第一章四反函数与复合函数

第一节 第章 章函 数 反函数与复合函极限 连续 -1第一节1第 a a函 A{a1,a2,•,an 限 A{xx所具有的特征 限续 若xA,则必xB 就说A是B的子集记作AB.如AB, 且B中有不在A的元素则称A是B AB.续-2第一节第

N+N,NZ,ZQ,Q章如果AB,BA,则称集合A和BA函 例如A极 C{xx23x2 则AC续 (记作续例如,xxRx210}规 空集为任何集合的子集-3

第一节设AR,如果存在 LR,使得对一xA,都有x()L,则称A有上(下)界,称L为A第一个上下界.如果数集A既有上界又有下界,则称章A是有界的,否则称A 的函 定义2设A是一个非空数集,若存在一个上(下)极限s,使得对A的一切上(下)界L,都有s()L, 则 续连是A的上(下)确界,记为supA(inf续定理1A,如果有上(下)界,则必有上(下)确界.-4第一节 a,bR,且a {xax 称为开区间,记作(a,b)限 限续 {xax 称为闭区间,记作[a,b]续 -5{xax{xax第

第一节映射与函称为半开区间,称为半开区间,

记作[a,b)记作(a,b] [a,){ 限连

a (,b){a

xx -6第一节设a与是两个实数，且0,数集x称为点a的邻域，点a叫做这邻域的中心.

|xa| 叫做这邻域的半径章章U(a){xaxa函 极 a连

a

U0(a){

0x

-7第一节第章 注 常量与变量是相对“过程”而言的数 限 通常用字母a,b,c 等表示常量续用字母xyt等表示变量.-8

第一节定义 设A,B是两个非空集合,若对每 x第 f,有唯一确定的yB与它对应第章则称f是A到B的一个映射,记作章 f:AB,或f:xHyf(x),x极数其中y称为x在映 f下的像x称为y在映射f极限的一个原像(或逆像),A称为映射 的定义域,记连续D(f)或Df,A所有元素x的像y合称为f的值域,记为Rf或fA),Rff(A){yyf(x),x-9第一节设f:AB,如果 B,则称f是一个满映射第如果对Ax1x2,章 f(x1)f(x2章函则称数则称f是个极 如果f是个一一映射，则对每个yB,有唯一的续连xA,fx)y,gy)x,g就是B续Af的逆映射f1:B-10其定义域Df

第一节RfB,值域Rf

A.称 第(f1)1第章设f:ABgBC则对每个xA章函的一个yfxB,从而对应唯一的一个zgyC数极这样就确定了一个从集合A到集合C的映射,连限射称为f和g所确定的复合映射,记为gf连 gf:Agfxgfxx任意两个映射f, 则gf当且仅当 Dg-11第一节a

a

(a a 运算性质 abababab数

ab绝对值不等式:xa(axa(a

abababaxxax-12第一节1 章圆内接正nOnr极 圆内接正nOnr极续 2nrsin续 n3,4,5,-13

第一节设D是一个给定的数集，f:D第为定义在D上的一个函数yyf(x),x限 数集D叫做这个函数的定义域限续0 当续0

时,称f

函数值全体组成的数集W

yfxxD}-14第一节函数的两要素:定义域与对应法则. D() 数

fx0 约定 义的一切实数值连11

D1例如，y D1-15第一节如果给定一个法则,按照这个法则,对每个x~~章

y与之对应,这样的一个法则称为数 数 例 x2y2R2xx2续 续

yarcsin

的定义域. 1

x2x2第一节既满足0x211,1x2 因1x

2或

x12~第函数的定义域为2~ 2函数的图函

2,1][1, 2]y

限 值域限

(x,续 C{(x,续

yf(x),xf(x)的图形

-17第一节3函数常用的表示法 法,图示法,表格法第 章 (1) 极 当x 续 ysgnx 当x 续 当x -xsgnx-18第一节y(2)取整函数y[ [x]表示不超过 ~~章

函 (3) 极 xx0,连y=|x|xx0.

y1 -19第一节ymax{f(x),g( ymin{f(x),g(第~f(f(of(o极 -20第一节式子来表示的函数,称为分段函数.第 例如 f(x)2x x yyyyx2y2xOx

x-21第一节例2脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,写出电压U与时间t(t0)的函数关系 式 解当t

]时 U t 章函函 当t(2极限2极连

2 U0E0(t2

即U2E(t-22第一节当t()时,U~ UU(t)是一个分段函数~章函

tUUE2o2极 2Et,极

t t2续 U(t)续

2E(t

t ,

t-23第一节 0x第的定义域.

设fx)

1x2,

f(x

0x :f(x)函数

1x

0x3 f(x3)连续

1x3 3x 2x

-24第一节 ~第设D关于原点对称,对于xD,有f(x)f~章函 续-

yf( -25第一节设D关于原点对称,对于xD,f(x)f(~第则称函数fx)为奇函数~ 极

f(

yf( 续f(-26第一节如果对于区间 x2x1x2时如果对于区间 x2x1x2时恒有 f(x1) 则称函 f(x)在区间I上是单调增加的数 yf(x限 f(x21 f(x1 I -27第一节设函 f(x)的定义域为D,区间I如果对于区间I上任意两 x1 x2,当x1x2时 恒有 f(x1)f(x2~章则称函 f(x)在区 I上是单调减少的函数 f(x1 f(x2续

yf(

-28第一节设函数fx)的定义域为D,l,使得对于任一xDxlD~

f(xl)f(章则称fx)为周期函数,l称为函数yfx)的周期 数yyyyf(f(xxOxx-29第一节若X M0,xX,

fx) ~第则称函数f(x)在X上有界.否则 ~ 限 限 连续

-30第一节四四 f:DW是一一映射,则其逆映章~f1WD称为函数yfx的反函数,记为章 xf1(y),yW.数称函数 yf(x)为直接函数. 由定义可知,若函数yf(x),xD存在反函则续xf1y),yR则续f对于D的任意两个 x1,x2(x1 f(x1)f(x2-31第一节 ff(x)与f1(y)互为反函数,且 fDf连连

Rff1(f(x))x,xf(f1(y))y,yfy反函数xy反函数xf1ox函 yf( -32第一节习惯上用字母x表示自变量,yfyfxxD的反函数经常表示成yf1xxRf1 讨论函数y1~1y21y2 1y21y21x数函0y1,1x数

,x极都满足关系 y限

连但如果将函数的定义域限制在[0,1]或 11x21x2y x 的反函数为y1x2y x[1,01x2-33

,x1x2,1x2第一节ex

x 求函数yx 0x

的反函数.2ln 1第 当x0时,yex 得xlny,0y章 当0x1时,yx1得xy1,1y 当1x时,y2lnex得xe2,2 lnyx

0x1x

-34

2第一节 反函数yf1x)y Q(b,oo连续

P(a,

直接函数yfxx直接函数与反函数的图形关于直线yx对称.-35

第一节1x设y u,u1 1x~数第定义7设函数yg(u)的定义域Dg,而函数ufx)的值域为Rf,若RfDg,则称函数yg(fx))f与g函的复合函数.~数极x自变量,u中间变量,y因变量限续连同复合映射一样，函数f与g可以构成复合函数当且仅当RfDg.RfDg时,我们可以通过改变f的定义域来构造复合函数.续-36第一节注意:1复合函数的;~ 例如yarcsin u2x2 yarcsin(2x2~章 构成cotcot2 例如y连续

y

ucot vx2-37 f(x)

第一节ex x

x x ~

x1,(x)x2

x章 数极 连

e(x)f[(x)](当x时

(x)(x) 或x0,(x)x2或x0,x)x21

x0x -38第一节 当x时 或x~ 或x

(x)x2(x)x21

1xx ex2

x2连 f[(x)]2连

x2

1x0.2 2

0x

x-39第一节 (1)常数函数yc,x(,)(其中c为已知常数 (2)幂函函数

y (是常数y

yyx

yx1o

y -40第一节(3

ya

(a0,a第 y章ye

a1O

ya(ax-41第一节(4)对数函数y

(a0,a ~ yloga函 (a 限 ylog1续aylnxloge-42

第一节正弦函数ysinx ~ 数 数 余弦函数ycos112O1x-43正切函数ytan

y第O O 函极 余切函数ycot极 2Ox 2Ox2-44第一节12O2正割函数12O2第 章函 余割函数ycsc极1O1Ox-45反三角函数

第一节反正弦函 yarcsin数 数

2 2

O1x

yarccos-46第一节2yO反正切函 y2yO 2 反余切函 yarccot2O2Ox常数函数,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和-47

第一节 的函数,称为初等函数~ 函 Pn(x)a0xna1xn1·an函限 其中nN,a0,a1,·,anR,a0限 y

a0xna1xn1·anb0xmb1xm1·其中nmN,a0a1·an,b0b1·bmR,a0b0-48

第一节y exe2 双曲正弦shx2~ D:数极

奇函数.y e2exe2

y1e 双曲余弦chx 续

yD 偶函数.-49第一节双曲正切thx

sh

exeD:(,)y1y1Ox

奇函数,

e有界函数,双曲余切cthx

exe ex

e-50第一节sh(xy)shxchychxshy