解：G为△ABC的重心，取，BC的中点N，可得AC∥，如图：F为线段AD上一点，且FG∥平面，∴FGDM，所以，直线FG与AC所成角的平面就∠NMDAD⊥底面，，AC=10，BC=12，AD=4，∵M是中点，在△ABC中，由中线定理，求解AM=4第19页（共37页）

在△NMD中DN=5，，那么cos∠NMD=故答案为：．

=4．若某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为．

，表面积为

3【解答解由三视图可知几何体为三棱锥棱锥顶点在底面的射影为底面等腰三角形的顶点，棱锥底面等腰三角形的底边为，底边的高为1∴底面三角形的腰为

，棱锥的高为

．∴V=

=

，S=

+××2+

=3

．故答案为

，第20页（共37页）

1112211111111111112211111111111111122111111111111112111111111118．如图，在三棱柱ABC﹣ABC中，各侧棱均垂直于底面，∠BC=90°，AB=BC=3N=2BC与平AMN所成角的正弦值为．【解答在三棱柱BC﹣ABC中侧棱均垂直于底面ABC=90°AB=BC=3，M=2BN=2，∴以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，，（0，，（30，（，，（，，=（030

=（30，﹣

=（031设平面NAM的法向量=（x，y，z则，取x=1得=1，﹣3设直线BC与平面AMN所成角为θ，则sinθ===

．∴直线BC与平面AMN所成角的正弦值为故答案为：．

．第21页（共37页）

11111111111111111111111111119．已知正方体ABCD，则AC与BC所成的角为【解答】解：如图，∵直线AC∥AC，∴∠BCA是异面直线C与BC所成的角，连结AB，AC，∵△ACB是等边三角形，∴∠BCA=60°．∴异面直线AC与C所成的角是60°．故答案为60°

60°

．20．三棱锥PABC侧面PAC面ABC，侧棱PA⊥AB且PA=PC=AC=AB=4．如图AB平面α，以直线AB为轴旋转三棱锥，记该三棱锥在平面α上的俯视图面积为S，则S的最小值是，S的最大值是

8

．第22页（共37页）

【解答】解：取AC的中点由PA=PC=AC，可得⊥，又∵侧面⊥底面ABC，侧面∩底面ABC=AC，⊂侧面PAC∴PD⊥底面，又∵⊂底面ABC，∴PD⊥，又∵⊥，∩PD=P∴⊥平面，∴旋转过程中等边△PAC在底面上的射影总在侧面PAC与平面交线l上，且长度范围是又∵⊥l，所以S最小值为

，，最大值为8故答案为：

，8．21是边长a的正三角形ABC外一点PB⊥⊥，则P到△ABC所在平面的距离为

a

．【解答】解：∵P是边长为a的正三角形ABC外一点，AP⊥PB，PC，PC⊥，且PA=PB=PC，∴三棱锥P﹣ABC可看出边长

正方体的一角∴P到△ABC所在平面的距离为正方体的对角线的第23页（共37页）

11111111∵正方体的体对角线长为∴P到△ABC所在平面的距离为

a故答案为：

a22．△ABC中，，，BC=3，若该三角形绕BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是16π

．【解答】解：△ABC中，AC=4，，可得三角形是一个直角三角形，若该三角形绕边旋转一周，则所形成的几何体是一个圆锥，其高为底面半径是4故其体积为

=16π故答案为：16π．23三条线段两两垂直面ABC内一点Q到三个面、PBC的距离分别为

点与顶点P间的距离为．【解答】解：由题意如图，三条线段，PB，PC两两垂直，底面内一点到三个面PBC、的距离分别为，为棱扩展为长方体，求出体对角线的长，就是点与顶点P之间的距离．所以PQ=故答案为：．

=24．设M，分别是正方体ABCD的棱，AD的中点，试作出平面第24页（共37页）

111111111111111111111113﹣111111111111111111111113﹣A3CMN与正方体的截面．【解答】解：DD中点，再取GD的中点F连结、NF、F，延长FN交AA于点H，连结HM交AB于点E，连结EN，则五边形CMENF就是所求的截面．下面证明C、MEN、共面，∵G、M分别为正方体ABCD﹣ABCD的棱、BB的中点，∴CM∥AG，∵△ADG中，NF分别为、的中点，∴NFAG，可得C∥NF由此可得CM与NF确定平面CMNF，又∵H∈，平面CMNF，∴H∈平面MNF，因此H、、MN、共面，可得HM⊂平面CMNF，∵E∈HMHM⊂平面CMNF，∴E∈平面CMNF，C、M、E、F共面．25．四面体的六条棱中，有五条棱长都等a，则该四面体体积的最大值为a．【解答】解：如图所示，在四面体ABCD中，若AB=BC=CD=AC=BD=a，AD=x，取的中点P，BC的中点E，连接BP，EP，，易证AD⊥平面BPC，所以V

=S△BPC×AD=

×x=×

=

×≤a，第25页（共37页）

000000000000当且仅当，即x=

时取等号．故答案为：a

3

，26．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是14母线长是10cm，则圆锥的母线长为13cm．【解答】解：作出圆锥的轴截面如图，设SA=y，′A′=x；利用平行线截线段成比例，则SA：SA=O′A：OA，即（﹣10：4x，解得y=13．即圆锥的母线长为13cm．故答案为：1327．如图，棱长3的正方体的顶点A在平α上，三条棱ABACAD都在平面α的同侧．若顶点B，C到平面的距离分别为．建立如图所示的空间直角坐标系，设平面的一个法向量为x，，x=1，y=，且顶点D到平面的距离是．第26页（共37页）

，=

111111111112111111111111112111【解答】解：如图所示，连结、CD、BD，则四面体A﹣BCD为直角四面体；作平面α的法线AH，作BB⊥平面α于B，⊥平面α于C，DD⊥平面α于D；连结AB，AC，AD，令AH=h，DB=b，，由V

三棱锥﹣

的体积相等，∴×S∴可得

△=

•h=×abc，•••h=abc，++，∴++

=1令∠BAB=α∠CAC=γ，∠DAD=β，可得sin

2

α+sin

2

β+sin

γ=1，设DD=m∵BB=1，=

，∴++

=1，第27页（共37页）

0033300333解得m=

；即所求点到平面α的距离为．又α的法向量为=（，y，z）=（hcos（﹣α（﹣γ（﹣β=（hsinα，，由hsinα=1得hsinγ=

，hsinβ=

；∴=（1故答案为：

，，

，．28．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm如果不计容器的厚度，则球的体积为

cm．【解答解：根据几何意义得出：边长8的正方形，球的截面圆为正方形的内切圆，∴圆的半径为：4，∵球面恰好接触水面时测得水深为6cm∴d=8﹣6=2，∴球的半径为：R=R=5∴球的体积为×（5=故答案为．

，

cm第28页（共37页）

29．在等腰梯形中，∥CDAB=2BC=2CD=2，E是AB的中点，是的中点，沿直DE将△ADE翻折成棱锥A﹣，当棱A﹣BCDE的体积最大时，则直线AB与CF所成角的余弦值为．【解答】解：作出对应的图象，由题意知当棱锥A﹣BCDE的体积最大时，满足AF⊥底面BCDE，以F为坐标原点，以

FA分别为xyz轴建立空间坐标系，∵AB=2BC=2CD=2∴BC=CD=1，则FA=FC=

，FE=FD=，即D，00（﹣，00（0，

，0（0，设B（，y，z则

，即（﹣，

，0）=（x+，y，解得x=﹣1，y=

，z=0，即（﹣1，

，0则

=（﹣1

，﹣

=（

，0则

=

×

=，|

|=

，|

|==

，则cos＜，＞===第29页（共37页）

，

1111故直线AB与CF所成角的余弦值为故答案为：

，30．如图，一个盛满水的三棱锥容器，三条侧棱上各有一个小D，，，且知道SD：EB=CF：：，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的．【解答】解：如右图所示，DE作与底面ABC平行的截面DEM，则M为SC的中点为SM的中点过F作与底面ABC平行的截面FNPN分别为SE的中点．设三棱锥S﹣ABC的体积为为H﹣DEM的体积为V高为则

=，==

．三棱锥F﹣DEM的体积与三棱锥S﹣的体积的比是2（高的比∴三棱锥F﹣DEM的体积

．三棱台DEM﹣ABC的体积=VV=

，∴最多可盛水的容积=

+

=

．第30页（共37页）

1111222111111112221111故最多所盛水的体积是原来的故答案为：．

．31．在正三棱锥S﹣ABC中，SA=1，∠ASB=40°，过作三棱锥的截面AMN，则截面三角形AMN的周长的最小值为．【解答】解：沿侧棱S把正三棱锥的侧面展开如右图，可观察出，当截与三棱锥各面交线恰好共线时，周长最小，且最小值为AA的长，在eq\o\ac(△,)S中，SA=SA=1，∠ASA=120°∴AA=SA+SA﹣2SASAcos120°=111=3∴AA=故答案为32．已知、PB、PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，第31页（共37页）

122122则直线PC与平面PAB所成角的余弦值是．【解答】解：PC上任取一点D并作DO平面，则∠就是直线与平面PAB所成的角．过点O作OE⊥，OF⊥PB，因为DO平面APB，则DE⊥，DF⊥．△DEP≌△DFP，∴EP=FP，∴△△OFP因为∠APC=∠BPC=60°，所以点O在∠APB的平分线上，即∠OPE=30°．设PE=1，∵∠OPE=30°∴=在直角△PED中，∠DPE=60°，PE=1，则PD=2．在直角△DOP中，OP=

，PD=2．则cos∠

=

．即直线PC与平面PAB所成角的余弦值是

．33给定一个正方体与三个球其中一个球与该正方体的各面都相切第二个球与正方体的各棱都相切第三个球过正方体的各个顶点则此三球的半径之比是1：．【解答】解：设正方体的棱长为a，可得∵第一个球与该正方体的各面都相切∴第一个球的直径等于正方体的棱长a故球的半径为r=a又∵第二个球与正方体的各棱都相切∴第二个球的直径等于正方体的相对两条棱的距离故球的半径为正方体面上的对角线长：即2r=∵第三个球过正方体的各个顶点，第32页（共37页）

ar=a

33133313∴第三个球的直径等于正方体的对角线长即2r=可得r：r：r=a：

r=a：

=1故答案为：1：34．△ABC中，AB=9，，∠BAC=120°，它所在平面外一点P到△ABC三个顶点的距离是14，那么点P到平面ABC的距离是：

7

．【解答】解析：记P在平面ABC上的射影为O，∵PA=PB=PC∴即O是△的外心，只需求出OA（△ABC的外接圆的半径记为，在△