四招智解空间向量四问题

第28页共28页四招智解空间向量四问题（浙江省绍兴县鲁迅高级中学蒋钰香312000）立体几何涉及空间向量的考点主要包含空间向量的概念，空间向量的加法、减法和实数与向量的乘积，空间向量的基本定理，空间向量坐标的概念及坐标运算，空间向量的数量积，直线的方向向量，平面的法向量等.然后阻碍学生得分的空间向量立体几何问题主要有四个，这四个典型问题是：空间向量的基本概念；向量的线性运算；空间向量的坐标表示及运算；空间向量的数量积。下面就如何用四招智解这四类典型问题例析如下：一．辨析重要概念智解基本概念题判断空间向量这类概念问题是否正确就需要辨析和掌握好向量的重要概念，如空间向量共线的充要条件，空间向量共面的充要条件，而且共线向量一般是二个向量之间，共面向量一般是三个向量之间.例1．下列命题正确的是（）A．分别表示空间向量的有向线段所在直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B．若，则，的长度相等而方向相同或相反C．若向量满足，且与同向，则D．若两个非零向量满足，则解析：D是正确的，A、B、C分别是错误的，A主要是两个向量一定是共面的，因为向量可以通过平移，且对于二个向量的关系主要是共线，三个向量的关系主要是共面；B主要是向量的模相等，但方向不一定相同；C主要是两个向量一般是不能比较大小的.点评：此例题是一个空间向量的基本概念问题，在求解的过程中易出现错解为A，造成选A错解的原因是不能理解向量与直线的区别，因此破解这类向量概念问题的关键是要准确理解向量的特点，即可以平移.二．巧用转圈法则智取线性运算题准确把握向量的加减法法则、运算规律、定理以及有关公式等，灵活地运用它们来解决空间向量的线性问题．这类问题需要将向量的运算揉合到共面向量的判定中，其技巧在于向量的运算，尤其是向量加减法的“转圈”法则运用，即在封闭图形中利用向量的加减法法则．例2．，，，，，，，，为空间的9个点并且，，则下列叙述正确的是 ．①∥ ②∥ ③ ④ ⑤解析：如图，对于①==所以∥，故①正确；对于②因为==，所以∥．故②正确；对于③由上题知=，所以，故③正确；对于④，故④正确．对于⑤，故⑤不正确．所以正确答案应填①②③④．点评：根据题意作出空间图形，据图利用共线的充要条件和空间向量基本定理逐个进行判断．破解此类问题要注意运用“转圈”法则、基本定理等知识和方法，以突破空间向量头绪多而杂的特点和困难．三．运用基本公式化解向量坐标题空间向量坐标运算问题，一般可运用空间向量的加、减、乘、数乘、点积等公式进行化解，必要时可采用方程思想进行求解和突破．如要使一个向量与轴垂直，只要轴所在的向量即可．例3．已知O为空间直角坐标系的原点，A的坐标为，B的坐标为，若，(Ⅰ)计算2+3，3-2，及与所成角的余弦值；(Ⅱ)与可否与z轴垂直，若能，求出和的关系式，若不能请说明理由．解析：(Ⅰ)由于，，所以．，于是2+3==(6，10，-8)+(6，3，24)=(6+6，10+3，-8+24)=(12，13，16)3-2====又∵，∴=。(Ⅱ)与轴垂直等价于，即由数量积得．所以，当和满足时，与轴垂直．点评：类似于计算2+3，3-2，及，只要将、的坐标代入即可．而根据夹角公式求出余弦，再求夹角；两个向量垂直等价于两个向量的数量积为0．四．活用数量积化解立何几何问题立体几何问题往往会涉及到垂直等具体性质的问题，而空间向量的数量积公式、性质等可突破这类问题，这类问题从表面上看是求线段长度或探索点存在问题，但实际上却是充要条件和数量积的充分运用的应用问题．例4．如图，长方体中，，为与的交点，为与的交点，且．(Ⅰ)求：长方体的高．(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，试在对角线上求一点，使得．解析：(Ⅰ)根据空间向量基本定理，选择空间的一组基地为{}，于是，而，∵，∴即由于正方体中有，所以将上面等式展开得到:，∴，所以，所求高．(Ⅱ)如图以为坐标原点建立空间直角坐标系，于是有(0，0，0)，(4，0，0)，(4，4，0)，(2，4，)，在DC1上取一点G，因BB1=，DC=4，设，则，可设的坐标为(0，，y)，于是，，从而，解之得，即所求的点就是．即G为分DC1的比为的点.点评：问题(Ⅰ)的关键是将转化成数量积的关系，即，而问题(Ⅱ)的关键是首先应建立空间直角坐标系，再设出点的坐标，将其坐标转换到方程中去．五．掌握四招显身手空间向量加法、减法、数乘向量的意义及运算律与平面向量类似．这些运算不但适合中学里的代数运算律，而且有很多性质与实数性质完全相同．空间任意两个向量都可以(通过平移)转化为平面向量.不论是先行一步的上海卷还是天津卷，凡涉及空间向量应用于立体几何的问题，几乎都能通过建立空间直角坐标系来解决问题，因为建系后，就可以把几何问题转化为代数问题，这样简化运算，从近几年高考看空间向量的题目几乎都离不开空间向量的坐标运算，因此空间向量坐标运算，特别是涉及到空间向量作为工具的综合应用问题一直是高考的热点内容，预测2014仍是一个热点问题，需要引起重视．下面就通过理解和掌握以上四招突破高考立体几何问题举例透析．例5．（2013年浙江绍兴模拟试题）如图，在中，，，D，E分别为的中点，的延长线交于，现将沿折起，折成二面角，连接（1）求证：平面平面（2）当时，求二面角大小的余弦值.AACBDEFABCDEF分析：这个立体几何综合试题，既考查了线面、面面垂直关系，也考查了二面角的求解方法，对于（1）问的化解一般就可直接采用几何法进行论证；对于（2）问就可从二个策略方向进行思考，从多个角度进行智解，以拓展破解立几综合问题的思路方法，优化立几综合问题破解的思维品质.解析：（1）证明：在中，D为AB的中点，得，又，得是正三角形，又E是CD的中点，得；折起后，，又平面AEF，平面AEF，故平面，又平面CDB，故平面平面（2）（法一：向量坐标运算法）过点A作，垂足H落在FE的延长线上，因为平面，所以，平面CBD以E为原点，EF所在直线为轴，ED所在直线为轴，过E与AH平行的直线为轴建立空间直角坐标系由（1）可知即为所求二面角的平面角，设为，并设，则可得，，ABCABCDEFH因为故二面角大小的余弦值为（法二：向量线性运算法）由（1）可知即为所求二面角的平面角，设为，并设，，所以，，因此，故二面角大小的余弦值为（法三：向量基底运算法）设，，=，而由（1）可知即为所求二面角的平面角，设为，因此，故二面角大小的余弦值为（法四：几何作角法）过点A作，垂足H落在FE的延长线上，因为平面AEF，所以，所以平面CBD，，平面，连接CH并延长交BD的延长线于G，由已知得，即，因此∽，则有，设易得ABABCDEFHG，又因为所求二面角的平面角，故二面角大小的余弦值为ABCDEFHGK（法五：中点构造法）取AD的中点H，BC中点G，ED中点K，设，则∽,又，因由（1）知为所求二面角的平面角；又，因此ABCDEFHGK因而，故二面角大小的余弦值为（法六：平移构造法）因为所求二面角的平面角，ABCDEFG过C作使ABCDEFG，因而，因此故二面角大小的余弦值为。点评：以上一题六解，从向量、几何二个解题突破方向各列举三种方法，既有代数运算的破解技巧，也有几何构图画龙点睛之笔，种种方法体现了代数魅力、彰显出几何神奇；从中不难得出“条条大道通罗马”的解题诀窍，也可深谙“方法总比困难多”的人生信念.空间向量的学习主要包括空间向量和空间向量的运算，一般分四个部分，即概念辨析、线性运算、坐标运算、数量积运算.正确理解和掌握好这四个部分的内容，为高效破解立体几何问题提供了条件和途径.终能使空间向量作为工具得到最大程度的发挥其化解问题的有效性和便捷性.数学课堂变式教学初探绍兴鲁迅高级中学林兰对于数学复习课有两个明显特征：（1）复习内容的综合性，即考查学生对知识的综合、迁移、应用能力。（2）复习课不仅仅需要传承数学知识，更需要渗透数学解题通法(配方法、待定系数法、归纳法、换元法、代入法和特殊值法)和数学思想方法（数形结合思想、函数与方程思想及转化与化归思想）。而变式教学的意义就是要通过对数学问题进行多角度、多方面的变式，有意义地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探索“变”的规律，使学生在处理综合性问题时，能做到提纲挈领，抓住问题主要关键点，掌握通解通法与数学思想方法。1变式教学的操作过程授人以鱼不如授人以渔，所以笔者不仅尝试课堂上的变式教学，更指导学生尝试进行变式，当然这对学生的能力要求是比较高的，同时，需要一个比较长期的过程去培养学生这种变式能力，从而逐步优化学生的数学品质。在实践过程中，笔者主要是分三个层次、三个阶段培养学生的变式能力。（1）潜移默化阶段，在高三的复习阶段中，这是开始阶段也是启蒙阶段，时间会在一个月左右；（2）模仿操作阶段，这是继潜移默化阶段之后，学生开始自己尝试变式，都是需要教师的引导，持续时间也会在一个月左右；（3）提升拔高阶段，这是学生自己开始“走路”阶段，也逐步走向“成熟”，这时学生不仅仅在课堂上接受教师的变式教学，自己的数学学习上也能进行变式，一直到高考，当然对学生今后的学习都会有更好的帮助。1.1潜移默化阶段教师在起初的教学中，特别是高三的复习教学中，就要渗透变式教学，使学生逐渐了解变式教学的概念、了解数学变式的方式，逐步建立起变式教学的框架。如，在函数复习课中，渗透概念性变式。例1.(2000年,上海卷)(Ⅰ)已知对任意恒成立,试求实数的取值范围;(Ⅱ)已知当的值域是,试求实数的值.例2.（07全国卷2）已知函数.(Ⅰ)求曲线在点M（）处的切线方程；变式：求曲线过点M（）的切线方程；从例题我们可以看到，在学生学习过程中，经常会碰到某些概念模糊，概念混淆现象。而要克服这已困难，就需要把两个概念进行有效对比，呈现于课堂之上，让学生在认知上产生一种冲突，因为高三学生已有较好的基础知识，所以教师只要在这些关键的概念上进行点拨，必然能产生事半功倍的效果。而确实我们可以看到，学生确实能对这些模糊概念作一个区分比较。通过对概念的变式，使学生牢固掌握概念，并能灵活应用概念解题，有助于培养学生思维的严密性和准确性。通概念过变式教学，常给人以新鲜感，能唤起学生的好奇心和求知欲，因而能产生主动参与的动力，保持其参与教学过程的兴趣和热情。1.2模仿操作阶段当学生对变式教学有了初步了解之后，教师在平时的课堂中就要逐渐引导学生从变式角度考虑问题，当然首先应该是模仿阶段。要让学生知道进行过程性变式的一般方法：可以对条件和结论作个改变（改一改）；可以对习题所含的知识内容扩大使用范围（扩一扩）；可以从某一原题衍生出许多新结论（变一变）；可以把习题的题设与结论倒过来（倒一倒）；更可以把几个题目组合在一起或把某一题目分解成几个小题（合一合、分一分）等等。例如，在高三复习时让学生做完习题“一动圆M与圆外切，与圆：内切,求动圆圆心M的轨迹方程。”且点评后，教师引导学生从关键条件“外切、内切”来考虑变式，让学生先尝试变式，于是学生会类比联想到动圆与两定圆同时外切、同时内切等情况，从而派生出意想不到的结果：变式1.已知圆与圆,若动圆M同时与圆和圆相外切，则动圆圆心M的轨迹是什么。变式2.已知圆与圆,若动圆M同时与圆和圆相内切，则动圆圆心M的轨迹是什么。变式3.已知圆与圆,若动圆M与圆和圆一个内切，一个外切，则动圆圆心M的轨迹又是什么。变式1是对习题的模仿，目的是让学生熟悉利用定义法求轨迹的过程；变式3的目的是让学生进一步熟悉利用定义法求轨迹的方法，并要进行分步讨论；三个变式的目的都是让学生掌握利用圆锥曲线的定义求轨迹的方法。同时，将常规题变为探索题，是设计变式题的又一途径。由常规题变出来的探索题，对学生来说更具创造性和挑战性。通过过程性变式创设“阶梯式”问题情景，让学生了解知识的发生、发展过程，形成基本技能。通过对命题进行不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变式，以暴露问题的本质特征。过程性变式常常通过一题多问、一题多变、一题多解和多题一解等形式，层层推进，逐步拓展思路，让学生充分理解知识的内涵和外延，了解数学知识的发生，灵活地掌握知识，形成技能。1.3提升拔高阶段当学生对变式教学有了进一步了解之后，学生对此种方式处理数学问题非常感兴趣，所以，在接下来阶段，教师应当鼓励学生积极去搜集、处理数学变式问题，从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探索“变”的规律，使学生在处理综合性问题时，能做到提纲挈领，抓住问题主要关键点，掌握通解通法与数学思想方法，实现“分步到位”、“螺旋上升”的原则，从而增强学生的应变能力和创新意识，优化学生的思维品质，培养发现问题和解决问题的能力和素质。例如，教材中习题：过抛物线的焦点的一条直线和这抛物线相交，两个交点的纵坐标为,求证：。在圆锥曲线复习中，启发学生对此题进行变式，上课时给予适当的发散知道，课后完成，其中某位学生日记中得到下列的结论（有些是该生收集整理）。(1)条件不变，提出新问题：①求证：.②求焦点弦AB的长.=3\*GB3③求.=4\*GB3④求焦点弦AB的中点的轨迹方程.=5\*GB3⑤.=6\*GB3⑥以抛物线的焦点弦为直径的圆与准线相切.(2)改成逆命题形式：一条直线与抛物线相较于A,B，如果坐标满足（或），则这条直线经过抛物线的焦点.(3)类比推广：过点（2p,0）作抛物线的弦交抛物线于A,B两点，求证：.2.实施效果（1）从近两年的实践来看，学生在变式教学的引导下，不仅提高了相应知识点的处理能力，而且更提高了数学思维品质。一方面，整体性地增强了学生的基础知识，另一方面，基础较好的学生数学能力提高更明显些，他们的应用性、灵活性、综合能力都有很大提高。（2）必须明确变式的目的，无论是概念性变式教学，还是过程性变式教学，教师的角色定位必须清楚。变式教学的最终目的是多方面提高学生的数学思维品质，因此教师要思考变式的价值，在课堂教学中教师应该给学生提供更多的思考与合作机会，创造有利于学生思考的宽松的课堂气氛，教师的职责在于指导学生自己尝试着进行变式练习，鼓励学生质疑，尽可能把学习的主动权交给学生，引导学生积极参与。（3）注意变式教学安排的合理性。教学的成功并不取决于应用的数量，而在于应用是否具有典型性。我们提倡展开变式训练，并非所有的教学内容都需要进行变式。要特别注意把握好“度”，要克服不能因材施教，单纯地为了变式而变式，给学生造成过重的学习压力和心理负担。要充分利用教材，精心选择课本上的例、习题。变式教学的起点一般源于课本，做到源于教材而又高于教材，不脱离教材。否则会加重学生学习负担，产生厌学情绪，不利于复习效果的提高。高中班主任德育工作方法创新研究倪海军摘要：伴随着时代的发展，高中班主任的工作手段和工作方法也有了一定的创新。特别是伴随着网络的发展，本文就高中班主任德育工作在开展过程中的创新展开分析。认为高中班主任在开展德育工作的时候，应该结合互联网工具的优势进行更多的创新。文章意在通过讨论，为推进德育工作的深入有效开展做出应有的贡献。关键词：高中班主任德育工作创新研究从当前的现实情况上来看，高中班主任在德育工作当中所要进行创新的点，多数集中在使用互联网工具层面。伴随着技术的进步和人们的，硬件设施的完备，让更多的学生拥有了智能手机，利用智能手机来获取信息和进行交流，已经成为了当今时代高中生在进行人际交往过程当中的主流方式。着眼于这样的现实情况，高中班主任进行德育教育工作，创新的过程当中，注重使用互联网技术，通过互联网产品所能够提供的服务，来丰富自己的教育教学方法和教学手段，加强对学生的管理，帮助学生在进行文化课学习的同时，也得到个人的成长。[1]一、打通网络通路，拓宽信息来源新时代，高中的德育工作存在的第一个机遇就是网络提供了更多的信息来源渠道。这种信息来源渠道的广泛性所带来的利好是多方面的。老师的教学能够有所提升，同时也能够对学生的学习提供一定的助力。应该认识到，德育工作，面向对象是学生，目标是为了帮助学生形成正确的世界观人生观和价值观，在这样的现实条件下，考虑到每一个人的接触习惯都不同学校开展性的德育工作并不能够适应学生的思维方式和知识构成。新时代高中班主任德育工作所需要面临的第一个挑战就是网络信息的庞杂性给工作带来了不可避免的干扰。互联网是一个开放式的沟通和交流互动的平台，学生和老师一定程度上在互联网的世界当中是平等的。通过搜索引擎，各种移动数据终端，学生可以与老师无差别的获取网上的个人信息，大量的信息短时间内涌入学生的头脑当中，就会使得学生缺乏能力和思考的时间，这也导致了大量信息无序的进入学生的头脑，干扰了他们正常的思维能力，引发学生本身价值观的扭曲，给高中的德育工作的开展带来了困难。考虑到这样的现实情况，互联网行业的深入发展就为这样的实际问题的解决提供了一个非常好的解决方法。学生们可以通过在互联网中检索自己所需要的信息作为课堂上的有关内容进行补充，老师可以根据互联网上所获得的信息，来对既有的教案进行个性化的处理，最终，老师和学生能够借助互联网平台各自获取更多的知识和技能，双方共同合作来完成高中班主任德育工作。[2]二、善用网络，拓宽联络方式互联网时代，高中班主任德育工作存在第二个机遇是，网络本身的发展给老师提供更多的工作的方式。传统意义上的高中班主任德育工作，开展的方式是相对比较单一的，都是通过实体课堂上老师的讲授和学生的记录学习来完成的。但是实践操作的层面上来看，这种单一指向信息传播的方式，是不太适合老师与学生之间产生沟通互动行为的。这就意味着，老师在进行知识讲授的过程当中，学生无法及时的提供有效的反馈。德育工作的实际本质要求上来看，老师进行讲授的目的是为了让学生理解，并且遵从老师的理念，这种单一指向性的教学方式，并不能够完整这种教学目标。新时代，高中班主任德育工作存在的第二个挑战就是学生思想的复杂性给教学带来的困境。学生思想的复杂性，一方面是由于网络给学生提供了更多的无效的信息，使得学生在成长的过程当中世界观，人生观和价值观，出现了不可避免的扭曲，与此同时，考虑到互联网的世界当中，人与人之间的沟通和交流是非常便捷，也给很多高中的学生在校期间与校外的社会的接触更加的频繁，学生在这种沟通的过程中，很容易受到校外不良思潮的影响，使得自身的思想观念出现了扭曲的情况，这也会给高中的德育工作带来挑战。考虑到互联网时代学生本身的注意力是相对的的这种碎片化的认知习惯，学生在课堂上集中大块的时间来学习、理解和消化使老师的讲课内容。而使用互联网设备，老师可以使用微课，慕课等等形式，借助互联网，更加及时有效深入的沟通，并且老师的教学也不会被限制在课堂之上，师生可以通过互联网的工具来进行网上平台的交流互动和沟通。这对于高中班主任德育工作的有效执行是十分有帮助的。三、技术支撑，更新考核手段互联网提供的工具也提供了更加丰富的考核手段，伴隨着移动互联终端的深入普及，学生在校园内利用校园的无线网，使用手机和iPad等移动互联网终端来完成学习的活动，已经成为了一个常态化的动作。与学习相对应的考试，能够通过这种方式来完成。这种优势也能够延伸到考试层面，学校可以通过互联网，移动终端指挥和要求学生在网上完成一定的考乡里现实意义上的现场考，网络考核有着非常明显的优势，首先这种方式能够节省学校的教学成本，不必再为了总之考试来耗费更多老师的时间，并且通过网络来完成对学生的考核，也能够使得计分和统计这个过程变得无比的简单，这能够极大的提高学校的教学效率。新时代高中班主任德育工作存在的第三个挑战体现在网络信息的易得性，造成了考核的困难。伴随着互联网技术的不断深入发展，有越来越多的学校为了提升教学效率，开始考虑，并且实行在网上的对学生的考核，而考虑到网络是一个开放的平台，如果缺乏一个固定的时间和地点，去看一个封闭性的环境来对学生进行考，就会给学生的作品创造条件。由于网络环境当中信息的取得是非常容易的。新时代下，网络信息分散了学生的注意力。从当前我国高中班主任德育教育工作的实践来看，德育教育蛮重的方式，主要还是集中在课堂上的讲授，与学生和老师之间的互动，这两个方面。但是随着手机的普及，越来越多的学生在课堂上难以集中注意力，他们使用手机连入移动互联网来娱乐，这导致了学生在课堂上的注意力被极大的分散，影响了学生的学习效果。[3]结语互联网行业的深入发展，互联网产品的市场普及，移动互联终端的广泛应用给当今时代的高中班主任德育教育，重要的，急需解决的课题，在机遇与挑战并存的时代，在高中当中从事私人股教育教学的老师和科研工作者，应该以积极的态度和面貌来应对这种挑战，迎接这些机遇。[4]参考文献[1]郭雪花.显性教育与隐性教育相结合的德育新模式研究.[J].马克思主义与现实，2014，（8）：12-13.[2]董琴.论高中班主任德育管理及其启示.[J].当代世界与社会主义，2015，（5）：14-15.[3]王悦.试论新时代的马克思主义.[J].毛泽东邓小平理论研究，2014，（3）：45-46.[4]高丽娟.高中学生德育实施方法比较研究.[J].马克思主义与现实，2015（8）：78-79.浅谈如何求函数的值域朱国仙在三角函数的最值问题中，求形如的函数的值域是一类常见题型，其解法也很多种.归纳总结有以下几种常见解法：利用函数的有界性

例:求函数的值域.解将原函数去分母整理得：对等号左边变换得：,(其中)由得：，即两边平方得：即解得：.故所求函数值域为.点评：此种解法的步骤是1）去分母整理成一边是的形式;2）将合一变换;3）根据得到一个关于y的绝对值、无理不等式;4）利用两边平方解这个不等式.

二.利用万能公式加判别式解:令，则于是原函数可化为，即，下面再用判别式法求值域：去分母整理得：当时此时符合题意;当时，由得：即，解得：.故所求函数值域为.点评：此种解法的要领是1）利用万能公式统一函数名，通过令来简化书写形式.2）去分母整理成的形式.3）利用判别式法求y的取值范围，这里要注意对二次项系数作分类讨论，只有当时才有判别式可言.

三.解析几何法解:注意到其几何意义是过动点和定点的直线的斜率，记为.而点是椭圆上的点,，故问题可以转化为只要求过定点的直线与椭圆有交点时的斜率的取值范围.过点斜率为的直线的方程为，欲使此直线与椭圆有交点，则只需方程组有解.消整理得：此方程要有解，则需,即整理得：，解得：.故所求函数值域为.点评：此种解法对于本例来说似乎体现不了什么优势，反倒有些牵强，但是对于有些题目，却可以直观求解，比如求函数的值域：解:注意到其几何意义是过动点和定点的直线的斜率，记为.而点P是圆上的点，故问题可以转化为只要求过定点的直线与圆有交点时的斜率的取值范围.观察图形易知临界情况直线与圆相切时斜率，欲使直线与圆有交点,则需,故所求函数值域为.点评：此种解法的要领是1）根据过两点的直线的斜率公式确定函数的几何意义;2）把握过定点的直线及动点轨迹;3）求直线与圆（或圆锥曲线）有交点时的斜率的取值范围，问题较简单时可直接观察图形得到. 以上是求形如的函数的值域的几种常见解法，事实上，此类问题还有统一的代数公式可以遵循.

定理:若对于实数有，则.(*)证明由题设得：，于是根据著名的柯西不等式，有：故，整理得：依照上述定理，求形如的函数的值域均有统一的代数解法.比如上文求函数的值域：套用公式(*)得：即，解得：.故所求函数值域为.

点评：当选择或填空题中碰到此类问题，不妨采用上述定理求解，直截了当,易于掌握.当然首先应当充分熟悉定理的条件和结论的结构特征，尤其要认准其中的以便将有关数据对号入座.值得一提的是对于函数,同样有.抽象函数的解题策略唐晓霞抽象函数通常是指没有给出具体的函数解析式，只给出了一些其他条件（如：定义域，经过的特殊点，解析递推式，部分图象特征等）的一类函数.它是高中数学函数部分的热点和难点,也是大学数学的一个衔接点.这类问题考查学生对数学符号语言的理解和接受能力,对一般和特殊关系的认知能力,以及对数学知识的综合运用能力.一般题目新颖,难度较大,所以学生普遍感到束手无策,力不从心.下面我们通过例题全面探讨抽象函数要考查的内容及其常用解法.一．抽象函数常用的解题方法1．赋值法例1、设,函数的定义域为，且，当时，则（）A.B.C.1D.2分析：应该是题目的突破口,我们不妨令试试看,其实照目前的形势看,我们也只有可以代,代了后就会有新的成员加入了,增加了题目进行下去的可行性.解析：令得，令得，令得，令得，.答案为B.点评:该题目是赋值法的典型代表,整个解题过程就是不断赋值的过程,赋值达到4次之多,从一个得到令一个,两式相等就能解出所需答案.类题练1、已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是()A.0B.C.1D.解析：若≠0，则有，取，则有：∵是偶函数，则由此得,所以于是，答案为A.2．图象法例2、若直线是函数的图象的一条对称轴,则的图象关于直线__________对称分析：弄清楚到的图象变换过程应该是解决本道题目的关键.解析：与关于y轴对称,关于对称，又向右平移个单位得到的图象,关于对称.答案为点评：在图象法解抽象函数的有关问题的时候,需要对函数的一些对称变换,平移变换了如指掌.我们归纳如下与关于轴对称.与关于轴对称.与关于原点对称.向右平移个单位得到向左平移个单位得到类题练2、已知定义域为R的函数在区间上为减函数，且函数为偶函数，则（）A.B.C.D.解析：为偶函数,关于轴对称.又向右平移8个单位得到,关于对称.而函数在区间上为减函数,在上是增函数.,答案为D.3．特例法例3、已知函数，对任意非零实数，都有，且不恒等于0，试判断为的奇偶性.分析：从题设条件联想函数模型,注意到,这正好是解决问题的突破口.解析：取,得又取,得.再取,有又不恒等于0,为偶函数.点评：中学抽象函数往往有其初等函数背景，当我们拿这一个抽象函数的题目无从着手的时候，我们可以考虑我们学过的常见函数，看看能不能套用，或者能不能从中得到启发，下面把我们常见的函数归纳一下有：(1)抽象函数可由一个特殊函数正比例函数抽象而成。(2)抽象函数可由一个特殊函数幂函数抽象而成的。(3)抽象函数可由一个特殊函数指数函数抽象而成的。(4)抽象函数可由一个特殊函数对数函数抽象而成的。(5)抽象函数可由一个特殊函数抽象而成的。(6)抽象函数可由一个特殊函数正切函数抽象而成的。类题练2、定义在R上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期.若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为A.0 B.1 C.3 D.5解析：可以令,它的最小正周期是,所以可以考虑在区间上的根的个数,可以得到有5个,就马上可以选答案为D.当然我们也可以从这里得到启发加以严格证明.是R上的奇函数,.令,可以得到,.又周期函数，是它的一个正周期.,令,可以得到.而.再在式子中令,得到.,综上我们可以得到可以有0,T,-T,,五个根.二．抽象函数常用的解题模型前面我们探讨了抽象函数常用的解题办法,但是抽象函数的题目一般比较难,光是用一种办法往往无法解决,所以我们要把多种方法结合起来灵活运用.下面我们再通过几个比较典型的例题来探讨抽象函数的常用解题模型.我们会发现难度较大的抽象函数题目一般集定义域,值域,单调性,奇偶性,周期性,对称性于一体.例4、函数若与都是奇函数，则()w.w.w.(A)是偶函数(B)是奇函数(C)(D)是奇函数分析：通过奇函数的定义得到两个表达式,找到内在的对称性和周期性,便可以找到正确答案,题目比较综合,难度比较大.解析与都是奇函数，，函数关于点，及点对称，函数是周期的周期函数.，，即是奇函数。故选D例5、定义在R上的偶函数满足:,且在上是增函数,下面关于的判断:是周期函数;;在上是减函数;在上是减函数.其中正确的判断是_____________________.(把你认为正确的判断都填上)分析：从着手找其中的对称性,周期性和单调性,并画草图分析.解析：xy135-1-3的周期为4.函数是定义在R上的偶函数,关于y轴对称,令,可得关于点对称.还有在上是增函数,所以可以画出草图为:xy135-1-3由图可判断得(1),(2)(3)正确.例6、已知函数是定义在R上的奇函数,且,在上是增函数,则下列结论:若,且,则;若,且,则;若方程在内恰有四个不同的根,则.其中正确的有()A.0个 B.1 个 C.2个 D.3个分析：从着手找其中的对称性,周期性和单调性,并画草图分析.解析：的周期为8.函数是定义在R上的奇函数,关于原点对称,,令,可得,关于对称.还有在上是增函数,所以可以画出草图为:xxy26-2-6048-4-8(1)若,且,可得到关于对称,由图可知,,所以,故(1)正确(2),且,可得到的距离比到的距离要远,由图象可得,故(2)正确.(3)如图所示,若,则两个根关于对称,两个根关于对称,所以有.若,则两个根关于对称,两个根关于对称,所以有.故(3)也正确.本题答案为D.点评：在近几年的高考试卷中,都能找到与这三道题类似的题型,这些题目类型需要我们通过一些代数恒等变换得到一些常用的结论，并加以灵活运用,但是如果我们能在形象的理解的基础上加以记忆,那就会有事半功倍的效果。我们归纳如下,如函数的对称性有：(1)若函数定义域为，且满足条件：，则函数的图象关于直线对称。特别地，若函数定义域为，且满足（或）则函数的图象关于直线对称.(2)若函数定义域为，且满足条件：为常数），则函数的图象关于直线对称。特别地，若函数定义域为，且满足（为常数）则函数的图象关于点对称.(3)若函数定义域为，且满足条件：与，两函数图象关于点对称。特别地，若函数与的图象关于点对称.函数的周期性也有:(1)若函数定义域为，且满足条件：，则函数是以为周期的周期函数.(2)若函数定义域为，且满足条件：，则函数是以为周期的周期函数.(3)若函数定义域为，且满足条件：，则函数是以为周期的周期函数.(4)若函数的图象关于直线与()对称,则函数是以为周期的周期函数.我们通过大量例题的讲解，是希望引导学生“在抽象中寻找具体”，从而克服他们的害怕心理，调动他们的积极性，发挥他们的主观能动性，从而去完成后半部分的内容“从具体中进行抽象”.所以，虽然抽象函数问题的求解用常规方法难以奏效，但我们如果能通过对题目的信息分析与研究，采用特殊的方法和手段，我们还是可以找出一条路来的。我们希望能教会学生“在抽象中寻找具体，在具体中进行抽象”.《直线的一般式方程》教学反思绍兴市阳明中学裘园园在新课程背景下，如何有效利用课堂教学时间，如何尽可能地提高学生的学习兴趣，提高学生在课堂上40分钟的学习效率，是一个很重要的课题。要上好一节课，首先要对新课标和新教材有整体的把握和认识，这样才能将知识系统化，注意知识的前后联系，形成知识框架；其次要了解学生的现状和认知结构，了解学生此阶段的知识水平，以便因材施教；再次要处理好课堂教学中教师的教和学生的学的关系。基于这样的认识，我在教学公开课《直线的一般式方程》中做到了以下几点：一、明确的教学目标教学目标分为三大领域，即认知领域、情感领域和动作技能领域。因此，我在备这节课时围绕这些目标选择教学的策略、方法和媒体，把内容进行必要的重组。备课时依据教材，但又不拘泥于教材，灵活运用教材。通过师傅的帮忙，以及几次试讲，在教学中基本能使学生在知识、能力、技能、心理、思想品德等方面达到预定的目标，以提高学生的综合素质。二、突出重点、化解难点每一堂课都要有教学重点，而我本节课的教学是围绕着“直线一般式方程，直线一般式与点斜式、斜截式、两点式和截距式互化”这个教学重点来逐步展开的。通过声音、手势、板书等变化或应用模型，投影仪等直观教具，刺激学生的大脑，使学生兴奋起来，所学内容也会在大脑中刻下深刻的印象，激发学生的学习兴趣，提高学生对新知识的接受能力。尤其是在选择例题时，例题是呈阶梯式展现。上完本堂课后，我觉得如果在做完例题后，还能再针对本节的知识内容选择相关题目，多涉及几种题型也许能够更大程度拓展他们的能力。三、善于应用现代化教学手段在新课标和新教材的背景下，现代化的多媒体教学手段显得尤为重要和迫切。现代化教学手段的显著特点：一是能有效地增大每一堂课的课容量，从而把原来40分钟的内容在35分钟中就加以解决；二是减轻教师板书的工作量，使教师能有精力讲深讲透所举例子，提高讲解效率；三是直观性强，容易激发学生的学习兴趣，有利于提高学生的学习主动性；四是有利于对整堂课所学内容进行回顾和小结。在课堂教学结束时，教师引导学生总结本堂课的内容，学习的重点和难点。同时也通过投影仪，同步地将内容在瞬间跃然“幕”上，使学生进一步理解和掌握本堂课的内容。在这堂课中，我的课件做的还不够理想，有的幻灯片停留的时间不够长，以至于学生来不及做笔记。同时也了解到：可以将两张幻灯片整合成一张，使时间有所缓冲。四、根据具体内容，选择了恰当的教学方法每一堂课都有规定的教学任务和目标要求。所谓“教学有法，但无定法”，教师要能随着教学内容的变化，教学对象的变化，教学设备的变化，灵活应用教学方法。数学教学的方法很多，对于新授课，我们往往采用讲授法来向学生传授新知识。比如在立体几何中，我们还时常穿插演示法，来向学生展示几何模型，或者验证几何结论。此外，我们还可以结合课堂内容，灵活采用谈话、读书指导、作业、练习等多种教学方法。在一堂课上，有时要同时使用多种教学方法。“教无定法，贵要得法”，只要能激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性，有助于学生思维能力的培养，有利于所学知识的掌握和运用，都是好的教学方法。五、关爱学生，及时鼓励高中新课程的宗旨是着眼于学生的发展。对学生在课堂上的表现，要及时加以总结，适当给予鼓励，并处理好课堂的偶发事件，及时调整课堂教学。在教学过程中，教师要随时了解学生对所讲内容的掌握情况。如在讲完一个概念后，让学生复述；讲完一个例题后，将解答擦掉，请中等水平学生上台板演。有时，对于基础差的学生，可以对他们多提问，让他们有较多的锻炼机会，同时教师根据学生的表现，及时进行鼓励，培养他们的自信心，让他们能热爱数学，学习数学。在本堂课中，探究部分如果可以多提问几个学生，谈谈他们的看法，也许效果会更好。六、充分发挥学生主体作用，调动学生的学习积极性学生是学习的主体，教师要围绕着学生展开教学。在教学过程中，自始至终让学生唱主角，使学生变被动学习为主动学习，让学生成为学习的主人，教师成为学习的领路人。七、渗透教学思想方法，培养综合运用能力常用的数学思想方法有：转化的思想，类比归纳与类比联想的思想，分类讨论的思想，数形结合的思想以及配方法、换元法、待定系数法、反证法等。这些基本思想和方法分散地渗透在中学数学教材的各章节之中。在平时的教学中，教师要在传授基础知识的同时，有意识地、恰当地讲解与渗透基本数学思想和方法，帮助学生掌握科学的方法，从而达到传授知识，培养能力的目的，只有这样。学生才能灵活运用和综合运用所学的知识。而我本堂课主要渗透了数形结合的思想，分类讨论的思想。我感觉自己在教学中不足的有：（1）教师应该如何准确的提出问题在教学中，我提出问题，一般式方程的定义中你认为应注意哪些问题？这个问题问的不够具体，学生不知道给如何回答。其实这个问题，我也曾考虑过该如何问，只是没有找到更合适的提问方法，能力有待加强。（2）教师如何把握“收”与“放”的问题何时放手让学生思考，何时教师引导学生，何时教师讲授，这是个值得思考的问题。（3）教师要点拨到位

在学生出现问题后，教师要及时点评加以总结，要重视思维的提升，提高学生的数学能力和素质。课堂教学是实施高中新课程教学的主阵地，也是对学生进行思想品德教育和素质教育的主渠道。课堂教学不但要加强双基而且要提高智力，发展学生的智力，而且要发展学生的创造力；不但要让学生学会，而且要让学生会学，特别是自学。尤其是在课堂上，不但要发展学生的智力因素，而且要提高学生课堂40分钟的学习效率，在有限的时间里，出色地完成教学任务。总之，在新课程背景下的数学课堂教学中，要提高学生在课堂40分钟的学习效率，要提高教学质量，我们就应该多思考、多准备，充分做到用教材、备学生、备教法，提高自身的教学机智，发挥自身的主导作用。在新课程理念下提高课堂教学有效性的思考谢幼红新的课程标准要求：以学生的发展为本，尊重学生，关注学生，全面发展学生的个性，培养出具有创新精神和实践能力的接班人。而实现这一目标，就需要提高课堂教学效率，减轻学生的负担。这就给我们教师出了一个难题：如何在短短40分钟的课堂上实现对学生数学技能，数学素养的培养？即如何提高数学课堂教学的有效性，让数学课堂焕发出强大的生命活力？这是一个令人深思的问题。下面就提高课堂教学的有效性，结合我的新课程教学实践谈谈个人的一些思考。一、确立恰当的教学目标是提高课堂有效性的前提一节课教学目标的确立，体现了教师对教材的理解和对自己教学行为的选择，可以这样说，教师的一切活动都是围绕教学目标进行的。在新课程理念下，我对教学目标的确立，在关注知识与技能目标的同时，更关注学生的情感与态度目标，在课堂教学中通过学生学习达到什么样的情感目标在许多教学设计中都有所体现。例如在教学《概率的意义》一课时，在知识与技能上要求学生能了解日常生活中的概率问题，会用概率解释现实生活中的简单概率问题。在情感态度与价值观上则希望学生能在解释的基础上实现理解，能够明白类似于“买彩票中五百万”的可能性趋近于“天上掉馅饼”的原因。二、合理的教学情境是提高教学有效性的基础创设问题情境是《数学课程标准》中的一个新亮点。它使枯燥、抽象的数学知识更贴近学生的社会生活，符合学生的认知经验，使学生在生动有趣的情境中获得基本的数学知识和技能，体现数学学习的价值。在一节课中，一个好的教学情境能够激发学生的好奇心，激起学生进行探究的欲望，会让学生久久回味。然而创设的情境必须为我们的数学教学服务，如果只是为了引起学生兴趣而牵强附会的话，那么情境就失去了其自身应有的价值，同时也不利于学生对知识的掌握。例如在教学《独立重复试验和二项分布》一课时，我们经常采用那个经典典故“三个臭皮匠顶个诸葛亮”作为新课的引入，但是仔细分析一下，这节课的首要任务是要学生掌握什么是“独立重复试验”，而要把三个臭皮匠解决问题的事件与独立重复试验结合起来，其实是需要诸多前提的，比如三个人的成功概率都要一样。即使做到这点，还有学生会纳闷“不是要求在同样条件下吗？人都不一样，还能称相同条件的？”所以个人觉得这个经典引入还不如放到《事件的相互独立性》这节的第二课时中，对推广到三个事件的相互独立倒是一个不错的例题。三、具有导向性的提问是提高教学有效性的途径课堂提问的有效性是指教师根据课堂教学的目标和内容，在课堂教学中创设良好的教育环境和氛围，精心设置问题情景，提问有计划性、针对性、启发性，能激发学生主动参与的欲望，有助于进一步培养学生创造性思维。例如在教学《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》一课时，我在课堂上举了这样一个例子：（1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法?（2）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？在让学生回答第一个小题时，我的提示问题是：这一小题要完成怎样一件事？用分步还是分类？一个学生根据提示回答：“要完成的一件事是学生选项目，一共有34=81种。”好了，接下来的一个小题马上就有人说：“要完成的事情是选冠军，方法数也是81种。”事实上是我的提问缺少了导向性，如果我能在提示中这样问：这一小题要完成一件什么事？怎样算完成这件事？用分步还是分类？这样问的话，学生在分析第二个小题时就会发现要完成这件事必须是三项冠军人选全部落实，即“一件事”应当是“冠军选学生”，结果为43=64四、适度的合作探究是提高教学有效性的保障合作精神是时代对人的基本要求，真实生活中的任何一件事情、任何一项任务，都必须通过人与人之间的交往、合作才能得以完成，得以实现。新课程为了强化这种精神，在教材的很多处都设立了“探究”一栏。但是学生的合作学习必须建立在个体“合作需要”的基点上方可有效。即个体在问题解决中，陷于苦求不得之处，再开始小组合作学习，才有价值，有成效。例如在教学《平面向量的正交分解及坐标表示和运算》一课时，最后有个探究“当时，点P的坐标是什么？”这个关于定比分点的问题在原教材中整整占了一课时，我处理的方法就是放到课后作为思考题，第二天的课上再作为回顾提升。五、促使学生积极参与学习是课堂教学永恒的追求，是有效教学的核心没有参与就没有教学，因而在教学中必须充分调动学生学习的积极性、主动性和创造性，但是现实教学中我们往往会遇到一种情况，就是师动生不动，常见的现象就是教师在台上讲得热火朝天，学生却在下面昏昏欲睡，提不起兴趣。比如讲授《两个变量的线性相关》这一课,我就碰到了这样的问题我在第一个班上课时,采取的是教材例题和教材介绍概念的顺序,结果因为是纯概念介绍,学生的兴趣不大,我好象是在唱独角戏一样,课堂氛围非常沉闷。后来的一个班教学过程中，我没有采用课本例题，而是直接就着引入关于“数学成绩和物理成绩的关系”这个问题，随机抽了十位同学，让他们把各自的月考数学和物理成绩写在黑板上，然后根据回归分析的过程进行教学，结果学生的兴致非常高，不仅积极参与回归直线方程的推导，而且还对这两个变量的相关性进行了分析讨论，互动参与的效果非常显著，课后作业也体现出后一个班情况比较好。六、合理整合教学方法是提高教学有效性的保证传统的数学课堂以教师的“精讲”为主，新课改背景下的数学课堂则更加关注学生主体的活动。而在教学实践中，教师的讲代替不了学生的活动，同样学生的活动如果没有教师的指导和提升，活动的效果也会大打折扣，只有合理整合两种教学方法，才能提高课堂教学的有效性。因此在课堂中，教师必须留给学生活动的时间和思维的空间，同时还需精心设计学生活动前的指导，并根据学生的活动进行合理地概括，以提升学生的思维能力，从而达到促进学生发展的目的。以上仅仅是我通过实践后认为高中数学教学有效教学中的应该注意的几个环节，教师应用有效教学策略的过程实际上是一个创造性的过程，是一个研究的过程，也是教师自身发展的最好的基本的渠道。面对新课改，我们教师要尽最大可能采用效果最好、效率最高的教学方法，让课堂的每一分钟都体现出价值！一堂高三二轮复习课的启示陈瑜特级教师张惠民老师上的一节高三二轮复习课给我们留下了深刻的印象,大家认为张老师的课堂彰显了“以人为本”的教育理念，凸显了“发展学生数学思维”的学科本质，张老师的课堂能以学生为主体,教师为指引，探究为主线，是目前高三复习课需要的一种高效课型。为此将本节教学过程整理如下,并附上个人的一点思考，不当之处请予以指正。1、课堂教学过程简录1.1、情境创设,激活思维例（2009年浙江数学高考调测试题）动直线和抛物线相交于点A、B，且这两点位于直线两侧。问在直线上否存在定点M，使被直线平分？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。学生1：将几何条件被直线平分代数化得，结合下面的运算:设，（1）由得，，所以.（2）把（2）中的代入（1）中化简的结果:从而得，解得。教师：我解此题时感到有两点怪怪的:1）两个未知数、且只有一个方程，居然解出了。2）为什么要将点M限定到直线上呢？其他可否？试探究有没有更一般性的结论?此话一出,整个课堂顿时活跃起来,同学们积极思维,编出了许多好题,并给出了解答。1．2：自主编题，拓展思维学生2改编1：动直线和抛物线相交于点A、B，问是否存在定点M，使恒成立？若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，说明理由。学生2：由及上面同学的解法得，其中为主变量，和为待定的辅元，整理得中．而一般地：所以，解得：。教师:你改编得不错，给其他同学树立了好的榜样，还有其他解法吗？学生3提出自己的想法：对任何均成立，那么对特殊的理应成立，当时，，当时，，两式相减得，代入解。将教师追问:解好了吗？学生3:还要代入验证是否成立。教师:1:注意点：所取的要使2:难点突破：特值引路，代入验证，可化难为易。3:改编1中是为零的常数，常数可以探究吗？你能改编该题吗?学生4改编2：动直线和抛物线相交于点A、B，问是否存在定点M，使为确定的常数？若存在，求出所有点M的坐标及相应的常数；若不存在，说明理由。教师:你们觉得这位同学编的问题如何?学生:很有创意。师生共同分析：为常数，即为常数。难点突破：（1）表达式中，为主元，和为待定的辅元。（2）一般地：函数为常数。所以,解得，此时。即存在定点，使为常数0。学生5改编3:动直线和抛物线相交于点A、B，问是否存在定点M，使为确定的常数？若存在，求出所有点M的坐标及相应的常数；若不存在，说明理由。师生共同分析:由及得则,(1)设,则===只能恒为0即恒为0由(1)得:=恒为0即:=0,=0即:即存在定点:使=01．3:体验过程:完善学生认知,发展学生能力学生6:想不到我也会编题。学生7;我掌握了探究数学问题的一些方法。教师:请同学们将这节课做出归纳与总结.做下面练习并请同学编几道变式题目：练习:过双曲线右焦点的直线的动直线与双曲线相交于两点．在轴上是否存在定点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．1．4:课后反馈:学生不但一题多解,而且改编为多道有价值的题目并给出了解答:改编1：可能是出于控制试题难度上的考虑，考题中将点的探究范围限定在轴上．那么平面直角坐标系中，使为常数的点唯一吗？分析：设点的坐标为一般形式，则有为常数）．上式对任何为常数，从而求得唯一的定点，使为常数。改编2：过双曲线右焦点的直线的动直线与双曲线相交于两点．在轴上是否存在定点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说