高中数学第一章三角函数第2节任意角三角函数三角函数其应用数学教案

第2课时三角函数及其应用[核心必知]1．预习教材，问题导入依据以下纲要，预习教材P15～P17的内容，回答以下问题．察看教材P16的图1.2－7，有向线段MP，OM，AT的方向是怎样规定的？提示：当方向与

轴或

轴的方向一致时，则有向线段

，，的方向为正；当方向与

x轴或

y轴的方向相反时，则有向线段

MP，OM，AT的方向为负．(2)察看教材

P16的图

1.2－7，你以为

sin

α，cos

α，tan

α与有向线段

MP，OM，AT有什么关系？提示：|sin_α|＝|MP|，|cos_α|＝|OM|，|tan_α|＝|AT|.2．概括总结，核心必记有向线段带有方向的线段，叫做有向线段．三角函数线图示正弦线α的终边与单位圆交于P，过P作PM垂直于x轴，有向线段MP即为正弦线余弦线有向线段OM即为余弦线正切线过A(1,0)作x轴的垂线，交α的终边或其终边的反向延伸线于T，有向线段AT即为正切线[问题思虑]三角函数线的长度等于三角函数的值吗？提示：不等于，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值．三角函数线的方向能表示三角函数的正负吗？提示：能，当三角函数线与x轴(或y轴)正向同向时，所表示三角函数值为正的，与x轴(或y轴)正向反向时，所表示三角函数值为负的．[课前反省](1)有向线段的观点：；(2)三角函数线的观点及作法：.作已知角的三角函数线知识点1讲一讲1．作出以下各角的正弦线、余弦线、正切线．π17π10π(1)－4；(2)6；(3)3.[试试解答]如图．此中MP为正弦线，OM为余弦线，AT为正切线．类题·通法三角函数线的作法步骤作直角坐标系和角的终边．(2)作单位圆，圆与角的终边的交点为P，与x轴正半轴的交点为A.(3)过点P作x轴的垂线，垂足为M.(4)过点A作x轴的垂线，与角的终边或其反向延伸线交于点T.有向线段MP，OM，AT即分别为角的正弦线，余弦线和正切线．练一练1．作出－9π的正弦线、余弦线和正切线．4解：如下图，9π－的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT.4利用三角函数线解简单不等式知识点2讲一讲2．在单位圆中画出合适以下条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的会合．(1)sinα≥31；(2)cosα≤－.22[试试解答](1)如图①所示，作直线y＝3交单位圆于，B两点，连结，，则2AOAOBOA与

OB围成的地区

(暗影部分

)即为角

α

的终边的范围．故知足条件的角

α

的会合为α|2kπ＋

π3≤α≤2kπ＋

2π3

，k∈Z.1(2)如图②所示，作直线

x＝－2交单位圆于

C，D两点，连结

OC与

OD，则OC与

OD围成的地区(暗影部分)即为角α的终边的范围．故知足条件的角α的会合为α|2kπ＋2π≤α≤2kπ＋4π，k∈Z.33类题·通法利用三角函数线解简单不等式的方法利用三角函数线求解不等式，往常采纳数形联合的方法，求解要点是合适地追求点，一般来说，对于sinx≥b，cosx≥a(或sinx≤b，cosx≤a)，只要作直线y＝b，x＝a与单位圆订交，连结原点和交点即得角的终边所在的地点，此时再依据方向即可确立相应的x的范围；对于tanx≥c(或tanx≤c)，则取点(1，c)，连结该点和原点即得角的终边所在的地点，并反向延伸，联合图象可得．练一练2．利用三角函数线，求知足以下条件的α的范围．(1)sin13α＜－；(2)cosα＞.221P，P′两点，则sin∠xOP解：(1)如图①，过点0，－2作x轴的平行线交单位圆于111π7π7π＋2π＜＜＝sin∠xOP′＝－2，∠xOP＝6，∠xOP′＝6，故α的范围是α|kα611π＋2kπ，k∈Z.6(2)如图②，过点3作x轴的垂线与单位圆交于P，P′两点，则cos∠xOP＝cos2，03ππ∠xOP′＝2，∠xOP＝6，∠xOP′＝－6，ππ故α的范围是α|－6＋2kπ＜α＜6＋2kπ，k∈Z.利用三角函数线比较大小知识点3讲一讲3．(1)以下关系式中正确的选项是()A．sin10°＜cos10°＜sin160°B．sin160°＜sin10°＜cos10°C．sin10°＜sin160°＜cos10°D．sin160°＜cos10°＜sin10°(2)设＝sin5π，＝cos2π，＝tan2π，则a，，c的大小次序摆列为________．a7b7c7b[试试解答](1)由三角函数线知，sin160°＝sin20°＞sin10°，而cos10°＞sin20°，所以选C.由如图的三角函数线知：M1P1＝MP＜AT，由于2π＞2π＝π，所以＞，784MPOM所以cos2π＜sin2π＜tan2π，所以＜＜.777bac答案：(1)C(2)b＜a＜c类题·通法利用三角函数线比较大小的步骤①角的地点要“对号入坐”；②比较三角函数线的长度；③确立有向线段的正负．利用三角函数线比较函数值大小的要点及注意点：①要点：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线．②注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向．练一练3．比较sin1155°与sin(－1654°)的大小．解：先化为0°～360°范围内的角的三角函数：sin1155°＝sin(3×360°＋75°)＝sin75°，sin(－1654°)＝sin(－5×360°＋146°)＝sin146°.在单位圆中，分别作出表示sin75°和sin146°的正弦线M2P2，M1P1(如图)．由于M1P1<M2P2，所以sin1155°>sin(－1654°)．[讲堂概括·感悟提高]1．本节课的要点是三角函数线的画法，以及利用三角函数线解简单的不等式及比较大小问题，难点是对三角函数线观点的理解．2．本节课应要点掌握三角函数线的以下三个问题三角函数线的画法，见讲1；利用三角函数线解简单不等式，见讲2；利用三角函数线比较大小，见讲3.3．理解三角函数线应注意以下四点地点：三条有向线段中有两条在单位圆内，一条在单位圆外；(2)方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向切线与α的终边(或其延伸线)的交点；(3)正负：三条有向线段中与x轴或y轴同向的为正当，与x轴或y轴反向的为负值；书写：有向线段的始点字母在前，终点字母在后．课下能力提高(四)[学业水平达标练]题组1作已知角的三角函数线π6π1．角5和角5有同样的()A．正弦线B．余弦线C．正切线D．不可以确立分析：选Cπ6π在同一坐标系内作出角5和角5的三角函数线可知，正弦线及余弦线都相反，而正切线相等．3π2．假如MP，OM分别是角16的正弦线和余弦线，那么以下结论正确的选项是( )A．<<0B．<0<MPOMMPOMC．MP>OM>0D．OM>MP>03π分析：选D在单位圆中作出16的正弦线和余弦线，如下图．由图可知，OM>MP>0.3．角θ(0<θ<2π)的正弦线与余弦线的长度相等且符号同样，则θ的值为________．π5π分析：由题意知，角θ的终边应在第一、三象限的角均分线上，则θ＝4或4.π5π答案：4，4题组2利用三角函数线解简单不等式4．在(0,2π)范围内，使sinα>cosα建立的α的取值范围是()ππ5ππA.4，2∪π，4B.4，ππ5ππ5π3πC.4，4D.4，π∪4，2分析：选C如下图，OP是角α的终边，则sinα＝MP，cosαπ5ππ5π＝OM.当α∈4，4时，恒有MP>OM；而当α∈0，∪，2π44时，则有MP<OM.5．若cosθ>sin7π，利用三角函数线得角θ的取值范围是3____________．7πππ3分析：由于cosθ>3，所以cosθ>sin＋2π＝sin3＝2，3ππ利用三角函数线易知角θ的取值范围是2kπ－6，2kπ＋6(k∈Z)．答案：2kπ－π，2kπ＋π(k∈Z)666．求函数f(x)＝1－2cosx＋ln－2的定义域．sinx21－2cos≥0，1xcosx≤2，解：由题意，得自变量x应知足不等式组即x－22sin＞0，sin2x＞.2则不等式组的解的会合如图暗影部分所示，π3π所以所求定义域为x|2kπ＋3≤x＜2kπ＋4，k∈Z.题组3利用三角函数线比较大小7．若α是第一象限角，则sinα＋cosα的值与1的大小关系是()A．sinα＋cosα＞1B．sinα＋cosα＝1C．sinα＋cosα＜1D．不可以确立分析：选A如图，角α的终边与单位圆交于P点，过P作PM⊥x轴于M点，由三角形两边之和大于第三边可知sinα＋cosα＞1.8．若－3ππ＜α＜－，则sinα，cosα，tanα的大小关系是( )42A．sinα＜tanα＜cosαB．tanα＜sinα＜cosαC．cosα＜sinα＜tanαD．sinα＜cosα＜tanα分析：选D如图，在单位圆中，作出－3ππ＜α＜－内的一个角42及其正弦线、余弦线、正切线．由图知，|OM|＜|MP|＜|AT|，考虑方向可得sinα＜cosα＜tanα.9．sin1，sin1.2，sin1.5的大小关系是( )A．sin1＞sin1.2＞sin1.5B．sin1＞sin1.5＞sin1.2C．sin1.5＞sin1.2＞sin1D．sin1.2＞sin1＞sin1.5分析：选C如图，易知0＜1＜1.2＜1.5π，|MA|＜|NB|＜|QC|，＜2且MA―→，NB―→，QC―→同向，∴sin1＜sin1.2＜sin1.5.π10．试利用单位圆中的三角函数线证明当0＜α＜2时，sinα＜α＜tanα.证明：如图，单位圆与α的终边OP订交于P点，过P作PM⊥x轴，垂足为，连结，过单位圆与x轴正半轴的交点A作⊥x轴交于，则sinα＝，MAPATOPTMPα＝APl，tanα＝AT，由S1122扇形OAP△OAT＜PA＜APl，所以MP＜APl＜AT.即sinα＜α＜tanα.[能力提高综合练]7π1．假如MP和OM分别是角α＝8的正弦线和余弦线，那么以下结论中正确的选项是()A．MP＜OM＜0B．OM＞0＞MPC．OM＜MP＜0D．MP＞0＞OM分析：选D如下图，正弦线为MP，余弦线为OM，联合图象，可知：MP＞0，OM＜0，故OM＜0＜MP.2．已知角α的正切线是单位长度的有向线段，那么角α的终边( )A．在x轴上B．在y轴上C．在直线y＝x上D．在直线y＝x，或y＝－x上分析：选D由题意可知，如图，|AT|＝1，∴AT＝±1.则tanα＝±1，角α的终边在直线y＝±x上，应选D.3．设a＝sin(－1)，b＝cos(－1)，c＝tan(－1)，则有( )A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．a＜c＜b分析：选C如图作出角α＝－1rad的正弦线、余弦线及正切线，明显b＝cos(－1)＝OM＞0，c＝tan(－1)＜a＝sin(－1)＜0，即c＜a＜b.4．假如cosα＝cosβ，则角α与β的终边除可能重合外，还有可能( )A．对于x轴对称B．对于y轴对称C．对于直线

y＝x对称

D．对于原点对称分析：选

A

利用单位圆中的余弦线解题易知

A正确．5．若

0＜α＜2π，且

sin

α＜

32

，cos

1α＞2.利用三角函数线，获得

α

的取值范围是________．分析：利用三角函数线得α的终边落在如下图∠AOB的地区内，π5π所以α的取值范围是0，3∪3，2π.π5π答案：0，3∪3，2π6．函数y＝2cosx－1的定义域为____________．11分析：∵2cosx－1≥0，∴cosx≥2.作直线x＝2交单位圆于P，P′，连结

OP，OP′，如图，所以知足条件的会合为

ππx2kπ－3≤x≤2kπ＋3，k∈Z.∴该函数的定义域为

2kπ－π，2kπ＋π33

(k∈Z)．答案：

2kπ－π，2kπ＋π33

(k∈Z)7．利用三角函数线写出知足以下条件的角

x的会合．1

1(1)sin

x＞－2，且

cos

x＞2；(2)tan

x≥－1.1

1解：

(1)

由图①知，当

sin

x＞－

2，且

cos

x＞

2时，角

x

的会合为ππx|－6＋2kπ＜x＜3＋2kπ，k∈Z.由图②知，当