新版【考前三个月】(江苏专用)高考数学程序方法策略篇-专题1-五种策略搞定所有填空题

PAGE五种策略搞定所有填空题[题型解读]填空题是高考两大题型之一，主要考查根底知识、根本方法以及分析问题、解决问题的能力，试题多数是教材例题、习题的改编或综合，表达了对通性通法的考查．该题型的根本特点是：(1)具有考查目标集中、跨度大、知识覆盖面广、形式灵巧、答案简短、明确、具体，不需要写出求解过程而只需要写出结论等特点；(2)从填写内容看，主要有两类：一类是定量填写型，要求考生填写数值、数集或数量关系，高考题中多数是以定量型问题出现；另一类是定性填写型，要求填写的是具有某种性质的对象或填写给定的数学对象的某种性质，如命题真假的判断等．近几年出现了定性型的具有多重选择的填空题．方法一直接法直接法就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法那么等知识，通过变形、推理、计算等，得出正确结论，使用此法时，要善于透过现象看本质，自觉地、有意识地采用灵巧、简捷的解法．例1直线x＝a(0<a<eq\f(π,2))与函数f(x)＝sinx和函数g(x)＝cosx的图象分别交于M，N两点，假设MN＝eq\f(1,5)，那么线段MN中点的纵坐标为________．答案eq\f(7,10)解析由题意，知M(a，sina)，N(a，cosa)，那么MN的中点为P(a，eq\f(1,2)(sina＋cosα))．而|MN|＝|sina－cosa|＝eq\f(1,5).①设sina＋cosa＝t，②①②两式分别平方，相加，得2＝eq\f(1,25)＋t2，解得t＝±eq\f(7,5).又0<a<eq\f(π,2)，所以t＝sina＋cosa>0，故t取eq\f(7,5).所以线段MN中点的纵坐标为eq\f(1,2)×eq\f(7,5)＝eq\f(7,10).故填eq\f(7,10).拓展训练1曲线f(x)＝xn＋1(n∈N*)与直线x＝1交于点P，设曲线y＝f(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，那么log2014x1＋log2014x2＋…＋log2014x2013的值为________．答案－1解析由题意知f′(x)＝(n＋1)xn，设点P处切线的斜率为k，那么k＝f′(1)＝n＋1，点P(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得x＝1－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1)，即xn＝eq\f(n,n＋1).设an＝log2014xn＝log2014eq\f(n,n＋1)＝log2014n－log2014(n＋1)，那么a1＋a2＋…＋a2013＝(log20141－log20142)＋(log20142－log20143)＋…＋(log20142023－log20142014)＝－log20142014＝－1.故填－1.方法二特殊值法当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，我们只需把题中的参变量用特殊值(或特殊函数、特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)代替之，即可得到结论．例2如图，在△ABC中，点M是BC的中点，过点M的直线与直线AB、AC分别交于不同的两点P、Q，假设eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AQ,\s\up6(→))＝μeq\o(AC,\s\up6(→))，那么eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝________.答案2解析由题意可知，eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)的值与点P、Q的位置无关，而当直线BC与直线PQ重合时，那么有λ＝μ＝1，所以eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝2.拓展训练2在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，假设a，b，c成等差数列，那么eq\f(cosA＋cosC,1＋cosAcosC)＝________.答案eq\f(4,5)解析令a＝3，b＝4，c＝5，那么△ABC为直角三角形，且cosA＝eq\f(4,5)，cosC＝0，代入所求式子，得eq\f(cosA＋cosC,1＋cosAcosC)＝eq\f(\f(4,5)＋0,1＋\f(4,5)×0)＝eq\f(4,5)，故填eq\f(4,5).方法三排除法填空题中的排除法主要用于多项选择题，判断正确命题的标号类的题目，解决方法是根据条件和相关的知识来逐个验证排除，从而确定出正确的命题或说法．例3设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x，那么有①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是________．答案①②解析在f(x＋1)＝f(x－1)中，令x－1＝t，那么有f(t＋2)＝f(t)，因此2是函数f(x)的周期，故①正确；当x∈[0,1]时，f(x)＝2x是增函数，那么f(x)在[－1,0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故②正确；在区间[－1,1]上，f(x)的最大值为f(1)＝f(－1)＝2，f(x)的最小值为f(0)＝1，故③错误．拓展训练3在实数集R中，定义的大小关系“>〞为全体实数排了一个“序〞，类似地，在平面向量集D＝{a|a＝(x，y)，x∈R，y∈R}上也可以定义一个称为“序〞的关系，记为“>〞．定义如下：对于任意的两个向量a1＝(x1，y1)，a2＝(x2，y2)，当且仅当“x1>x2”或“x1＝x2且y1>y2”时，a1>a2成立．按上述定义的关系“>〞，给出以下四个命题：①假设e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，0＝(0,0)，那么e1>e2>0；②假设a1>a2，a2>a3，那么a1>a3；③假设a1>a2，那么对于任意a∈D，a1＋a>a2＋a；④对于任意向量a>0，0＝(0,0)，假设a1>a2，那么a·a1>a·a2.其中是真命题的有________．(写出所有真命题的编号)答案①②③解析对于①，e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，因为横坐标1>0，由定义可知e1>e2，e2＝(0,1)，0＝(0,0)，由横坐标0＝0且纵坐标1>0可知e2>0，所以e1>e2>0，故①正确；对于②，a1>a2当且仅当“x1>x2”或“x1＝x2且y1>y2”，a2>a3当且仅当“x2>x3”或“x2＝x3且y2>y3”，可得“x1>x3”或“x1＝x3且y1>y3”，故可得a1>a3，故②正确；对于③，设a＝(x，y)，那么a1＋a＝(x1＋x，y1＋y)，a2＋a＝(x2＋x，y2＋y)，又a1>a2时，“x1>x2”或“x1＝x2且y1>y2”，所以有“x1＋x>x2＋x〞或“x1＋x＝x2＋x且y1＋y>y2＋y〞，即a1＋a>a2＋a，故③正确；对于④，举反例，设a＝(0,1)，满足a>0，假设a1＝(2,0)，a2＝(1,0)，a1>a2，但a·a1＝0×2＋1×0＝0，a·a2＝0×1＋1×0＝0，此时，a·a1＝a·a2，故④错误．方法四数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，假设能数中思形，以形助数，那么往往可以借助图形的直观性迅速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果．Venn图、三角函数线、函数图象，以及方程的曲线等都是常用的图形．例4在△ABC中，∠B＝eq\f(π,3)，O为△ABC的外心，P为劣弧AC上一动点，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))(x，y∈R)，那么x＋y的取值范围为________．答案[1,2]解析如图，建立直角坐标系，设圆O的半径为1，∵∠B＝eq\f(π,3)，∴A(－eq\f(\r(3),2)，－eq\f(1,2))，C(eq\f(\r(3),2)，－eq\f(1,2))．设P(cosθ，sinθ)，那么θ∈[eq\f(7π,6)，eq\f(11π,6)]，∵sinθ＝－eq\f(x＋y,2)，∴x＋y＝－2sinθ∈[1,2]．拓展训练4假设不等式eq\r(4x－x2)>(a－1)x的解集为A，且A⊆{x|0<x<2}，那么实数a的取值范围是________．答案[2，＋∞)解析在同一坐标系中作出函数y＝eq\r(4x－x2)和函数y＝(a－1)x的图象(如图)，由图可知斜率a－1≥1，即a≥2.所以实数a的取值范围是[2，＋∞)．方法五估算法当题目中的条件有时不能很好地进行转化，或者条件中涉及的量在变化时，我们不方便很好地定量计算，这时往往采用估算法来解决．例5点G是△ABC的重心，点P是△GBC内一点，假设eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，那么λ＋μ的取值范围是________．答案(eq\f(2,3)，1)解析当P点在G点位置时，λ＝μ＝eq\f(1,3)，所以λ＋μ＝eq\f(2,3)，当P点位于B点位置时λ＝1，μ＝0，λ＋μ＝1，当P点位于C点位置时，λ＝0，μ＝1，λ＋μ＝1，综上，λ＋μ范围为(eq\f(2,3)，1)．拓展训练5不等式eq\r(1＋lgx)>1－lgx的解集为________．答案(1，＋∞)解析先求x的取值范围得x≥eq\f(1,10)，假设x>1那么eq\r(1＋lgx)>1,1－lgx<1不等式成立．假设eq\f(1,10)≤x≤1，那么eq\r(1＋lgx)≤1－lgx，原不等式不成立．故正确答案为x>1.1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B＝60°，2b2＝3ac，那么角A的大小为________．答案eq\f(π,6)或eq\f(π,2)解析由2b2＝3ac及正弦定理可知，2sin2B＝3sinAsinC，故sinAsinC＝eq\f(1,2)，cos(A＋C)＝cosAcosC－sinAsinC＝cosAcosC－eq\f(1,2)，即cosAcosC－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)，cosAcosC＝0，故cosA＝0或cosC＝0，可知A＝eq\f(π,6)或eq\f(π,2).2．如下图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，那么eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝________.答案18解析方法一∵eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))·(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＋2eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))，∵AP⊥BD，∴eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0.又∵eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝|eq\o(AP,\s\up6(→))||eq\o(AB,\s\up6(→))|cos∠BAP＝|eq\o(AP,\s\up6(→))|2，∴eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝2|eq\o(AP,\s\up6(→))|2＝2×9＝18.方法二把平行四边形ABCD看成正方形，那么P点为对角线的交点，AC＝6，那么eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝18.3．x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y≤4，,x＋2y≤4，,x≥0，y≥0，))那么z＝x＋y的最大值为________．答案eq\f(8,3)解析作出不等式组对应的可行域，如图中阴影局部所示，由z＝x＋y得y＝－x＋z，平移直线y＝－x，由图象可知当直线y＝－x＋z经过点B时，直线y＝－x＋z的截距最大，此时z最大．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝4，,x＋2y＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4,3)，,y＝\f(4,3)，))即B(eq\f(4,3)，eq\f(4,3))，代入z＝x＋y得z＝eq\f(4,3)＋eq\f(4,3)＝eq\f(8,3).4．在△ABC中，∠A＝60°，M是AB的中点，假设AB＝2，BC＝2eq\r(3)，D在线段AC上运动，那么eq\o(DB,\s\up6(→))·eq\o(DM,\s\up6(→))的最小值为________．答案eq\f(23,16)解析在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，根据余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，即12＝b2＋4－2b，即b2－2b－8＝0，解得b＝4.设eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))(0≤λ≤1)，那么eq\o(DB,\s\up6(→))·eq\o(DM,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))·(eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))－λeq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－λeq\o(AC,\s\up6(→)))＝λ2|eq\o(AC,\s\up6(→))|2－eq\f(3,2)λeq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝16λ2－6λ＋2，当λ＝eq\f(3,16)时，16λ2－6λ＋2最小，最小值为eq\f(23,16).5．定义：min{a1，a2，a3，…，an}表示a1，a2，a3，…，an中的最小值．f(x)＝min{x,5－x，x2－2x－1}，且对于任意的n∈N*，均有f(1)＋f(2)＋…＋f(2n－1)＋f(2n)≤kf(n)成立，那么常数k的取值范围是________．答案[－eq\f(1,2)，0]解析∵f(x)＝min{x,5－x，x2－2x－1}，∴f(1)＝－2，f(2)＝－1，∴f(1)＋f(2)≤kf(1)，即－3≤－2k，解得k≤eq\f(3,2)；同理，f(3)＝2，f(4)＝1，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)≤kf(2)，即－2－1＋2＋1≤k×(－1)，解得k≤0.由以上可知k为非正数．当n≥3时，{f(n)}是以2为首项，－1为公差的等差数列，f(1)＋f(2)＋…＋f(2n－1)＋f(2n)≤kf(n)，即－2－1＋eq\f(2＋5－2n,2)×(2n－2)≤k(5－n)，2n2－9n＋10≥k(n－5)，又2n2－9n＋10≥2×32－9×3＋10＝1，k(n－5)≤k(3－5)＝－2k，∴k≥－eq\f(1,2).综上所述，常数k的取值范围是[－eq\f(1,2)，0]．6．(2023·无锡模拟)椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连结AF，BF.假设|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝eq\f(4,5)，那么C的离心率e＝________.答案eq\f(5,7)解析如图，设|BF|＝m，由题知，m2＋100－2×10mcos∠ABF＝36，解得m＝8，所以△ABF为直角三角形，所以|OF|＝5，即c＝5，由椭圆的对称性知|BF|＝|AF′|＝8，(F′为右焦点)所以a＝7，所以离心率e＝eq\f(5,7).7．f(x)＝2mx2－2(4－m)x＋1，g(x)＝mx，假设同时满足条件：①∀x∈R，f(x)>0或g(x)>0；②∃x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)<0.那么实数m的取值范围是________．答案(0,8)解析当f(x)，g(x)满足条件①时，m≤0显然不合题意；当m>0时，f(0)＝1>0，假设对称轴x＝eq\f(4－m,2m)≥0，即0<m≤4，结论显然成立，假设对称轴x＝eq\f(4－m,2m)<0，即m>4，只要方程2mx2－2(4－m)x＋1＝0的判别式Δ＝4(4－m)2－8m＝4(m－8)(m－2)<0即可，又m>4，可得4<m<8，所以m∈(0,8)．当f(x)，g(x)满足条件②时，对于m∈(0,8)，x∈(－∞，－4)，g(x)<0恒成立，由①可知，必存在x0∈(－∞，－4)，使得f(x0)>0成立，故可得m∈(0,8)．8．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋6x＋e2－5e－2，x≤e，,x－2lnx，x>e))(其中e为自然对数的底数，且e≈2.718)．假设f(6－a2)>f(a)，那么实数a的取值范围是________．答案－3<a<2解析∵f′(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x＋6，x≤e，,1－\f(2,x)，x>e，))当x≤e时，f′(x)＝6－2x＝2(3－x)>0，当x>e时，f′(x)＝1－eq\f(2,x)＝eq\f(x－2,x)>0，∴f(x)在R上单调递增．又f(6－a2)>f(a)，∴6－a2>a，解之得－3<a<2.9．函数f(x)＝x|x－2|，那么不等式f(eq\r(2)－x)≤f(1)的解集为________．答案[－1，＋∞)解析函数y＝f(x)的图象如图，由不等式f(eq\r(2)－x)≤f(1)知，eq\r(2)－x≤eq\r(2)＋1，从而得到不等式f(eq\r(2)－x)≤f(1)的解集为[－1，＋∞)．10．平行四边形ABCD，点P为四边形内部或者边界上任意一点，向量eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))，那么0≤x≤eq\f(1,2)，0≤y≤eq\f(2,3)的概率是________．答案eq\f(1,3)解析由平面向量根本定理及点P为ABCD内部或边界上任意一点，可知0≤x≤1且0≤y≤1，又满足条件的x，y满足0≤x≤eq\f(1,2)，0≤y≤eq\f(2,3)，所以P(A)＝eq\f(\f(2,3)×\f(1,2),1×1)＝eq\f(1,3).11．(2023·辽宁)等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．假设a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，那么S6＝________.答案63解析∵a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两根，且q＞1，∴a1＝1，a3＝4，那么公比q＝2，因此S6＝eq\f(1×1－26,1－2)＝63.12．如下图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)答案DM⊥PC解析易得BD⊥PC.∴当DM⊥PC，即有PC⊥平面MBD.而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.13．双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝eq\r(3)x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，那