2021年北京某中学朝阳分校中考数学段考试卷(4月份)-解析版

2021年北京人大附中朝阳分校中考数学段考试卷（4月份）

一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题

意的.请将正确选项填涂在答题卡相应的位置.

1.KN95型口罩可以保护在颗粒物浓度很高的空间中工作的人不被颗粒物侵害，也可以帮

助人们预防传染病.“K/V95”表示此类型的口罩能过滤空气中95%的粒径约为0.0000003,“

的非油性颗粒.其中，0.0000003用科学记数法表示为（）

7

A.3X10-6B.3X10-7c.0.3Xl（）6D,0.3X10

2.函数yRTM中，自变量x的取值范围是（）

A.x#3B.x23C.x>3D.%W3

3.如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，则它的俯视图是（）

正面

A.-1B.1C.2D.3

5.下列各式由左到右是分解因式的是()

A.JT+6X-9=(1+3)(x-3)+6x

B.(x+2)(x-2)=»-4

C.x2-2xy-y2=(x-y)2

D.x2-8x+16=(x-4)2

6.如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使Na和N0互余的摆放方式是（）

7.小聪在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的：

已知：ZAOB.

求作：NA'O'B',使NA'O'B'=ZAOB.

作法：(1)如图，以点。为圆心，任意长为半径画弧，分别交。A,08于点C,D；

(2)画一条射线。'A',以点O'为圆心，0C长为半径画弧，交O'A'于点C'；

(3)以点。为圆心，8长为半径画弧，与第(2)步中所画的弧相交于点。'；

(4)过点£>'画射线O'B',则NA'O'B'=NA08.

A.由SSS可得△O'CD'乡△OCQ,进而可证NA'O'B'=ZAOB

B.由SAS可得△(?'C^/XOCD,进而可证/A'O'B'=/AOB

C.由4sA可得△(?'CD'丝△OCT),进而可证/A'O'B'=/A08

D.由“等边对等角”可得NA'O'B1=ZAOB

8.如图所示，将一根长2〃？的铁丝首尾相接围成矩形，则矩形的面积与其一边满足的函数

关系是（)

"1B

A.正比例函数关系B.一次函数关系

C.二次函数关系D.反比例函数关系

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9.请写出一个比百5小的正整数.

10.用一个a的值说明命题“如果那么是错误的，这个值可以是。=.

11.如图所示的网格是正方形网格，A,B,C,。是网格线的交点，则/A8C与N8C。的

大小关系为：ZABC/BCD（填“>”，"=”或

12.如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1,1）,B（2,2）,双曲线y=K与线段48有公

x

共点，则％的取值范围是

13.如图（1）是一个长为2a,宽为2b（a>h）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪

开，得到四块形状和大小完全相同的小长方形，然后按图（2）所示拼成一个大正方形,

则中间空白部分的面积是.（用含a,。的式子表示）

b

⑴⑵

14.某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示

的折线图.

①掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是2；

②掷一枚硬币，正面朝上；

③暗箱中有1个红球和2个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，从中任取一球是红球.

l-x<4

15.不等式组的解集是.

~2~

16.如图，一次函数〉=以+/?与y=cx+d的图象交于点P.下列结论中，所有正确结论的序

号是.

（T）b<0；@ac<0；③当龙>1时，ax+b>cx+d；④〃+b=c+d；⑤c>d.

三、解答题（本题共68分，第17・25题，每小题5分，第26题7分，第27题8分，第28

题8分）

17.（5分）计算：（A）A2cos45°+|V2-II-（3.14-TT）°.

2

18.（5分）如图，AO是△4CE的角平分线，BA=BC,BD//AE.

求证：ZC=ZE.

c

19.（5分）已知3/-x-1=0,求代数式（2x+5）（2x-5）+2x（x-1）的值.

20.（5分）下面是小明同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程.

已知：如图1,直线/和直线/外一点尸.

求作：直线P。，使直线尸。〃直线/.

作法：如图2,

①在直线/上取一点A,连接附；

②作心的垂直平分线MN,分别交直线/,线段于点8,O；

③以。为圆心，08长为半径作弧，交直线MN于另一点Q；

④作直线PQ,所以直线PQ为所求作的直线.

根据上述作图过程，回答问题：

（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明：

证明：•.•直线是心的垂直平分线，

：.PO=,ZPOQ=ZAOB=90°.

■：OQ=OB,

：./\POQ^AAOB.

J.PQ//1（）（填推理的依据）.

图1图2

21.（5分）已知关于x的方程WT&TU--2=0（〃?W0）.

（1）求证：当〃=，〃-2时，方程总有两个实数根；

（2）若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的〃?，〃的值，并求此时方

程的根.

22.（5分）2020年3月线上授课期间，小莹、小静和小新为了解所在学校九年级600名学

生居家减压方式情况，对该校九年级部分学生居家减压方式进行抽样调查.将居家减压

方式分为A（享受美食）、B（交流谈心）、C（室内体育活动）、D（听音乐）和E（其他

方式）五类，要求每位被调查者选择一种自己最常用的减压方式.他们将收集的数据进

行了整理，绘制的统计表分别为表1、表2和表3.

表1：小莹抽取60名男生居家减压方式统计表（单位：人）

减压方式ABCDE

人数463785

表2：小静随机抽取10名学生居家减压方式统计表（单位：人）

减压方式ABCDE

人数21331

表3：小新随机抽取60名学生居家减压方式统计表（单位：人）

减压方式ABCDE

人数65261310

根据以上材料，回答下列问题:

（1）小莹、小静和小新三人中，哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映出该校九年级

学生居家减压方式情况，并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处.

（2）根据三人中能较好地反映出该校九年级居家减压方式的调查结果，估计该校九年级

600名学生中利用室内体育活动方式进行减压的人数.

23.（5分）截止到2020年11月23日，全国832个国家级贫困县全部脱贫摘帽.某单位党

支部在“精准扶贫”活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗.已知每棵乙

种树苗的价格比甲种树苗的价格贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元

购买甲种树苗的棵数相同，求甲乙两种树苗每棵的价格.

24.（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线/：y=fct+l（ZW0）与函数y=&G>0）

x

的图象G交于点A（1,2）,与x轴交于点艮

（1）求k,，篦的值;

（2）点P为图象G上一点，过点尸作x轴的平行线尸。交直线/于点。，作直线必交

x轴于点C,若SMCB=1：4,求点P的坐标.

25.（5分）如图，A8是的直径，4c切。。于点A,连接BC交。。于点£>,点E是面

的中点，连接AE交BC于点F.

（1）求证：AC=CF；

(2)若AB=4,AC=3,求/BAE的正切值.

26.（7分）平面直角坐标系xOy中，抛物线y=7-2/m+m2-3与y轴交于点A,过A作

AB//x轴与直线x=4交于B点.

（1）抛物线的对称轴为x=（用含，〃的代数式表示）；

（2）当抛物线经过点A,8时，求此时抛物线的表达式；

（3）记抛物线在线段AB下方的部分图象为G（包含A,B两点），点P3n,0）是x轴

上一动点，过P作POLv轴于尸，交图象G于点£>,交于点C,若CDW1,求加的

取值范围.

y

6

5

4

3

123456x

27.(8分)如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP,ZACP=a(0°<a<60°)，点4

关于射线CP的对称点为点。，BD交CP于点、E,连接AO,AE.

(1)依题意补全图形；

(2)求NO8C的大小(用含a的代数式表示)；

(3)直接写出NAEB的度数：

(4)用等式表示线段4E,BD,CE之间的数量关系，并证明.

28.(8分)在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点例(xi,)“)，N(及，”)，定义如下：

点M与点N的“直角距离”为田-X2I+W-"I，记作dMN.

例如：点M(1,5)与N(7,2)的“直角距离"〃WN=|1-7|+|5-2|=9.

(1)已知点P1(-1,0),P2(-2■，工)，P3(-工，-A),P4(-A,-工)，则在

222422

这四个点中，与原点。的“直角距离”等于1的点是；

(2)如图，已知点A(1,0),B(0,1),根据定义可知线段48上的任意一点与原点O

的“直角距离”都等于1.

若点P与原点。的“直角距离"dop=L请在图中将所有满足条件的点P组成的图形补

全；

(3)已知直线y=H+2,点C(f,0)是x轴上的一个动点.

①当1=3时，若直线y=Ax+2上存在点。，满足市汕=1,求％的取值范围；

②当左=-2时，直线>=丘+2与x轴，y轴分别交于点E,F.若线段EF上任意一点H

都满足1W4CHW4,直接写出f的取值范围.

2021年北京人大附中朝阳分校中考数学段考试卷（4月份）

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题

意的.请将正确选项填涂在答题卡相应的位置.

1.KN95型口罩可以保护在颗粒物浓度很高的空间中工作的人不被颗粒物侵害，也可以帮

助人们预防传染病.“KN95”表示此类型的口罩能过滤空气中95%的粒径约为0.0000003,“

的非油性颗粒.其中，0.0000003用科学记数法表示为（）

A.3X10-6B.3X10-7C.0.3X10-6D.0.3X10〃

【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为其中lW|a|<10,〃为由原

数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

【解答】解：0.0000003用科学记数法表示为：3X107.

故选：B.

2.函数yWTM中，自变量X的取值范围是（）

A.xW3B.G3C.x>3D.xW3

【分析】根据二次根式有意义的条件，即根号下大于等于0,求出即可.

【解答】解：有意义的条件是：x-320.

.•・xN3.

故选：B.

3.如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，则它的俯视图是（）

正面

【解答】解：从上面看该几何体，选项B的图形符合题意,

故选：B.

4.如图，数轴上两点例，N所对应的实数分别为机，n,则机的结果可能是()

-2-1012

A.-1B.1C.2D.3

【分析】根据在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大可得-2<〃V-1<0</»

<1,的结果可能是2.

【解答】解：•••M,N所对应的实数分别为根，〃，

-2<n<-l<O<w<l,

的结果可能是2.

故选：C.

5.下列各式由左到右是分解因式的是()

A.7+6x-9=(x+3)(x-3)+6x

B.(x+2)(x-2)-4

C./-2xy-y2=Cx-y)2

D.7-8x+16=(x-4)2

【分析】根据分解因式的定义逐个判断即可.

【解答】解：A.等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；

B.等式由左到右的变形属于整式乘法，不属于分解因式，故本选项不符合题意；

C.等式两边不相等，即等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；

D.等式由左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意；

故选：D.

6.如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使/a和互余的摆放方式是()

B.

【分析】根据余角和补角的概念、结合图形进行判断即可.

【解答】解：A.Na与互余，故本选项正确；

B.Za=Zp,故本选项错误；

C.Za=Zp,故本选项错误；

D.Na与N0互补，故本选项错误，

故选：A.

7.小聪在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的：

己知：ZAOB.

求作：/A，O'B',使/A'O'B'=NAOB.

作法：（1）如图，以点。为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA,0B于点C,D；

（2）画一条射线O'A',以点。’为圆心，0C长为半径画弧，交。'A'于点C'；

（3）以点C为圆心，CO长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点。'；

（4）过点。'画射线O'B',则/A'O'B'=AAOB.

小聪作法正确的理由是（）

A.由SSS可得△0'C'D'丝△OCO,进而可证NA'O'B'=ZAOH

B.由SAS可得△（?'CD'^/\0CD,进而可证NA'O'B1=ZAOB

C.由ASA可得CD'丝△0C£）,进而可证NA'O'B'=ZAOB

D.由“等边对等角“可得/A'O'B'=/AOB

【分析】先利用作法得到0O=0C=。。'=0C,CD=C'D',然后根据全等三角形

的判定方法对各选项进行判断.

【解答】解：由作图得OD=OC=OD'=0C,CD=C'D',

则根据"SSS”可判断△（?'O'D'丝△COZ）.

故选：A.

8.如图所示，将一根长2〃？的铁丝首尾相接围成矩形，则矩形的面积与其一边满足的函数

关系是（）

"iB

A.正比例函数关系B.一次函数关系

C.二次函数关系D.反比例函数关系

【分析】设矩形的一边长为切;，则另一边的长为（2+2-x）m,令矩形的面积为加？，

由题意可列出y关于x的函数关系式，化简即可得出答案.

【解答】解：设矩形的一边长为xm,则另一边的长为（2+2-x）m,令矩形的面积为

yrrr,由题意得：

y=x（24-2-x）

=x（1-x）

=-

二矩形的面积与其一边满足的函数关系是y=-7+x,即满足二次函数关系.

故选：C,

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9.请写出一个比、/~宿小的正整数答案不唯一；例如：3.

【分析】直接利用估算无理数的方法得出一个符合题意的答案.

【解答】解：写出一个比小而小的正整数：答案不唯一；例如3.

故答案为：答案不唯一；例如3.

10.用一个a的值说明命题“如果那么是错误的，这个值可以是4=-2

（答案不唯一）.

【分析】根据有理数的乘方法则计算，判断即可.

【解答】解：当a=-2时，/=4>1,而-2<1,

命题“若那么是假命题,

故答案为：-2（答案不唯一）.

11.如图所示的网格是正方形网格，A,B,C,。是网格线的交点，则NABC与的

大小关系为：ZABC=ZBCD（填”或

【分析】连接AC,BD,根据勾股定理得到4c2=8<^=8。2=22+12=5,

=10,求得AC2+BC2=4?2,BD2+BC2=CD2,于是得到NABC=NBC£)=45°,进而得

到结论.

【解答】解：连接AC,BD,

根据勾股定理得到AC2=fiC2=BD2=22+l2=5,AB2=CD1=32+\2=10,

.\AC2+BC2=AB2,BD2+BC2=CD2,

.•.△ABC和△88都是等腰直角三角形，

.../ABC=/BCD=45°.

故答案为：—.

12.如图，在平面直角坐标系xO），中，A（1,1）,8（2,2）,双曲线），=K与线段48有公

【分析】求得A和8分别在双曲线上时对应的k的值，则k的范围即可求解.

【解答】解：当（1,1）在y=K上时，k=\,

X

当（2,2）在y=K的图象上时，k=4.

X

则双曲线>=区与线段A3有公共点，则k的取值范围是

X

故答案是：1《人<4.

13.如图（1）是一个长为2a,宽为2b（a>b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪

开，得到四块形状和大小完全相同的小长方形，然后按图（2）所示拼成一个大正方形,

则中间空白部分的面积是（a-b）2.（用含a,b的式子表示）

b

(1)

Q)

【分析】由图（1）得出小长方形的长与宽分别为a,b,然后根据图（2）中大正方形的

面积减去四个小长方形的面积表示出中空部分面积即可.

【解答】解：中间空白部分的面积是：

Ca+b）2-4ab

=a1+2ab+b1-4ab

—a2-lab+b1

—（a-b'）2,

故答案为：（—）2.

14.某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示

的折线图.

该事件最有可能是⑶（填写一个你认为正确的序号）.

①掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是2；

②掷一枚硬币，正面朝上；

③暗箱中有1个红球和2个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，从中任取一球是红球.

【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率计算三个选项

3

的概率，约为上者即为正确答案.

3

【解答】解：由折线统计图知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在0.33,即上左右,

3

①中向上一面的点数是2的概率为工，不符合题意；

6

②中掷一枚硬币，正面朝上的概率为卷，不符合题意；

③中从中任取一球是红球的概率为方，符合题意，

故答案为：③.

ix44

15.不等式组］x+1-，的解集是-3Wx<I.

2

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中

间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.

【解答】解：解不等式l-xW4,得：x2-3,

解不等式三包<1,得：x<\,

2

则不等式组的解集为-3WxV1,

故答案为：-3Wx〈l.

16.如图，一次函数y=or+〃与y=cr+d的图象交于点P.下列结论中，所有正确结论的序

号是②④⑤.

①6<0；@ac<0；③当x>l时，ax+b>cx+d；@a+b—c+d；⑤c>4.

【分析】根据函数的图象以及一次函数的性质判断即可.

【解答】解：由图象可知一次函数y=ax+6的图象经过一、二、四象限,

/.a<0,b>Q,故①错误；

•••由图象可知一次函数y=cx+d的图象经过一、二、三象限，

：.c>0,J>0,

/•ac<0,故②正确；

由图象可知，当x>l时，ax+b<cx+d,故③错误;

・・,一次函数y=ax+b与y=cx+d的图象交于点尸，且P的横坐标为1,

a+b=c+d,故④正确；

•函数y=cx+"与x轴的交点为（-旦，0）,且一旦>-1,c>0,

CC

：.c>d,故⑤正确,

故答案为②④⑤.

三、解答题（本题共68分，第17・25题，每小题5分，第26题7分，第27题8分，第28

题8分）

17.（5分）计算：（工）r+2cos45°（3.14-n）°.

2

【分析】首先计算乘方和乘法，然后从左向右依次计算，求出算式（工）-i+2cos45°+|V2

2

-1|-（3.14-TT）°的值是多少即可.

【解答】解：（工）”+2cos45°+|V2-II-（3.14-n）0

2

=2+2X返+&-1-1

2

=2+料+亚-2

=2&

18.（5分）如图，AO是△ACE的角平分线，BA=BC,BD//AE.

求证：NC=NE.

【分析】根据平行线的性质得到NBDC=NE,即可得到NR4Q=N

ADB,根据等角对等边得到进而得到从而证得NC=N3DC=NE.

【解答】证明：・・工。是△ACE的角平分线，

:・/DAC=/DAE,

*：BD//AE.

:.NADB=NDAE,NBDC=NE,

:.NBAD=NADB,

：.AB=BD,

：.BC=BD,

：.ZC=ZBDC,

：.4C=4E.

19.(5分)已知3/-x-1=0,求代数式(2x+5)(2x-5)+2x(x-1)的值.

【分析】首先利用多项式乘以多项式、多项式乘以单项式进行计算，然后再合并同类项,

化简后，再代入求值即可.

【解答】解：原式=47-25+3-2x=6?-2x-25,

V3?-%-1=0,

3J?-x=1.

原式=2(37-x)-25=2X1-25=-23.

20.(5分)下面是小明同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程.

己知：如图1,直线/和直线/外一点P.

求作：直线P。，使直线P。〃直线/.

作法：如图2,

①在直线/上取一点A,连接砂1；

②作物的垂直平分线MN,分别交直线/,线段限于点8,O；

③以。为圆心，08长为半径作弧，交直线于另一点Q

④作直线PQ,所以直线PQ为所求作的直线.

根据上述作图过程，回答问题：

(1)用直尺和圆规，补全图2中的图形(保留作图痕迹)；

(2)完成下面的证明：

证明：•••直线MN是用的垂直平分线，

：.PO=AO.ZPOQ=ZAOB=90°.

"：OQ=OB,

：./\POQ^/\AOB.

：.ZOPO=ZBAO.

：.PQ//l（内错角相等，两直线平行）（填推理的依据）.

【分析】（1）根据作法画出对应的几何图形；

（2）利用线段垂直平分线的性质得到PO=AO,NPOQ=NAOB=90°.则判断△P。。

丝△A08,从而得到/QP0=N840,然后根据平行线的判定得到结论.

【解答】解：（1）如图2,PQ为所作；

图2

（2）:直线MN是抬的垂直平分线，

：.PO=AO,NPOQ=NAOB=90°,

'：OQ=OB,

：./\POQ^^AOB,

：.ZQPO^ZBAO,

；.P。〃/（内错角相等，两直线平行）.

故答案为AO,ZQPO,ZBAO.内错角相等，两直线平行.

21.（5分）己知关于x的方程皿2+nx-2=0

（1）求证：当〃="-2时，方程总有两个实数根；

（2）若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的“，"的值，并求此时方

程的根.

【分析】（1）根据根的判别式符号进行判断；

（2）根据判别式以及一元二次方程的解法即可求出答案.

【解答】（1）证明：△=（w-2）2-4mX（-2）=/n2+4/n+4=（;w+2）2^0,

，方程总有两个实数根；

（2）由题意可知，m^O/\=n2-4/nX（-2）=/Z2+8/M=0,

即：”2=-8优.

以下答案不唯一，如：

当〃=4,机=-2时，方程为/-2x+l=0.

解得X\=X2=\.

22.（5分）2020年3月线上授课期间，小莹、小静和小新为了解所在学校九年级600名学

生居家减压方式情况，对该校九年级部分学生居家减压方式进行抽样调查.将居家减压

方式分为A（享受美食）、B（交流谈心）、C（室内体育活动）、D（听音乐）和E（其他

方式）五类，要求每位被调查者选择一种自己最常用的减压方式.他们将收集的数据进

行了整理，绘制的统计表分别为表1、表2和表3.

表1：小莹抽取60名男生居家减压方式统计表（单位：人）

减压方式ABCDE

人数463785

表2：小静随机抽取10名学生居家减压方式统计表（单位：人）

减压方式ABCDE

人数21331

表3：小新随机抽取60名学生居家减压方式统计表（单位：人）

减压方式ABCDE

人数65261310

根据以上材料，回答下列问题：

（1）小莹、小静和小新三人中，哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映出该校九年级

学生居家减压方式情况，并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处.

（2）根据三人中能较好地反映出该校九年级居家减压方式的调查结果，估计该校九年级

600名学生中利用室内体育活动方式进行减压的人数.

【分析】（1）根据抽取样本的原则，为使样本具有代表性、普遍性、可操作性的原则进

行判断；

（2）样本中“采取室内体育锻炼减缓压力”的占空，因此估计总体600人的空是采取

6060

室内体育锻炼减缓压力的人数.

【解答】解：（1）小新同学抽样调查的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方

式情况，小莹同学调查的只是男生，不具有代表性，小静同学调查的人数偏少，具有片

面性，对整体情况的反映容易造成偏差.

（2）600义空=260（人），

60

答：该校九年级600名学生中利用室内体育活动方式进行减压的大约有260人.

23.（5分）截止到2020年11月23日，全国832个国家级贫困县全部脱贫摘帽.某单位党

支部在“精准扶贫”活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗.已知每棵乙

种树苗的价格比甲种树苗的价格贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元

购买甲种树苗的棵数相同，求甲乙两种树苗每棵的价格.

【分析】设每棵甲种树苗的价格为x元，则每棵乙种树苗的价格为（x+10）元.根据用

480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，列出方程®_=

X+10

侬，进而可以解得答案.

X

【解答】解：设每棵甲种树苗的价格为X元，则每棵乙种树苗的价格为（X+10）元.

根据题意得，虫上=瓯6

x+10x

解得,x=30；

经检验x=30为原方程的解，且符合题意，

每棵乙种树苗的价格为：30+10=40（元），

答：每棵甲种树苗的价格为30元，则每棵乙种树苗的价格为40元.

24.（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线/：y=fcv+l（20）与函数、=典（x>0）

x

的图象G交于点A（1,2）,与x轴交于点8.

（1）求％zn的值；

（2）点P为图象G上一点，过点尸作x轴的平行线尸。交直线/于点。，作直线必交

x轴于点C,若SMPQ：SAACB=1：4,求点P的坐标.

【分析】(1)根据待定系数法求得即可；

(2)分两种情况讨论，通过证得△APQs^ACB,从而得到组」，即可求得P点的坐

AG2

标.

【解答】解：(1)将点A(1,2)代入y=H+l(A¥0)中，得什1=2,

・,•上=1,

将点4(1,2)代入丫=典(x>0)中得，找=2；

x

(2)①当点P在点A下方时，

过点A作AGJ_x轴，交直线PQ于点H,

/\APQ^/\ACB,

S

...fAP.2=AAPQ=2+

ACSAACB

•••-A--H=—1,

AG2

•.•点A(1,2),

.••点P纵坐标为1.

V/n=2,

，产点坐标为(2,1).

②当点P在点A上方时，

过点A作AGLx轴，交直线PQ于点H.

••/。平行于工轴，

^APQ^/\ACB.

：.("_)2=也西=(里)2=工

ACS/kACBAG4

•••AH1,

AG2

•.,点A(1,2),

.♦.P点纵坐标为3.

代入y=2得，x4，

x3

，户点坐标为(2,3)，

3

...P点坐标为(2,1)或(2,3).

3

25.(5分)如图，AB是。。的直径，AC切。。于点A,连接BC交。。于点。，点E是面

的中点，连接AE交3c于点F.

(I)求证：AC=CF；

(2)若AB=4,AC=3,求NBAE的正切值.

c

B

【分析】（1）连接BE,若要证明AC=C/，则只要证明NC4E=NEF8=NAFC即可；

（2）易证得8尸=2,根据cos/A8C=剪_=岖=生可求出8。的长，进而得到40和

ABBC5

DF的长，然后根据tan/BAE=tanND4E求得即可.

【解答】（1）证明：连接BE,

是00的切线，

AZCAB=90°，

,：AB是直径,

AZA£B=90°,

是弧BO的中点,

.*.DE=BE.

；.NBAE=NDBE,

：.ZCAE=ZEFB=ZAFC,

：.AC=CF；

(2)解：在RtZ\ABC中，48=4,AC=3,

/,BC=VAB2+AC2=5-

'：AC=CF=3,

：.BF=BC-CF=2.

,：AB是直径，

AZADB=90Q,

cosAABC=^-=^-=

ABBC5

：.BD=^-,

5

AD=22=

•■•VAB-BD^DF=BD-BF=1.

26.（7分）平面直角坐标系xOy中，抛物线-2如C+WJ2-3与y轴交于点A,过A作

AB〃x轴与直线x=4交于B点.

（1）抛物线的对称轴为x=m（用含"的代数式表示）；

（2）当抛物线经过点A,B时，求此时抛物线的表达式；

（3）记抛物线在线段AB下方的部分图象为G（包含A,8两点），点尸Cm,0）是x轴

上一动点，过户作PCx轴于P,交图象G于点。，交于点C,若CQW1,求相的

取值范围.

【分析】利用二次函数对称轴和顶点即可求解（1）（2）问；

（3）求出函数与x轴两个交点，求出£＞（〃?，-3）,由于CDW1,所有C要在x轴上方

的G区域，结合图象，即可求出坟的范围.

【解答】解：（1）根据抛物线的对称轴x=-互，代入得到犬=加；

2a

故答案为in；

（2）'.'y=x2-2mx+nr-3—（.x-nr）2-3,

抛物线顶点坐标为（〃?，-3）.

:抛物线经过点A,8时，且A8〃x轴,

...抛物线对称轴为X=/H=2.

...抛物线的表达式为y=»-4x+l；

(3)y=，-2g+京-3与y轴交于点4(01m2-3),顶点(〃?，-3),

•.•POLc轴，

.'.D(.m,-3),

VCZX1,

-3W〃，-3W-2,

-1W/nWl,

抛物线在线段AB下方的部分图象为G,

...机20,

.•.0W优W1.

27.(8分)如图，在等边三角形A8C右侧作射线CP,/ACP=a(0°<a<60°)，点A

关于射线CP的对称点为点。，BD交CP于■点、E,连接AD,AE.

(1)依题意补全图形；

(2)求3c的大小(用含a的代数式表示)；

(3)直接写出/AE8的度数；

(4)用等式表示线段AE,BD,CE之间的数量关系，并证明.

【分析】(1)根据题意画出图形即可；

(2)连接CD.根据线段AC和DC关于射线CP的对称，可得AC=DC,ZACE=ZDCE

=a.根据△ABC是等边三角形，即可表示NO8C的大小；

(3)在BE上取点尸，使NFCE=60°,连接C£>,设A。与CP交于点H,根据已知条

件证明△C3F丝△C4E(4SA),可得CF=CE,得/是等边三角形，进而可得/AE8

的度数；

(4)根据△CBF丝△C4E,可得BF=AE=QE,根据△CEF是等边三角形，进而可得线

段AE,BD,CE之间的数量关系.

【解答】解：（1）依题意补全图形如下:

(2)连接CD.

•.•线段AC和DC关于射线CP的对称，

：.AC=DC,ZACE=ZDCE=a.

「△ABC是等边三角形，

：.AC=BC,NAC8=60°.

:.BC=DC,ZBCD=600+2a.

AZDBC=ZBDC=y[180°-(60°+20)1=60°-a-

(3)ZAEB=60Q.理由如下：

如图，在BE上取点凡使/尸CE=60°,连接CD,设AO与CP交于点H,

•••△ABC是等边三角形，

：.AC=BC,ZACB=60°.

NACB-ZACF^/FCE-ZACF,

：.NBCF=NACE,

:点A和点。关于射线CP的对称，

；.PC是的垂直平分线，

:.AC=DC,AE=DE,ZACE=ZDCE=a.

：.ZCAD=ZCDA,ZEAD=ZEDAf

：.ZCAE=ZCDE,

*：BC=AC=DC9

：・4CBF=4CDE,

：.ZCBF=ZCAE9

在△CB/和△CAE中，

<ZCBF=ZCAE

<CB=CA，

ZBCF=ZACE

：./\CBF^/\CAE（ASA）,

:・CF=CE,

VZFCE=60°,

/\CEF是等边三角形，

：.ZCEF=60°,

AZAEH=ZDEH=ZCEF=60°,

AZAEB=180°-ZAEH-ZCEF=180°-60°-60°=60°；

（4）结论：BD=2AE+CE.理由如下：

由（1）知，AE=DE,

VACBF^ACAE,

：.BF=AE,

:・BF=AE=DE,

•••△CE/是等边三角形，

:.CE=EF,

：.BD=BF+FE+ED=CE+2AE.

28.（8分）在平面直角坐标系xO），中，对于任意两点M（©，yi）,N（垃，"），定义如下:

点M与点N的“直角距离”为m72|+仅1-”1，记作dMN.

例如：点M（L5）与N（7,2）的“直角距离"为加=