【金版学案】高考数学总复习基础知识名师讲义第五章第四节数列通项求法理

第四节数列通项的求法高考是以知识为载体，以方法为依靠，以能力为目标来进行考察的，对通项公式的要求远不只逗留在只求等差数列、等比数列的通项公式，有好多考题都是经过诸如结构法、累加法、累乘法以及利用Sn与an的关系和数列的递推公式把要求的数列转变为等差数列或等比数列来求的．知识梳理数列的通项公式是数列的核心内容之一，它好像函数中的分析式同样，有认识析式便可研究其性质等，而有了数列的通项公式即可求出任一项以及前n项和等．所以，求数列的通项公式常常是解题的打破口、重点点．在最近几年来的高考题中常常出现给出数列的分析式(包括递推关系式和非递推关系式)求通项公式的问题，关于这种问题考生感觉困难较大．为了帮助考生打破这一难点，现将求数列通项的思想方法概括以下：①化归与转变思想；②换元思想；③方程思想．基础自测1．数列{a}中，a＝1，a＝a＋lg1＋n，则a＝()n1n＋1n110A．1B．2C．3D．49＋＋lg分析：a10＝(10－a9)＋(9－8)＋＋(2－a1)＋1＝lg10＋lg2＋1＝aaaaa9811092lg9×8××1＋1＝2.应选B.答案：B2n，0≤n<1，6aa22．若数列{an}知足an＋1＝2a－1，1若a1＝7，则a2013的值为()2nn6531A.7B.7C.7D.76分析：∵2≤a1＝7<1，∴2＝21－1＝5，3＝22－1＝3.aa7aa71a3＝7<2，6∴a4＝2a3＝7＝a1，a5＝a2，.∴数列{n项重复出现，即是以3为周期的周期数列．∴2013＝671×3＝3aaaa7选C.答案：C3．(2013·江苏南京四校联考)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋n－1，则a1＋a3＝________.分析：a1＝S1＝21＋1－1＝2，a3＝S3－S2＝8＋3－1－(4＋2－1)＝5，∴a1＋a3＝7.答案：7*的通项公式为4．已知数列{an}中，知足a1＝6，an＋1＋1＝2(an＋1)(n∈N)，则数列{an}________．an＋1＋1分析：∵an＋1＋1＝2(an＋1)，∴an＋1＝2(常数)，∴{an＋1}是以7为首项，2为公比的等比数列，∴n＋1＝7·2n－1，∴an＝7·2n－1－1.an－1*答案：an＝7·2－1(n∈N)nS2aaa{S}1{}的前3，数列是公差．设各项均为正数的数列an项和为n，已知2＝1＋n为d的等差数列．求数列{a}的通项公式(用n，d表示)．n分析：由题意知d>0，S＝S＋(n－1)d＝a＋(n－1)d，2a＝a＋a?3(S－S)＝3，n1121321S即3[(a1＋d)2－a1]＝(a1＋2d)2，化简，得a－2221111Sn＝d＋(n－1)d＝nd，∴Sn＝n2d2.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝(2n－1)d2，合适n＝1情况．故所求an＝(2n－1)d2.2n12nn1Sn＋12*2．(2013·广东卷)设数列{a}的前n项和为S.已知a＝1，n＝a－3n－n－3，n∈N.(1)2求a的值；(2)求数列{an}的通项公式；1117证明：对全部正整数n，有＋＋＋＜.a1a2an4(1)分析：依题意，21＝a121＝1＝1，所以a2＝4；2－－1－，又S33Sann＋11322(2)分析：当n≥2时，2S＝na－3n－n－3n，13222Sn－1＝(n－1)an－3(n－1)－(n－1)－3(n－1)，两式相减得nnn1222a＝na＋1－(n－1)a－3(3n－3n＋1)－(2n－1)－3，a＋1aa2a1nn整理得(n＋1)an＝nan＋1－n(n＋1)，即n＋1－n＝1，又2－1＝1，ana1an故数列n是首项为1＝1，公差为1的等差数列，所以n＝1＋(n－1)×1＝n，2*annn1711157(3)证明：当n＝1时，a1＝1＜4；当n＝2时，a1＋a2＝1＋4＝4＜4；11111当n≥3时，an＝n2＜n－1n＝n－1－n，此时，11111111＋＋＋＝1＋＋2＋2＋＋n2＜1＋＋n12111717＝1＋4＋2－n＝4－n＜4，综上，对全部正整数n，有11＋＋17＋＜.a1a2an4

1111112－3＋3－4＋＋n－1－n1．设数列{an}知足：an＋1＝1＋an，2011＝2，那么a1等于( )1－ana11A．－2B．2C.3D．－31＋anan＋1－1，由于a2011＝2，所以挨次解得1分析：由an＋1＝，得an＝a2010＝，a2009＝－1－anan＋1＋131，a2008＝－3，a2007＝2，a2006＝1，a2005＝－1，，所以{an}是周期数列，周期为4，所以232a2005＝a2004＋1＝a1＝－12.应选A.答案：A2．(2013·汕头二模改编)在数列{an}中，a1＝0，且对随意k∈N*，a2k－1，a2k，a2k＋1成等差数列，其公差为2k.证明：a4，a5，a6成等比数列；求数列{an}的通项公式．证明：由题设可知，a2＝a1＋2＝2，a3＝a2＋2＝4，a4＝a3＋4＝8，a5＝a4＋4＝12，a6＝a5＋6＝18.a6a53进而a5＝a4＝2，所以a4，a5，a6成等比数列；分析：由题设可得a2k＋1－a2k－1＝4k，k∈N*.所以a2k＋1－a1＝(a2k＋1－a2k－1)＋(a2k－1－a2k－3)＋＋(a3－a1)＝4k＋4(k－1)