2022-2023学年北京市西城区某学校九年级上学期期中考试数学试卷含详解

北京市西城外国语学校2022-2023学年度第一学期

初三数学期中试卷

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

1.抛物线'="一2『+i的顶点坐标是（）

A.（2,1）B.（-2,1）C.（-2,-1）D.（1,

2）

2.下列各曲线是在平面直角坐标系X。），中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图

形的是（）

窄,

1,

3.将抛物线丁=耳一向下平移1个单位长度,得到的抛物线是（）

A.y-—x2-1B.y=-x2+1C.y=1）D.

2-2

y=*+i）2

4如图,将△ABC绕点A逆时针旋转100°,得到若点。在线段8C的延长线

上，则NB的大小为（）

A

BCD

A.30°B.40°C.50°D.60°

5.用配方法解方程V+2x—3=0，下列变形正确是()

A.(X+1)2=-2B.(X+1)2=2C.(x+1)2=-4D.

（x+1）-=4

6.方程*2一3%+1=0的根的情况是（）

A.有两个相等实数根B.有两个不相等实数根C.没有实数根D.无法判

断

7.生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响.据统计，2017年全国生活

垃圾无害化处理能力约为2.5亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2019年提升到约3.2

亿吨.如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为x,那么根据题意可

以列方程为（）

A.2.5（l+x）=3.2B,2.5（l+2x）=3.2

C2.5（1+x）2=3.2D.2.5（1-Jr）?=3.2

8.抛物线y=o?+"+c的顶点为A（2,m）,且经过点3（5,0）,其部分图象如图所示.对

于此抛物线有如下四个结论：①ac<0；②a—Z?+c>0；③机+9a=0；④若此抛物线

经过点。（，,〃），则r+4一定是方程办版+c=〃的一个根.其中所有正确结论的序号

是（）

A.①②B.①③C.③④D.①④

二、填空题（本题共16分，每小题2分.）

9.写出一个二次函数，使得它有最小值，这个二次函数的解析式可以是.

10.在平面直角坐标系xOy中，点（3,—7）关于原点的对称点坐标为.

11.已知-1是关于X的一元二次方程f+"一3=0的一个根，则％=

12.若点A（—l,y）,8（2,必）在抛物线>=2/上，则M，力的大小关系为：X

%（填，"=”或）.

13.如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB可以看作是将AOCE绕某个点旋转而得到,

则这个点的坐标是.

14.二次函数y=<2?+"+c与一次函数％=如+〃的图象如图所示，则满足

ax2+bx+c>mx+n的x的取值范围是.

15.商店销售一种进价为20元/个的帽子，经调查发现，该种帽子每天的销售量印（个）

与销售单价x（元）满足vv=-2x+80（20WxW40）,设销售这种帽子每天的利润为V

（元），则y与x之间的函数关系式为；当销售单价定为元时，每天的利润最

大.

16.如图1,在AABC中，AB>AC,。是边8c上的动点.设8,。两点之间的距离为x,

A,。两点之间的距离为y,表示y与x的函数关系的图象如图2所示.线段AC的长为

,线段AB的长为.

三、解答题（本题共68分）

17.解方程：2_?一9*+10=0.

18.已知%2+2%-3=0，求代数式x(x+2)+(x+iy的值.

19.已知二次函数yn—f+bx+c的图象如图所示，解决下列问题:

(1)关于x的一元二次方程一/+法+c=0的解为；

(2)求此抛物线的解析式.

(3)若直线y=Z与抛物线没有交点，直接写出人的取值范围.

20.如图，。是等边三角形A8C内一点，将线段绕点A顺时针旋转60。，得到线段

AE，连接CO，BE.

(1)求证：NA£B=NADC；

(2)连接DE,若/4Z)C=110。，求NBED的度数.

21.如图，在平面直角坐标系xOy中，AABC三个顶点的坐标分别为4(-2,-1),8(T,1),

。(一3,3),AA3C关于原点。对称的图形是M4cL

(1)画出A44G；

(2)BC与的位置关系是；

(3)若点P(“,3是AABC一边上的任意一点，则点P经过上述变换后的对应点耳的坐标

可表示为.

1,3

22.对于抛物线^二//一X-/.

(1)它与工轴交点的坐标为,与y轴交点的坐标为,顶点坐标为：

(2)在坐标系中利用描点法画出此抛物线.

X

y

(3)当0<x<4时，结合函数图像，直接写出y的取值范围.

23.如图，ZxABC内接于。0,高经过圆心0.

（1）求证：AB=AC；

（2）若BC=8,。。的半径为5,求AABC的面积.

24.已知关于x的一元二次方程公―（左+5卜+6+2左=0.

（1）求证：此方程总有两个实数根；

（2）若此方程恰有一个根小于T,求攵的取值范围.

25.小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况.他以水平方向为x

轴方向，1m为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从y轴上的A点出手,

运动路径可看作抛物线，在8点处达到最高位置，落在x轴上的点。处.小明某次试投时

的数据如图所示.

(1)在图中画出铅球运动路径的示意图；

(2)根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式；

(3)若铅球投掷距离(铅球落地点。与出手点A的水平距离。。的长度)不小于10m,

成绩为优秀.请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀.

26.在平面直角坐标系X0V中，抛物线>="2-2依+2(«<0)与y轴交于点A.

(1)求点A的坐标及抛物线的对称轴；

(2)当0WXW3时，，的最大值是3,求当0<xW3时，的最小值；

⑶抛物线上两点尸(玉,凹)，。(々,必)，若对于，<石<r+l，r+2<w<f+3,都

有yw%，直接写出f的取值的范围.

27.点C为线段上一点，以AC为斜边作等腰RWLDC,连接BD，在八钻。外

侧，以8。为斜边作等腰RtABEZ),连接EC.

(1)如图，当N£>84=30°时，求证：AC=BD；

(2)如图，当0°</£>区4<45°时，判断线段EC与£»的数量关系，并说明理由.

28.在平面直角坐标系xOy中，旋转角a满足0。4。<180°,对图形M与图形N给出如

下定义：将图形M绕原点逆时针旋转a得到图形AT.P为图形M'上任意一点，。为图

形N上的任意一点，称PQ长度的最小值为图形M与图形N的“转后距”.已知点

点5(4,0),点C(2,0).

(1)当a=90°时，记线段04图形M.

①画出图形"'；

②若点C为图形N,则“转后距”为；

③若线段AC为图形N,求“转后距”；

(2)已知点P。,。)，点。t9,记线段A8为图形M,线段PQ为图形M对

22J

任意旋转角a,“转后距”大于1,直接写出f的取值范围.

北京市西城外国语学校2022-2023学年度第一学期

初三数学期中试卷

一、选择题(本题共16分，每小题2分)

1.抛物线'=*一2『+i的顶点坐标是()

A.(2,1)B.(-2,1)C.(-2,-1)D.(1,

2)

【答案】A

【分析】根据抛物线的顶点式，即可得到抛物线的顶点坐标.

【详解】解：•••抛物线的解析式为y=(x-2)2+l,

.•.顶点坐标是(2,1),

故选：A.

【点睛】本题考查的是二次函数的性质，二次函数的顶点式为y=。(》-62+4,则抛物

线的对称轴为直线％=攵，顶点坐标为(左，h).

2.下列各曲线是在平面直角坐标系xOy中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图

【分析】中心对称图形的定义：如果把一个图形绕着一个定点旋转180。后，与初始图形重

合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；根据定义对四个选项进行判断

即可.

【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B、是旋转对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C、是中心对称图形，故此选项符合题意；

D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意.

故选c.

【点睛】此题考查了中心对称图形的概念，熟练掌握中心对称图形的概念是解决此题的关

键.

3.将抛物线丁=上％2向下平移1个单位长度，得到的抛物线是（）

1112

A.y=——1B.y=—x2+1C.y=—（%—1）D.

222

y=g（x+i『

【答案】A

【分析】根据平移的规律：左加右减，上加下减，求出得到的抛物线的解析式即可.

【详解】解：抛物线丁=；/向下平移1个单位长度后得到新抛物线的解析式为：

y--x2-1.

2

故选A.

【点睛】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下

减.并用规律求函数解析式.

4.如图，将△4BC绕点A逆时针旋转100°,得到△4DE.若点。在线段BC的延长线

上，则的大小为（）

【答案】B

【详解】解：•••△AOE是由△4BC绕点4旋转100。得到的,

AZBAD=\00°,AD=AB,

•.•点。在8c的延长线上,

./B_/A/)8」80°T00°-4()。

•・Z.D—/\UD---------------------------.

2

故选：B.

【点睛】本题主要考查了旋转的性质和等腰三角形的性质，解题中只要抓住旋转角

ZBAD=\00°,对应边A8=A。及点。在2c的延长线上这些条件，就可利用等腰三角形

中：两底角相等求得NB的度数了.

5.用配方法解方程丁+2彳一3=0,下列变形正确的是()

A.(x+l)2=-2B.(X+1)2=2C.(X+1)2=-4D.

(x+1)--4

【答案】D

【分析】把常数项移到等号的右边，两边同时加上一次项系数一半的平方，再依据完全平

方公式将左边写成完全平方式即可.

【详解】解：；X2+2X-3=0，

・"+2%=3，

x2+2x+l=3+1,

B|J(X+1)2=4.

故选D.

【点睛】本题考查了解一元二次方程一一配方法.熟练掌握用配方法解一元二次方程是解

题的关键.

6.方程产—3%+1=0的根的情况是()

A.有两个相等实数根B.有两个不相等实数根C.没有实数根D.无法判

断

【答案】B

【分析】把。=1,b=-3,c=l代入进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情

况.

【详解】解：；a=l,b=-3,c=l,

△=按-4a=(-3)2-4xlxl=5>0,

所以方程有两个不相等的实数根.

故选：B.

【点睛】本题考查了一元二次方程，*+6x+c=0(存0,a,b,c为常数)的根的判别式

△»2_4时.当时，方程有两个不相等的实数根；当△=()时，方程有两个相等的实数

根；当时，方程没有实数根.

7.生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响.据统计，2017年全国生活

垃圾无害化处理能力约为2.5亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2019年提升到约3.2

亿吨.如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为x,那么根据题意可

以列方程为()

A.2.5(1+x)=3.2B.2.5(l+2x)=3.2

C.2.5(l+x)2=3.2D.2.5(1-x)2=3.2

【答案】c

【分析】设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为X,根据等量关系，列

出方程即可.

【详解】解：设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为x,

由题意得：2.5（l+x『=3.2,

故选C.

【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，掌握增长率模型。（1±%）2=8，是解题

的关键.

8.抛物线,=办2+辰+0的顶点为4（2,m），且经过点3（5,0）,其部分图象如图所示.对

于此抛物线有如下四个结论：①ac<0；②a-Z?+c>0；③机+9a=0；④若此抛物线

经过点C（r,〃），则r+4一定是方程⑪2+灰+c=〃的一个根.其中所有正确结论的序号

A.①②B.①③C.③④D.①④

【答案】B

【分析】利由抛物线的开口方向和位置可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线

与x轴的一个交点坐标为（-1,0）,代入解析式则可对②进行判断；由抛物线的顶点坐标

以及对称轴可对③进行判断；抛物线的对称性得出点的对称点是C（4T,〃），则

可对④进行判断.

【详解】解：•••抛物线开口向下，

•・•抛物线与y轴交于正半轴，

Ac>0,

ac<0,故①正确；

・・・抛物线y=以？+云+c的顶点为A（2,m）,且经过点B（5,0）,

工抛物线y=以2+笈+。与不轴的另一个交点坐标为（-1,o）,

a-b+c=O^故②错误；

,:抛物线的对称轴为直线42,

bc口。

=

----=2,即：b-4a9

2a

：Q-〃+C=O,

/.c=h-a=-5a,

・・•顶点A（2,〃z）,

.4ac-b24a・（-5w）-（-4a\

・・--------=m,即Hn：\\m,

4a4a

.,.m--9a,即：m+9a=0,故③正确；

•.•若此抛物线经过点C（r,/i）,抛物线的对称轴为直线x=2,

.•.此抛物线经过点C（4T,〃），

ci（4—/）-+人（4—f）+c=〃，

4-f一定是方程or2+力x+c=〃的一个根，故④错误.

故选B.

【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数）=以2+法+c（4翔），二次

项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时:抛物

线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与人同号时（即

曲>0）,对称轴在y轴左；当〃与6异号时（即4<0）,对称轴在y轴右；常数项c决定

抛物线与y轴交点位置.

二、填空题（本题共16分，每小题2分.）

9.写出一个二次函数，使得它有最小值，这个二次函数的解析式可以是.

【答案】y=f+2（答案不唯一）

【分析】根据二次函数的性质即可得.

【详解】由题意，二次函数有最小值，说明函数开口向上，这个二次函数的解析式可以是

y-X2+2,

故答案为：y=x2+2（答案不唯一）.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键.

10.在平面直角坐标系xQy中，点（3,-7）关于原点的对称点坐标为.

【答案】（-3,7）

【分析】根据原点对称的两个点其对应的横坐标，纵坐标分别互为相反数，列式计算即

可.

【详解】解：因为点(3,-7)关于原点的对称点坐标为(-3,7),

故答案为：(一3,7).

【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标计算，熟练掌握原点对称的两个点其对应的

横坐标，纵坐标分别互为相反数，是解题的关键.

11.已知-1是关于x的一元二次方程3=0的一个根，则/=

【答案】—2

【分析】把x=-l代入方程x2+kx-3=0得l-k-3=0,然后解关于k的方程.

【详解】解：把x=-l代入方程x2+kx-3=0得l-k-3=0,解得k=-2.

故答案为-2.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是

一元二次方程的解.

12.若点8(2,%)在抛物线y=2/上，则,，力的大小关系为：M

当(填，“=”或).

【答案】<

分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可得出"，"的值，比较后即可得出结论.

【详解】解：•.•若点A(T,»),8(2,”)在抛物线产标2上，

yi=2x(-])2=2,”=2x4=8,

V2<8,

.,.ji<y2.

故答案为：<.

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征求

出)力了2的值是解题的关键.

13.如图，在平面直角坐标系xOy中，AAOB可以看作是将AOCE绕某个点旋转而得到，

则这个点的坐标是.

【分析】根据旋转的性质可得：旋转中心到对应点的距离相等，则旋转中心在对应点所连

线段的垂直平分线上，由此即可作图求得答案.

【详解】解：如图，连接AE,分别作线段AE、线段0C的垂直平分线，相交于点F(2,

2),

【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转中心到对应点的距离相等以及垂直平分线

的性质是解决本题的关键.

14.二次函数弘=G？+法+。,与一次函数必=如+〃的图象如图所示，则满足

ax2+bx+c>nvc+n的x的取值范围是.

y.

彳3『

【答案】—3<x<0

【分析】根据函数图象可得，以2+法+0小+〃的X的取值范围就是二次函数图象在

一次函数图象上方部分的X的取值范围即可.

【详解】解：根据函数图象可得，32+版+0巾+”的》的取值范围就是二次函数图

象在一次函数图象上方部分的X的取值范围

由图像可知，-3<x<0时二次函数图象在一次函数图象上方.

故答案为一3<x<0

【点睛】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，数形结合准确识图是解题的关键.

15.商店销售一种进价为20元/个的帽子，经调查发现，该种帽子每天的销售量卬(个)

与销售单价x(元)满足卬=—2x+80(20VxW40),设销售这种帽子每天的利润为>

(元)，则y与x之间的函数关系式为；当销售单价定为元时，每天的利润最

大.

【答案】①.y=-2x2+120x-1600(20<x<40)30

【分析】根据利润=每件帽子的利润x销售量，即可得所求函数关系式；然后利用配方法求

二次函数的最大值，从而可得每天最大的利润.

【详解】解：•••帽子的进价为20元/个，销售单价x(元)，

...每件帽子的利润为(X-20)元；

•••销售这种帽子每天的利润为：y=(x-20)(-2x+80),(20<x<40),

y=-2x2+120x-l600(20<x<40)；

配方，得：y=-2(x-30)2+200,

47=-2<0,

••.当x=30时,函数y有最大值200；

故答案为：y=-2x2+120x-1600(20<x<40)；30.

【点睛】此题考查了二次函数的应用，准确理解题意找到等量关系并熟练运用配方法求二

次函数的最值是解此题的关键.

16.如图1,在AABC中，AB>AC,。是边上的动点.设8,C两点之间的距离为x,

A,。两点之间的距离为y,表示y与x的函数关系的图象如图2所示.线段AC的长为

_________________,线段4B的长为

【分析】从图象看，当X=1时，y=y/13>即B£>=1时，A£>=V13>当X=7时，y=JT5,即

8D=7时，C、。重合，此时y=A£>=AC=屈，则C£>=6,即当30=1时，MOC为以点A

为顶点腰长为的等腰三角形，进而求解.

【详解】解：从图象看，当x=l时，y=屈,

即BD=\时，AD=V13.

当户7时，>=713>即BO=7时，C、。重合，

此时y=AD=AC-y/l3>则CD=6,

即当8。=1时，AAOC为以点A为顶点腰长为行的等腰三角形，如下图：

过点A作AHLBC于点H,

在Rtt^ACH中，AC—>/13,CH=DH--CD-3,

2

则AH=[AC2-CH2=J13-9=2，

在Rt^ABH中，AB=yjAH2+BH2=7（l+3）2+22=275，

故答案为：V13-275.

【点睛】本题考查的是动点问题的函数图象，解题的关键是：弄清楚不同时间段，图象和

图形的对应关系，进而求解.

三、解答题（本题共68分）

17.解方程：2X2-9X+10=0.

【答案】玉=—或用=2

22

【分析】利用十字相乘因式分解，进而即可求解.

【详解】2/一9x+10=0，

(2x-5)(x-2)=0,

2x-5=0或x-2=0，

解得：玉=|■或乐=2.

2.

【点睛】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握“十字相乘法”是解题的关键.

18.已知V+2X—3=0,求代数式x(x+2)+(x+l『的值.

【答案】7

【分析】由已知可得V+2x=3,然后利用整式的混合运算将代数式化成含有(f+2x)的

形式，然后整体代入即可得到答案.

【详解】解：,.,尤2+2%—3=0，

/.X2+2x=3,

•.•x(x+2)+(x+l)-

=x2+2x+x2+2x+l

=2(+2x)+1,

.,.x(x+2)+(尤+1)2

=2x3+1

=7.

故代数式X(X+2)+(X+1)2的值为7.

【点睛】此题考查了代数式的求值，熟练运用整式的混合运算化简代数式和整体思想方法

是解此题的关键.

19.已知二次函数y=—/+。尤+，的图象如图所示，解决下列问题：

(1)关于X的一元二次方程一V+灰+c=0的解为；

(2)求此抛物线的解析式.

(3)若直线y=Z与抛物线没有交点，直接写出k的取值范围.

【答案】(1)X]=­1,々=3；(2)y=—x2+2x+3；(3)k>4

【分析】(1)先由二次函数的对称性求出二次函数与x轴的另一个交点坐标，二次函数与

X轴的交点坐标的横坐标即为一元二次方程的解；

(2)利用(1)求出二次函数与x轴的两个交点坐标，利用交点式即可得到答案；

y——X2+2x+3

(3)联立广得/一2犬一3+左=0,二次函数y=-』+2x+3与直线

J=k

y=人没有交点，即一元二次方程V—2x—3+左=0没有实数根，然后利用一元二次方程

根的判别式求解即可.

【详解】解：(1)由函数图像可得，二次函数丁=-/+法+。的对称轴为直线x=l,与

x轴的一个交点坐标为(3,0),

，二次函数y=-》2+bx+c与x轴的另一个交点坐标为(-1,0),

，一元二次方程-x2+fex+c=0的解为X]=-1,工2=3，

故答案为：玉=T,X,=3；

(2)♦.•抛物线丁=一/+区+。的对称轴为直线》=1,与x轴的交点坐标为(3,0),(-

1,0),

.••抛物线的解析式为y=—(x+l)(x-3)=-d+2x+3；

y——炉+2x+3

⑶联立',得V—2%-3+左=0，

、y=k

:二次函数y=-x2+2x+3与直线y=Z没有交点，

一元二次方程/一2%一3+攵=0没有实数根，

A=廿-4ac=(-2)2-4伏-3)<0

.,.k>4.

【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程，求二次函数解析式，一元二次方程根

的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数与一元二次方程之间的关系.

20.如图，。是等边三角形ABC内一点，将线段绕点A顺时针旋转60。，得到线段

AE，连接CO，BE.

（I）求证：ZAEB=ZADC；

（2）连接若NA0C=1K）。，求的度数.

【答案】（1）见解析（2）50°

【分析】⑴证明八位）。四八4£3即可.

（2）证明4NED是等边三角形，计算ABED=ZAEB-ZAED=110-60。=50。即可.

【小问1详解】

因为等边三角形ABC,线段AD绕点A顺时针旋转60。，得到线段AE,

所以AD=A£，AC=AB,NE4O=Na4C=60，

所以ZEAD-/BAD=ZBAC-ZBAD,

所以NEAB=NDAC,

所以八位）。四△ABB,

所以NA£3=NAZ）C.

【小问2详解】

因为线段AO绕点A顺时针旋转60°,得到线段AE,

所以NE4D=6（X，

所以V4DE是等边三角形,

所以NAED=60°;

因为△ADC且△AE3,Z4DC=110°,

所以NAEB=NADC=110.

所以ABED=ZAEB-ZAED=110°-60°=501

【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，

熟练掌握等边三角形的判定和性质，准确进行三角形全等证明是解题的关键.

21.如图，在平面直角坐标系xOy中，AWC三个顶点的坐标分别为A（-2,-l）,B（-4,l）,

C（—3,3）,ZVLBC关于原点。对称的图形是A44G.

（1）画出M4G；

（2）8C与4G的位置关系是；

（3）若点P（。/）是AA6C一边上的任意一点，则点尸经过上述变换后的对应点々的坐标

可表示为.

【答案】（1）答案见详解：

（2）平行；（3）（一。,一方）.

【分析】（1）如图所示，分别画出关于原点。对称的点A，4，G,即可得MBCi；

（2）根据中心对称的性质，可知BBt过点。且被点O平分，CC,过点0且被点。平分，

于是得四边形BC4G是平行四边形，得BC//B£；

（3）根据中心对称的性质可得耳（一。,一力.

【小问1详解】

解：如图所示，A4gG为所求；

T

【小问2详解】

解：如图，；AA3C与AAgG关于原点成中心对称，

84,CG分别被点。平分，

即：BO=0B[,CO=OC],

四边形BCBJ是平行四边形，

BC//B,C,；

故答案为：平行；

【小问3详解】

解：•••AABC与A&gG关于原点成中心对称，

，点P与点耳关于原点对称，

•••P(a,b),

故答案为：(一a,—》).

【点睛】此题考查了中心对称的概念与平行四边形的判定与性质，熟练掌握中心对称的概

念与性质、平行四边形的判定与性质是解此题的关键.

1,3

22.对于抛物线y=/X"—x—/.

(1)它与x轴交点的坐标为,与＞轴交点的坐标为,顶点坐标为；

(2)在坐标系中利用描点法画出此抛物线.

x

y

(3)当0vxv4时，结合函数图像，直接写出》的取值范围.

>

X

3

【答案】(1)(3,0),(-1,0)；(0,­)；(1,-2)

2

(2)见解析(3)—24y<|

I3I

【分析】(1)将抛物线>=—/配方为)分别令x=0,y=0计算

交点坐标即可，用顶点式写出顶点坐标即可.

(2)利用对称性，以顶点坐标为中心，左右各取两个点即可，依据画图像的基本步骤求解

即可.

(3)分别计算x=0,x=4的函数值，比较大小，接着验证对称轴是否落在该取值范围，

若落在指定范围内，其函数值要不小于或不大于符号表示出来.

小问1详解】

…123

因为y=-x――

22

=1(X-1)2-2,

当y=0时，

得％_1)2_2=0,

2

解得玉=-1,尤2=3，

所以抛物线与X轴交点的坐标为(3,0),(—1,0),

当x=0时，

得尸万1_2=-,3

3

所以抛物线与y轴交点的坐标为(0,--),

因为y=；(x_i)2—2,

所以抛物线顶点坐标为(1,-2),

故答案为：(3,0),(—1,0),,(1,-2)；

【小问2详解】

列表如下：

X-10123

y0-20

画图像如下:

【小问3详解】

1,31,

因为因为y——=—(x-1)2-2,

222

315

所以当x=()时，y=—；当x=4时，y=-x(4-l)2-2=—；

222

因为0vlv4,

所以对称轴落在该取值范围，

所以y能取到函数的最小值，

所以y的取值范围是—2Wy<|.

【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题，顶点坐标，画函数图像，指定自变量范

围计算函数值的取值范围，熟练掌握抛物线的性质，顶点坐标的计算，验证对称轴是否落

在指定取值范围是解题的关键.

23.如图，ZVIBC内接于。0,高经过圆心0.

（1）求证：4?=AC；

（2）若BC=8,。。的半径为5,求AABC的面积.

【答案】（1）见解析；（2）SAABC=32

【分析】（1）根据垂径定理可得A。垂直平分BC,即可证明结论；

（2）连接02,根据勾股定理可得。£）=3,得出A£）=AO+8=8,利用三角形面积

公式求解即可.

【详解】证明：（1）在。。中，

,?0DLBC于D,

：.BD=CD,

：.垂直平分BC,

：.AB=AC；

（2）连接。8,如图所示：

；BC=8,由（1）得BD=C£）,

BD=-BC=4,

2

*.*OA=OB=5，

OD=JOB?_Bb1=3，

AD=AO+OD-S.

/XABC的面积：5i4flC=BC-AD=32,

ZVIBC的面积为32.

【点睛】题目主要考查垂径定理的应用，垂直平分线的性质，勾股定理等，理解题意，综

合运用各个定理性质是解题关键.

24.已知关于x的一元二次方程好一（左+5卜+6+2左=0.

（1）求证：此方程总有两个实数根；

（2）若此方程恰有一个根小于T,求攵的取值范围.

【答案】（1）见详解；（2）k<-4

【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得AK）,由此可证出方程总有两个实数

根；

（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出》=2、刈=%+3,根据方程有一根小于-1,即

可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出左的取值范围.

【详解】（1）证明：•.,在方程》2-（女+5卜+6+24=0中，△=[-（Z+5）]2-4xlx（6+2左）

=/+24+1=（H1）2>0,

方程总有两个实数根.

（2）解：—（攵+5）x+6+2左=[x—（3+女）][x—2]=0,

.".xi=2,X2=k+3.

•・•此方程恰有一个根小于-1,

：.k+3<-\,解得：k<-4,

的取值范围为％<-4.

【点睛】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解

题的关键是：（1）牢记“当AM时，方程有两个实数根“；（2）利用因式分解法解一元二次

方程结合方程一根小于-1,找出关于k的一元一次不等式.

25.小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况.他以水平方向为x

轴方向，1m为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从y轴上的A点出手，

运动路径可看作抛物线，在8点处达到最高位置，落在x轴上的点C处.小明某次试投时

的数据如图所示.

y

(i)在图中画出铅球运动路径的示意图；

(2)根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式；

(3)若铅球投掷距离(铅球落地点。与出手点A的水平距离0C的长度)不小于10m,

成绩为优秀.请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀.

17

【答案】(1)见解析；(2)y=-—(x-4)-+3；(3)达到优秀

【分析】(1)根据题意可直接画出图象；

(2)由图中信息可设抛物线解析式为y=a(x—41+3,然后把点4(0,2)代入求解即

可；

10

(3)当产0时，则有-微%-4)2+3=0,求解即可得到点C的坐标，进而问题可求解.

【详解】解：(1)如图所示.

(2)解：依题意，抛物线的顶点B的坐标为(4,3),点A的坐标为(0,2),

设该抛物线表达式为y=a(x—4)?+3,

由抛物线过点A,有18+3=2,

解得a=---,

16

1

该抛物线的表达式为y=-±(x-4)9-+3；

16

I,o

(3)解：令y=。，得-记(x-4)+3=0,

解得占=4+46,x2=4-4>/3(C在x正半轴，故舍去)，

•••点C的坐标为(4+4百，0),

•*-OC=4+4G，

由可得OC>4+4x?=10,

22

小明此次试投的成绩达到优秀.

【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是由题中信息得出抛物线的解析式.

26.在平面直角坐标系中，抛物线丁=4¥2_2々¥+2(。<0)与37轴交于点4.

(1)求点A的坐标及抛物线的对称轴；

(2)当0WxW3时，>的最大值是3,求当0WxW3时，>的最小值；

(3)抛物线上的两点尸Q(%,%)，若对于f<X1<f+l,1+2<毛<，+3,都

有X*%,直接写出［的取值的范围.

【答案】(1)(0,2)；直线x=l；

(2)-1；

(3)f<-l或，>0.

【分析】(1)令x=0可得点A坐标，直接用对称轴的公式写出抛物线的对称轴；

(2)由当0WXW3时，y的最大值是3,可知抛物线开口向下，可知最大值是顶点纵坐标，

最小值是在离对称轴比较远的X=3时取到；

(3)分两种情况进行讨论：①当r+1<1时，需满足：x=/+l时的函数值小于x=f+3

时的函数值，②£+1>1时，需满足：x=，时的函数值大于x=，+2时的函数值；分别列

出不等式即可得到答案.

【小问1详解】

解：令x=0得y=2,

A(0,2)；

—2。

抛物线的对称轴为直线X=-----=1;

2a

故点A(0,2)；抛物线的对称轴为直线x=l.

【小问2详解】

解：a<0,

抛物线的开口向下，

••,对称轴是直线x=l,在0WxW3时，>的最大值是3

.1.当x=l时，a—2a+2=3,

/,a=-l,

••y———+2x+2——(x—1)~+3,

"/0<x<3.

.•.当x=3时，)，取最小值，

y=—(3—I)2+3=—1>

故当时，y的最小值为-i.

【小问3详解】

解：对于「<与</+1,t+2<x2<t+3,都有x*%，分两种情况讨论：

①当/+1<1时，需满足：x=f+l时的函数值小于x=f+3时的函数值，

一(f+1—1)~+3<—(Z+3—1)"+3，

解得：t<-l,

t<—1；

②r+l>l时，需满足：x=，时的函数值大于x=r+2时的函数值，

—(f—1)~+3>—(t+2—1)"+3,

解得:t>0,

综上所述，若对于，<占<r+l,，+2<々<，+3,都有>尸必，则/的取值的范围是

z<-1或t>0.

【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图像与性质，熟练地运用数形结

合的思想方法与根据二次函数的性质列出不等式是解此题的关键.

27.点C为线段A8上一点，以AC为斜边作等腰RtAAOC,连接BD，在AABZ)外

侧，以BO为斜边作等腰RtAfiEZ),连接EC.

(1)如图，当〃班=30°时，求证：AC=BD；

(2)如图，当0。</。84<45°时，判断线段EC与项的数量关系，并说明理由.

E

D

【答案】(1)证明见详解；

(2)EC=EB；理由见详解.

【分析】(1)过点。作DF1AC于F,由直角三角形的性质得=AC=2OF,

即得证；

(2)过点。作OGD5交3E的延长线于G,连接CG,先证NC0G=NAOB,再证

A4DB0△CDG(SAS),得NBCG=90。，再根据直角三角形的性质可得出结论.

【小问1详解】

证明：过点。作。/工AC于凡如图1所示，

则“尸。=90°,

•••ZDBA=30。,

：.BD=2DF，

•••A4DC是以AC为斜边的等腰直角三角形，DF1AC,

AC=2DF,

AC—BD；

【小问2详解】

图1

解：EC=EB,证明如下：

过点。作DG_L3£＞交3E的延长线于G,连接CG,如图2所示,

则ZBDG=90°=ZADC,

ZBDG+NBDC=ZADC+ZBDC

即Z.CDG=AADB,

:ABFD是以BO为斜边的等腰直角三角形，

ABED=90°,ZDBE=45°,

:.NDGB=45o=NDBE,

：.DB=DG,

又,.•AD=CD,

\ADB咨ACDG(SAS),

..ZDAB=ZDCG=45°,

ZACG=ZACD+ZDCG=90°,

NBCG=90。,

-,-ZBED=90°,

.-.DEIBE

又\BD=DG，

：.BE=EG，

:.CE=>BG=BE.

2

【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质