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4.1.1圆的标准方程

圆的标准方程圆心为A(a,b),半径长为r(r>0)的圆的标准方程是①

(x-a)2+(y-b)2=r2

.当a=b=0时,方程为x2+y2=r2,表示以②

原点

为圆心,半径长为r的圆.

点与圆的位置关系圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心为A(a,b),半径长为r(r>0).设所给点为M(x0,y0),则位置关系判断方法几何法代数法点在圆上|MA|=r⇔点M在圆A上点M(x0,y0)在圆上⇔(x0-a)2+(y0-b)

2=r2点在圆内|MA|<r⇔点M在圆A内点M(x0,y0)在圆内⇔(x0-a)2+(y0-b)

2<r2点在圆外|MA|>r⇔点M在圆A外点M(x0,y0)在圆外⇔(x0-a)2+(y0-b)

2>r2

判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”.1.圆(x-1)2+(y-2)2=5的圆心为(1,2),半径长为5.

(

✕)半径长为

.2.圆(x+2)2+y2=b2(b≠0)的圆心为(-2,0),半径长为b.

(

✕)半径长为|b|.3.圆(x-

)2+(y+

)2=2的圆心为(

,-

),半径长为

.

(√)4.方程(x-2)2+(y+3)2=0表示的圆的圆心为(2,-3).

(

✕)方程(x-2)2+(y+3)2=0不表示圆,它表示点(2,-3).

圆的标准方程的求法1.直接代入法确定圆心坐标和半径长,直接代入圆的标准方程即可.确定圆心坐标和半径长时,常用的圆的几何性质有:(1)圆心与切点的连线垂直于圆的切线;(2)圆心到切线的距离等于圆的半径长;(3)圆的半径长r,弦长的一半h,弦心距d满足r2=h2+d2;(4)圆的弦的垂直平分线过圆心;(5)一般地,三角形有唯一的外接圆,圆心为三角形三边垂直平分线的交点;(6)已知圆心所在的直线及圆上两点(这两点不关于该直线对称),则两点连线(圆

的弦)的垂直平分线与圆心所在直线的交点即为圆心.

2.待定系数法(1)根据题意,设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0);(2)根据已知条件,建立关于a,b,r的方程组;(3)解方程组,求出a,b,r的值;(4)将a,b,r代入所设的方程中,即可得到所求圆的方程.

求过点A(3,1),B(-1,3),且圆心在直线l:3x-y-2=0上的圆的标准方程.解析

解法一:设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),依题意,有

即

解得

故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y-4)2=10.解法二:直线AB的斜率k=

=-

,所以线段AB的垂直平分线m的斜率为2.线段AB的中点的横坐标和纵坐标分别为x=

=1,y=

=2,因此直线m的方程为y-2=2(x-1),即2x-y=0.又因为圆心在直线3x-y-2=0上,所以圆心是这两条直线的交点.联立,得

解得

所以圆心坐标为(2,4).设圆心为C,则半径长r=|CA|=

,所以所求圆的标准方程为(x-2)2+(y-4)2=10.解法三:设圆心为C.因为圆心在直线3x-y-2=0上,所以可设圆心C的坐标为(a,3a-2).又因为|CA

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