高考圆锥曲线基本公式推导(学长整合版)

创作时间：二零二一年六月三十天圆锥曲线的几大年夜大年夜题特点公式：焦半径、准线、弦长、切线方程、弦中点公式、极线方程之答禄夫天创作创作时间：二零二一年六月三十天/*此外,针对“计算不好”的同学,自己供给“硬解定理”供年夜家无脑使用.详细的请参照本目录下的【硬解定理的推导和使用】文章.*/圆锥曲线的切线方程在历年高考题中体现,但是在高中教材及资料都波及较少.本文主要探究圆锥曲线的切线方程及其应用.进而为解这一类题供给一致、清楚、简捷的解法.【基础知识1：切线方程、极线方程】【1-0】公式小结：x2换成xx0,y2换成yy0,x换成(x+x0)/2,y换成(y+y0)/2.【1-1】椭圆的切线方程：①椭圆x2y21上一点P(x0,y0)处的切线方程是xx0yy01.a2b2a2b2②过椭圆x2y21外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是a2b2xx0yy01.a2b2③椭圆x2y21与直线AxBxC0相切的条件是A2a2B2b2C20a2b2(也就是下篇文档所讲的硬解定理公式△=0的充要条件)【1-2】双曲线的切线方程：①双曲线x2y21上一点P(x,y)处的切线方程是xx0yy01.a2b200a2b2创作时间：二零二一年六月三十天创作时间：二零二一年六月三十天②过椭圆x2y21外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是a2b2xx0yy01.a2b2③椭圆x2y21与直线AxBxC0相切的条件是a2b2A2a2B2b2C20【1-3】抛物线的切线方程：物线

y2

2px

上一点

P(x0,y0)处的切线方程是

yy0

2p(x

x0)②过抛物线

y2

2px

外一点

地方引两条切线是

yy0

2p(x

x0)③抛物线

y2

2px

与直线

Ax

Bx

C

0相切的条件是

pB2

2AC1-4】基础知识的证明：【公式一：曲线C上切点公式证明】1、第1种证明思路：过曲线上一点的切线方程设曲线C上某一点处P(x0,y0)的切线方程为yy0k(xx0),联立方程,令0,获取k的表达式,再代入原始式,最后得切线方程式xx0yy0(x0)2(y0)21a2b2a2b2（注:k的表达式能够在底稿中巧用点差法求,详细见下）2、第2种证明思路：点差法(求斜率,其他跟第一种方法同样)证明：设某直线与曲线C交于M、N两点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),中点P(x0,y0)x12y121,(1)得x12222则有a2b2(1)(2),a2x2y1b2y20.x22y221.(2)a2b2y2y1y2y1b2又kMNy2y1,y1y22y0y0.x2x1x2x1a2x2x1x1x22x0x0创作时间：二零二一年六月三十天创作时间：二零二一年六月三十天y0b2kMNx0a2(弦中点公式的椭圆基本表达式.双曲线则是kMNy0b2x0a2)当M、N无穷趋近时,P在椭圆C上.即得切线斜率kb2x0a2y03、第三种证明思路(注意：仅供理解,考试使用可能分证明：由2（圆锥曲线切线证明）（同一目录下文章）可知圆上一点的切线方程.附言：第1种证明思路中,抛物线证明过程中略微有些分歧.③①切线斜率可用导数示意.②获取式子后,要利用y022px把y02消去.【公式二：曲线外一点引切线,过切点作直线的通式证明】(称为极线方程)证明思路：过P(x0,y0)作两条曲线C的切线,切点为A(x1,y1),B(x2,y2).Ax1By1C0Ax2By2C0

.因此过A、B两点直线lAB方程为AxBxC0证明(就举椭圆为例)解：过P(x0,y0)作两条曲线C的切线,切点为A(x1,y1),B(x2,y2).过A点切线:xx1yy11,过B点切线：xx2yy21.a2b2xx0yy0a2b21过A、B两点直线lAB方程为2b2a【公式三：由公式一的思路可得】【基础知识2：焦半径与准线】(详细关系与内容省略,详情看圆创作时间：二零二一年六月三十天创作时间：二零二一年六月三十天锥曲线知识表格)【1-1】焦半径公式(详细推导用“两点间距离公式”也可解决,以后近似“求长度”的题型,求长度式子写“两点间举例公式”,结果能够直接靠背.对焦半径PF,口诀：椭圆F左加右减.aex(记忆：a大年夜则在前)双曲线F左加右减,双曲线上点P左减右加.exa焦半径与点到准线距离关系以下.即(aex)/e=a2x准线距离c推行应用:经过m,n比率e的值cos的值tank的值巧用公式cosmn1(注：双曲线交于同侧、抛物线近似)mne不外需要注意的是,双曲线交于异侧时,公式就酿成cosmn1,详细自己推导吧mne【基础知识3：弦中点公式及系列近似结论拓展】(坐标幻化只好用于证明部份内容)【结论一：弦中点公式】【证明】：设某直线与曲线C交于M、N两点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),中点P(x0,y0)x12y121,则有a2b2x222y21.a2b2y2y1y2y1b2x2x1x2x1a2

(1)222y22(1)(2),得x1x2y1b20.a2(2)又kMNy2y1,y1y22y0y0.x2x1x1x22x0x0创作时间：二零二一年六月三十天创作时间：二零二一年六月三十天2即kMNy0kMNkOPb2(常常使用)x0a结论：斜率不变的直线与椭圆交于两点,所得两点中点的轨迹是一条过原点的直线.【抽象理解型证明】详细理解,能够用“坐标系幻化理解”证明：设某斜率为定值k的直线与曲线C交于M、N两点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),中点P(x0,y0)x2y21,令xax',y=by'(x')2+(y')21.a2b2∵幻化后,x轴缩短a倍，y轴缩短b倍,获取中点轨迹方程一直与MN垂直【结论二：极点连线斜率乘积公式】(用坐标幻化好理解)(部份设元会用它比力方便)b2,详细证明见下边的“拓展性证明”,若要抽象理解的kAPkBP2a话坐标幻化后两个垂直,证明方法和上边同样.至于双曲线,则是b2kAPkBPa2

.结论能够直接背,不外引用的时候还得依据下边的方法老实推导.【结论三：（上一结论的延长）对称点连线斜率乘积公式】(无法用坐标幻化)证明：不建议设直线,直接设两个元最后消元即可(此处只列椭圆的,双曲线的证明近似)创