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文档简介
考点32直线、平面垂直的判定及其性质
旁拥展攵
(1)以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.
理解以下判定定理:
•如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直.
•如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直.
理解以下性质定理,并能够证明:
•如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.
(2)能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.
知识整合,
一、直线与平面垂直
1.定义
如果直线,与平面a内的任意一条直线都垂直,我们就说直线/与平面a互相垂直.记作:71%图形表示如
【注意】定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语,与“无数条直线”不是同义语.
2.直线与平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.
文字语言
他记为:线线垂直=线面垂直
I
图形语言V
符号语言7±a,J±b,aua,Zxza,ab=P01工a
作用判断直线与平面垂直
【注意】在应用该定理判断一条直线和一个平面垂直时,一定要注意是这条直线和平面内的两条相交直线垂直,
而不是任意的两条直线.
3.直线与平面垂直的性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行.
文字语言
简记为:线面垂直今线线平行
ab
图形语言
勺1r.
a.La}=a//b
符号语言
h.La
①证明两直线平行;
作用
②构造平行线.
4.直线与平面所成的角
(1)定义:一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交
点叫做斜足.
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影.
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的里镐,叫做这条直线和这个平面所成的角.
(2)规定:一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角等于9();一条直线和平面平行,或在平面内,我们说
7T
它们所成的角等于0.因此,直线与平面所成的角a的范围是[0,巴].
.......................2
5.常用结论(熟记)
(1)若两条平行线中一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.
(2)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内任何一条直线.
(3)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
(4)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
二、平面与平面垂直
1.定义
两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.平面。与平面£垂直,记作
7.图形表示如下:
2.平面与平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.
文字语言
简记为:线面垂直=面面垂直
1
图形语言7
符号语言7±o,lu°0。1B
作用判断两平面垂直
3.平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
文字语言
简记为:面面垂直=线线平行
a
a
图形语言
J
a。=1
符号语言=Q_L£
aua
a-LI
作用证明直线与平面垂直
4.二面角
(1)二面角的定义:平面内的一条直线把平面分成两部分,这两部分通常称为半平面.
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做三面扁.
这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.
(2)二面角的平面角的定义:在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的射
线,则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角.
(3)二面角的范围:[0,兀].
5.常用结论(熟记)
(1)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直.
(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.
(3)如果两个平面互相垂直,那么过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.
三、垂直问题的转化关系
平面几何的定理
线线垂直
、'~7T~~ST
考向一线面垂直的判定与性质
线面垂直问题的常见类型及解题策略:
(1)与命题真假判断有关的问题.
解决此类问题的方法是结合图形进行推理,或者依据条件举出反例否定.
(2)证明直线和平面垂直的常用方法:
①线面垂直的定义;
②判定定理;
③垂直于平面的传递性(a//h,a1a=>b1a^
④面面平行的性质(。_Le,a〃/=a_L/?);
⑤面面垂直的性质.
(3)线面垂直的证明.
证明线面垂直的核心是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此,判定定理与性质定理的合理
转化是证明线面垂直的基本思想.
(4)线面垂直的探索性问题.
①对命题条件的探索常采用以下三种方法:
a.先猜后证,即先观察与尝试给出条件再证明;
b.先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件,再证明其充分性;
c.把几何问题转化为代数问题,探索命题成立的条件.
②对命题结论的探索常采用以下方法:
首先假设结论存在,然后在这个假设下进行推理论证,如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设,如果得到
了矛盾的结果就否定假设.
典例引领
典例1如图所示,A/WB和A4DC都是以。为直角顶点的等腰直角三角形,且/B4C=60。,下列说法中错误的是
A.4DJL平面BDCB.BD1平面4DC
C.DC_L平面4BDD.BCL平面力BD
【答案】D
【解析】易知幺。J-BD,ADLDC.所以AD坪面BDC:
又匕ABD与△4DC均为以。为直角顶点的等股直角三角形.所以AB=AC,BD=DC=^AB.
02
又乙R4C=60。,所以△加C为等边三角形:
故BC=AB=MBD,
所以zBDC=90:即BD±DC.
所以BD_L平面ADC,
同理。CJ_平面月BD.故选D.
变式拓展
1.如图,在棱长为I的正方体ABC。一A4GA中,点E、尸分别是棱BC、CG的中点,P是底面ABC。上(含
边界)一动点,且满足42,石广,则线段4P长度的取值范围是
A
A"
A.1,----
2
c.[1,6]
典例引领
典例2如图,在三棱柱4BC-4B1G中,各个侧面均是边长为2的正方形,。为线段4c的中点.
(1)求证:平面"C/1;
(2)求证:直线.BiII平面BC/;
(3)设M为线段PG上任意一点,在△8G。内的平面区域(包括边界)是否存在点&使CE_LDM?请说明理由.
【解析】(1)♦.•三棱柱“BO-"/]C】中,各个侧面均是边长为2的正方形,
..CC\LBC,CCALAC
...西1,平面/Z?C,
又・・・BDu平面48C,
工BD,
又底面为等边三龟形,防线段4C的中点,
LAC,
又7tCnCCt=C,
:.BD呼面ACC/*.
<2)如图,连接8,C交BC,于点0,连接。。,
则。为B.C的中点,
・10是AC的卬点,,・.。01小4,
又。Du平面8JD,佃砰面BCJ),
・.・线AB.I平面8QD.
(3)在△3£。内的平面区域(包括边界)存在点M使CELDM,此时E在线段加。上,证明如下:
如图,过c作CE,G。,交线段CW于点E,
由(1)可知,BD_L平面
又CEu平面4CC/1,BD1CE,
由C/?_LC[/),BDr\C\D=D,得CE_L平面
・.・DMu平面BC1。,
・,.CE1DM,
变式拓展
2.如图1所示,在Rt^ABC中,/e90°,D,〃分别为〃;46的中点,点尸为线段⑺上的一点,将△ADE沿
理折起到的位置,使4月15,如图2所示.
4
(1)求证:A.F1BE;
(2)线段A8上是否存在点0,使平面OE。?说明理由.
考向二面面垂直的判定与性质
判定面面垂直的常见策略:
(1)利用定义(直二面角).
(2)判定定理:可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.
(3)在运用面面垂直的性质定理时,若没有与交线垂直的直线,则一般需作辅助线,基本作法是过其中一个平面内
一点作交线的垂线,这样就把面面垂直转化为线面垂直,进而转化为线线垂直.
典例引领
11
,EF=EB=-FC=2EA=-FD
典例3已知在梯形/BC。中,AB〃CD,瓦F分别为底上的点,且EF14纥2,2,沿
EF将平面AEFD折起至平面4EFDL平面EBCF,如图.
F
(1)求证:平面BCDl平面BDF;
(2)若AE=2,求多面体4BCDEF的体积.
【解析】(1)由平面4EFD,平面EBCF,且DF_LEF知DF,平面EBCF.
而DFU平面BDF,所以平面BDF,平面EBCF一
由BF=2a,BC=2&、FC=4,+BC1=FC1,即BCJ.BF,
又3CU平面EBCF,
所以BC1•平面8DF.
又BCU平面BCD,所以平面BCD_L平面BD广.
(2)依题意知,多面体4BCDE广是三棱台力BE—D仃,
易得高为EF=2,
两个底面面积分别是2和8,
故体积为:X(2+8+V25T8)=
典例4如图,直三棱柱4BC中,C,E分别是的中点,AB=BC
(1)证明:BG〃平面&CD;
(2)证明:平面”/Cl平面4CC/1
【解析】⑴连接A仔点。茂接DO.则。罡4c■的中点.
因为醍4时卬点用以。0〃8口.
因为ODU平面4CD.8Q《平面人约,
所以BCW平面41s.
(2)取AC的中点F,逢柒E0.OF,F3,
瞅。是AC,的中也
眦、OF/AL4.且。F=;44,.
显然B£"A4,且BE=;AA,,
瞅"〃8E目OF=BE,
则四边形BEOF是平行四边形.
所以EO〃BF,
因为4B=BC,所以BFJ.4C.
又BF1cq
所以直线BF1平面47cl勺.
因为EO〃BF,所以直线E。,平面4CC']
因为EOu平面4/C,
所以平面4/C'平面"CC/r
变式拓展
3.如图所示,M,N,夕分别是正方体ABC。-A4G。的棱16,BC,上的点.
(1)若空=",求证:无论点P在D仄上如何移动,总有BPJLMN;
MANC
(2)棱如上是否存在这样的点只使得平面A尸G,平面AACG?证明你的结论.
考向三线面角与二面角
求直线与平面所成的角的方法:
(1)求直线和平面所成角的步骤:
①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线;
②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影,斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角;
③把该角归结在某个三角形中,通过解三角形,求出该角.
(2)求线面角的技巧:
在上述步骤中,其中作角是关键,而确定斜线在平面内的射影是作角的关键,几何图形的特征是找射影的依据,射
影一般都是一些特殊的点,比如中心、垂心、重心等.
求二面角大小的步骤:
简称为“一作二证三求”.作平面角时,一定要注意顶点的选择.
典例引领
典例5正三棱柱ABC—a4G的所有棱长都相等,。是AG的中点,则直线力。与平面4。。所成角的正弦值为
C
-I-5
【答案】B
【解析】解法一:由正三棱柱的所有棱长都相等,依据题设条件,可知为DJ■平面4CD,.•.用DJ_DC,
故为直角三角形.设棱长为1,则有㈤=乎=乎:DC=当,
=gx与x*
///8
设A到平面BXDC的距离为h,则有匕t0c=%皿,
.1,„1„.1,V151731.2
••WXAXSA”£C=§x3DinDxS△皿,•.§xAx-y-,..h=~i=.
h4
设直线AD与平面BXDC所成的角为仇则sin8===J
AD5
解法二:在正三棱柱中,由D为4G中点可证4D1平面400,如图,作团JLCD,,4DJL49•
又B、DCZ)=£>,...々/"L平面4。。,.../AOH为所求的线面角.
设棱长为2,在“。力中由等面积法得A"=*,
5
4.
c4
AsinZADH=-^=-9故选B.
V55
典例6如图,直三棱柱ABC-A旦G的底面是边长为2的正三角形,E,尸分别是BC,CG的中点.
(1)证明:平面平面48CC1;
(2)若直线AC与平面AA8与所成的角为45°,求三棱锥F-AEC的体积.
【解析】(1)因为三棱柱ABC-44G是直三棱柱,
所以AE工BB],
又E是正三角形A8C的边BC的中点,
所以AEJ.8C,因此AEL平面qBCC,
而AEu平面4E/L
所以平面AEF1平面BMC「
(2)如图,设A8的中点为。,连接A。。。,
硒ZUfC是正三角附,
f^XCDlAB,
又三畏柱ABC-4AG是鹿三慢柱,
所以CD,/4,因此CD,平面4.M因,于是/JD罡*线4c与平面4H14所成的角.
的遗飒/。。・45二W4D-a>-gw,6.
在RtA<4D中,伏.(3一心,
瞅FV=:幺邛,
虻接错尸-皿mf?『=,$3■«?=]XX.
332112
变式拓展
4.如图,四边形4BCD为矩形,四边形BCEF为直角梯形,BF//CE.BF1BC.BF<CE.BF=2.AB=l^D=75.
(1)求证:BC1AF-
(2)求证:力尸〃平面OCE;
(3)若二面角E-BC-4的大小为120°,求直线DF与平面4BCD所成的角.
典例引领
典例7已知四(力是正方形,6是四的中点,将△D4E和△C8E分别沿应'、〃折起,使四与跖重合,4、B
两点重合后记为点只那么二面角尸-CO-E的大小为^
【答案】30
【解析】如图,取8中点尸,连接及、EF.
':EP]_PD,EPVPC,「.EPl平面PCD,:.EP1CD.
;PC=PD,:.PF]_CD,
又抄TB£=P,,CD1平面PSF,
又Mz平面2£F,:.CD]_EFf
二.乙PFE为二面角P-CD-E的平面角.
设正方形力腼的边长为2,
在RtZ\EFP中,峪1,EF=2,快30°.
【名师点睛】(1)二面角的平面角的顶点是二面角棱上任意一点.为了解题方便,可以把其放在某一特殊位置,这
要具体问题具体分析.
(2)求二面角的关键是找出(或作出)平面角,再把平面角放到三角形中求解.一般采取垂线法来作平面角,即过
二面角的一个半平面内且不在棱上的一点作另一个半平面的垂线,过垂足作棱的垂线,利用线面垂直可找到二面
角的平面角或其补角.
典例8在A4BC中,4B=4,4C=4&/B4C=45°,以4c的中线BD为折痕,将A4BD沿BD折起,如图所示,构成二
面角A_BD_C,在平面BCD内作CE1CD,且CE=@
(1)求证:CE〃平面4BC;
(2)如果二面角A-ED-C的大小为90°,求二面角B-4C-E的余弦值.
【解析】(1)由48=4/0=4蜴/840=45°得80=4,
所以A4BC为等腰直角三角形,
由“为4c的中点得BDJ.4C,
以4c的中线BD为折痕翻折后仍有BDJ.C。
因为CEJ.O),所以CE〃BD,
又CEU平面4BC,8。<=平面48。,
所以CE〃平面4BD.
(2)因为二面角"-8。-。的大小为90°,所以平面4BD1平面BDC,
又平面"8。n平面8DC=BD,A'D1BD,
所以4D,平面5DC,因此父D1CE,
又C£LCD,A*DOCD=D,
所以CE工平面A'CD,从而C£LAX,
由题意矛。,DC・2V2,
所以在RWTDC冲,4y=4.
如图,设*ap点为F,遁接万尸,
因为川8■bC■4,所以5F1AX,且5万■2火,
如图,设*£的中点为明连接FG,BG,则FG〃CE,
由口?1A'C^FGXA'C,
所以的G为二曲角8-4七-E的平面角,
如图,连接6M在ABCE中,因力欣:=4.C£=〃"C£=13S・,所以8£=g.
在RtADCE中,DI:=J(2/)2+(®2=/Q
于是在RtA/TDE中,A'E=J(2#)2+(g)2=3姆
在A/TBE中,BG1=-A'B2+-BE2--A'E2=—
2242
12+]__33
所以在AEFG中,cosNBFG=----〜-%=
2x2A/3x—
2
因此二面角B-4C-E的余弦值为一迈.
3
变式拓展
5.如图,在长方体A8CD—中,AD=AAi=l,AB=2,点£是线段的中点.
(1)求证:DQCE;
(2)求二面角2-EC-。的正切值.
、声点冲关声
1.下列命题中不正确的是
A.如果平面平面J3,且直线/〃平面a,则直线平面£
B.如果平面。,平面£,那么平面a内一定存在直线平行于平面£
C.如果平面a不垂直于平面B,那么平面a内一定不存在直线垂直于平面B
D.如果平面aJL平面y,平面£1.平面y,aD8=1,那么7±y
2.设a,b,c表示三条直线,a,£表示两个平面,则下列命题中不正确的是
aLb
c±a
A.nc10B.bu。
a//p
c是a在£内的射影
b//c
a//a
C.Aua}=c//aD.>=>bA.a
bLa
c<za
3.如图,在三棱锥P-ABC中,PAj_底面ABC,PA=ACf则直线PC与平面4BC所成角的大小为
A.30°
C.60°D.90
4.如图,三条相交于点〃的线段为,PB,尸C两两垂直,〃在平面48。外,PH上平面ABC于H,则垂足,是△四C的
A.外心
C.垂心D.重心
5.如图,4B,以〃为空间四点,在AABC中,AF2,AUBO业,等边三角形力施以四为轴旋转,当平面力〃从L平面ABC
时,CD-
A.y/3B.2
C.在D.1
6.如图,已知六棱锥人力8。%尸的底面是正六边形,为1.平面力比,PA=2AB,则下列结论正确的是
A*
A.PBLADB.平面月1员L平面月%1
C.直线及7〃平面为£D.直线如与平面4%所成的角为45°
7.《九章算术》卷五《商功》中有如下问题:今有刍薨,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈,问积几
何?问题中“刍薨”指的是底面为矩形的屋脊状的几何体,如图1,该几何体可由图2中的八边形4BCDEFGH沿
BG,CF向上折起,使得4H与DE重合而成,设网格纸上每个小正方形的边长为1,则此“刍蔑”中EF与平面BCFG
所成角的正弦值为
ai
A.5
yio
C.5
8.如图,在矩形ABCD中,4庐2,AIA3,点E为4〃的中点,现分别沿BE,CE'将丛ABE,△〃应翻折,使得点4。重合于点
F,此时二面角6的余弦值为
3
A.-
4
C.2D.亚
33
9.已知。,£是平面,m、〃是直线,给出下列命题:
①若必,a,见6,则a,£;
②若ma.a,no.a,m//B,n//B,则a〃£;
③如果mea,rAa,m,〃是异面直线,那么〃与。相交;
④若aD8=m,n//m,且Ma,加£,则n//a且n//£.
其中命题正确的是.
10.如图,三棱锥P-ABC,平面P4BJ.平面PBC,若PB1BC则△4BC的形状为,
11.在四面体AB。。中,DAL^ABC,ABLAC,4B=4,4c=3,4D=1,E为棱BC上一点,且平面4DEJL平面BCD,
贝ijCE=
12.如图,在三棱锥产一486'中,为,底面48GZBAC=90°,尸是/C的中点,£是%上的点,且加上6G则
PE
~EC
13.如图所示,在四棱锥P-A3c。中,为,底面4以力,且底面各边都相等,"是用上的一动点,当〃忆
时,平面期初,平面/HZ
14.四棱锥4-BCDE中,EB//DC,且EB_L平面4BC,EB=1,DC=BC=4B=4C=2尸是棱4D的中点.
(1)证明:EFl平面4CD;
(2)求三棱锥D-ACE的体积.
15.如图,已知四边形力BCD是正方形,PCJ_平面力BCD,CD=PD=2EA,PD//EA,F,G,"分别为PB,BE,PC的
中点.
(1)求证:GH〃平面血E;
(2)求证:平面FGHJ.平面PCD.
16.如图,在正方体ABCD—44G。中,£1为棱G2的中点,尸为棱比1的中点.
(1)求证:直线/氏L直线ZH;
(2)在线段44上求一点G,使得直线4£二平面"&?并说明理由.
17.如图,已知三棱锥产一/8c中,//8=90°,CB=4,4庐20,。为川?的中点,且△PDB是正三角形,PALPC.
(1)求证:平面为C_L平面ABC;
(2)求二面角万力户一C的正弦值;
(3)若"为外的中点,求三棱锥,“一及力的体积.
18.如图,已知多面体P48CDE的底面4BCD是边长为2的菱形,PA_L底面48CD,E£»//P4且P4=2ED=2.
(1)证明:平面P4CJ■平面PCE;
(2)若直线PC与平面4BCD所成的角为45。,求直线CD与平面PCE所成角的正弦值.
直通高考
1.(2017浙江)如图,已知正四面体D-A3C(所有棱长均相等的三棱锥),P,Q,〃分别为力氏BC,O上的点,
BQCR_
AP=PB,2,分别记二面角〃-掰-0,D-PQ-R,薪-尸的平面角为0以/,则
~QC~~RA~
A.y<a<pB.a<y<0
C.a</3<yD.0<y<a
2.(2018江苏)在平行六面体ABCD-AgG"中,A4,=AB,Ag_L4G.
Dy
求证:(i)4?〃平面AAC;
(2)平面_L平面ABC.
a
3.(2018浙江)如图,已知多面体4?。山G,448历,GC均垂直于平面ZABC=12Q,AtA=4,Cx(=\,AB=BC=B,B=2.
(I)证明:4旦,平面484;
(ID求直线与平面{防所成的角的正弦值.
4.(2018新课标全国I理科)如图,四边形A8CO为正方形,E,尸分别为AD,BC的中点,以。口为折痕把△OR7
折起,使点C到达点P的位置,且
(1)证明:平面PE77_1_平面A8FD;
(2)求。P与平面A8FO所成角的正弦值.
5.(2017新课标全国m理科节选)如图,四面体4腼中,△48。是正三角形,①是直角三角形,
/AB2NCBD,AB=BD.
(1)证明:平面平面45c
6.(2016新课标全国H理科节选)如图,菱形力用力的对角线〃1与被交于点0,4片5,JO6,点£,厂分别在AD,
CD上,A^CF--,0交劭于点〃将△两沿"折到△D'EF的位置,。。'=厢.
4
(1)证明:O'"_L平面/应。
If
7.(2017江苏)如图,在三棱锥中,ABLAD,BCVBD,平面4®J_平面8微点区F(E与A,〃不重合)
分别在棱/〃,BD上,且£7」/〃.
求证:(1)&,〃平面46。
(2)AD1.AC.
8.(2017山东理科)如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形A8CD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴
旋转120。得到的,G是。F的中点.
(1)设P是CE上的一点,且求NCBP的大小;
(2)当AB=3,AD=2时,求二面角E-AG-C的大小.
般参考答案.
变式拓展
-----
1.【答案】D
【解析】因为CDJ■平面AS。。,EFu平面ABiGC,所以CDJ.即,
又因为EFNBGWq_L与C,即,与C所以可得即_L平面4与CD,
当点尸在线段CD上时,总有4尸,即,
所以4P的最大值为4。=/,最小值为40=/,
则线段4P长度的取值范围是[JI故选D.
2.【解析】(1)由已知得ICLZT且应1〃比;
所以DELAC.
所以r>E,Anz)£,cr).
又A。。>=。,4。(=平面4。0,8匚平面4。。,
所以应_L平面AtDC.
因为4/t平面AiDC,
所以应_L4之
又因为AF,CD,CDDE=D,CDu平面BCDE,DEu平面BCDE,
所以4/U平面BCDE,
又BEu平面BCDE,
所以4EL班:
(2)线段AB上存在点0,使平面庞2
理由如下:
如图所示,分别取4C,48的中点月Q,连接圾QE,PQ,则闾〃6C
又因为DE//BC,
所以施〃做
所以平面DEQ即为平面DEP.
由(D知,OE1平面4DC,
所以D&1由C.
又因为P是等腰三角形上)4c底边出C的中点,
所以4C1DR
又DP(\DE=Df1*u平面DEP,DEu平面DEP,
所以4cl平面。耳P从而由Cl平面DEQ.
故线段幺田上存在点Q,使出C1平面DEQ.
3.【解析】⑴连接则皿山C
..BMBN
"MA~NC
:.MN//AC,
:.BD1MN,
平面46s.物化平面力6",
:.D队LMN,
:.渺小平面8MlB\.
':无论P在D仄上如何移动,总有B空平面BDD,B\,
总有MNVBP.
(2)存在点只且一为㈤的中点,使得平面40GJ_平面/MCG.
证明如下:
由题意可得BD\_CC\,
XBDVAC,ACHCC^C,
二位比平面AxACQ.
连接Bq,与4cl的交点为其连接PE,则PE//BD,
阳"平面AJCG.
又止平面aG,
平面加&,平面AM.
4.【解析】⑴•.•四边形4ECD为矩形,.•/BJ.BC,
又,「BFL8cMs.8F是平面ABF内的两条相交直线
.二8c1•平面A8F.
":AFu平面A8F/.6C1AF
(2)在CE上取一点M使CM=BF,连接尸M,
二四边形BCMF为平行四边影,
*AD,
,四边形4D“F为平1亍四边形,
.•.加7/DM.
•:DMu平面OCE.4F丈平面DCE,
.二"〃平面DCE.
(3)\BC1AB.BCL加二乙46下就是二面角七-BC-A的平面角.
,\AABF=120°,
•/BF=2^46=1,40=&,.•.”=^AB2+BF2-2AB-BFCOSLABF=j,
在直角A4。尸中,°F="加+犷=2平,
过F作FN与4B的延长线垂直,N是垂足,连接ND,
.•.在RtAFNb中,FN=小,
•:BC_L平面48F,BCu平面4BCD,.♦.平面4BFJ.平面4BCD,
...FN_L平面4BCD,
.•."DN是直线DF与平面4BC。所成的角,
在RtAFDN中,sin/FDN=——=-=
DF2G2
,4FDN=30".
则直线OF与平面4BCD所成的角为30°.
5.【解析】(1)因为。",平面45Q9,CEu平面A8CO,
所以DD】J_C£\
11
在RtZ\D空中,AD=lAE=l,DE=ylAD+AE
同理,得CE=&,又8=2,则CD2=CE2+DE\即DE,.,
又DDJCE,DEC\DDi=D,
故CE_L平面DQE.
又D]Eu平面DQE,
故DiE工CE-
(2)由(1)可知/口即是所求二面角口1一项7-。的平面角一
在RtZkA匹中,DD1=LDE=^l2,
故tanZ^ED=+=孝即二面角EC-D的正切值为当.
考点冲关
--------
1.【答案】A
【解析】对于选项A,/〃平面a,/可能在平面B内,/可能与平面月平行,/可能与平面万相交.故本题
选A.
2.【答案】D
【解析】对于选项D,可能还有6〃。,或者6在。内,所以D不正确.
3.【答案】B
【解析】由题意可知,P4,底面4BC,所以nPS为直线PC与平面ABC所成的角,因为P4=4C,所以△PCA为
等腰直角三角形,所以/PS=45°,故选B.
4.【答案】C
【解析】连接4H并延长交BC于〃,连接P。,■■PAl.PB.PAl.PC,PBnPC=P,尸/!_L平面PBC,则P4J.BC,又
PH1平面4BC,则PH±BC,又P4fiPH=P,.•.BC_L平面P4D,则BCUD,同理4B1CH,故垂足〃是△/)比1的
垂心,选C.
5.【答案】B
【解析】取四的中点£连接〃笫因为△/!如是等边三角形,所以氏当平面力用L平面四。时,因为平
面C平面ABOAB,所以〃反1平面ABC,可知DEVCE.由已知可得D斤平,EO\,在RSDEC
中,丘切产+哈
6.【答案】D
【解析】在A中,因为加与阳在平面内的射影不垂直,所以不成立;
在B中,因为平面以6,平面PAE,所以平面处6J_平面PBC也不成立,所以不正确;
在C中,因为BC//AD,比1不在平面必〃内,力〃在平面必〃所以8。/平面PAD,所以直线应■〃平面必£也不成立,所
以C不成立.
在D中,在直角三角形为〃中,PA=AD^AB,所以直线勿与平面/以所成的角为45°,所以是正确的,故选D.
7.【答案】A
【解析】如图,取FG中点M,连接EM,过点E作E01.平面BCFG,连接F。,0M,则“F。为直线EF与平面BCFG所
OEJ15
成的角,易知尸M=l,0M=1,EF=EG=®所以EM=2,0E=,5,则EF^/55.
8.【答案】B
【解析】如图所示,取6c的中点P,连接EP,FP,由题意得B2c打2,所以PFX.BC.
,
又EB=EC=“|尸+2“=|,所以EP1BC,
所以/即尸为二面角耳3C-尸的平面角,
而FP=^FB2-(^BC)2=^22-(1)24,
.79_
EP1+FP1-EF24+4~4忑
在AEPF中,cosZ£PF=---------------------=告=——
伍八"十'2EPFP…币4n
2x2xX_
2
所以二面角比3CF的余弦值为¥.
9.【答案】①④
【解析】①是平面与平面垂直的判定定理,所以①正确;
②中,m,〃不一定是相交直线,不符合两个平面平行的判定定理,所以②不正确;
③中,还可能"〃。,所以③不正确;
④中,由于〃〃卬,rda,z»ca,则〃〃a,同理〃〃£,所以④正确.
故填①④.
10.【答案】直角三角形
【解析】;平面P4BJ.平面PBC,平面P4BC平面PBC=PB,PBJ.B&BCU平面PBC,
.♦.BCJ.平面P4B,BC1AB,
.•.△4BC为直角三角形,故答案为直角三角形.
13
11.【答案】至
【解析】过力作4HLDE,因为平面4DE_L平面BCD,且平面/IDEr>平面BCD=DE,
.,•4H1平面BCD,.-.AH±BC
又4D18C,・・・BC_L平面ADE,BCLAE,
3x413
-AE=-------,AD=lDE=—
5f5,
12.【答案】1
【解析】在三棱锥尸一国。中,因为用1底面45GN&JU90。,所以平面⑷Y*.
因为班u平面PAC,所以EFLAB,
因为EF1BC,BCnAB=B,
所以第1底面3:,所以尸,
因为尸是幺C的中点,£是PC上的点,
所以后是PC的中点,所以会=L
EC
13.【答案】PC
【解析】由相关定理可知,见LPC.当"ILLPC时,则有PCL平面劭切.
而止平面闱9,所以平面,监牝L平面故Z所以应填尸C
14.【解析】⑴如图,取4C中点M,连接
FM=-DC=l
•”是4。中点,.•JM〃DC,且2
又因为EB〃DC,.•.尸M〃EB.
又=1,.•.FM=E2,
四边形FMBE是平行四边形,
又BC=4B=4C,.•.△4BC是等边三角形,
:.BMLACt
♦:EB1平面/,・.C。_L平面/BC,...CDJLBM,
;.BM,平面4C。,./P,平面4C0.
(2)三楂锥。一A际R-DCE.
取BC的中点NJ1接所加图,
:△血是正三角形二•出VLBC.AN^^BC■6
•:EB«L平面iWC,,£61AN,:.ANJ•平面6CDE,朋是三棱锥A-"E的高
三楼推A—DC£^H^枳5'——'AN'—G^'SC^^5x—*2x2■—^5
3,J
15.【解析】(1)如图,分别取PD的中点M,E力的中点N.连接MH,NG,MN,
MH//-CDNG幺LAB
因为G,H分别为BE,PC的中点,所以2,2,
因为AB与CD平行且相等,所以M"平行且等于NG,
故四边形G〃MN是平行四边形.所以GH〃MN.
又因为GH<t平面PD4E,”/70:平面。。4后,
所以GH〃平面PZME.
(2)因为P。,平面4BCD,BCu平面4BCD,所以PDJ.8C.
因为BC1.C。,PDcCD=D,所以BC1平面PC。
因为尸,"分别为PB、PC的中点,所以F?/〃BC.
所以FH_L平面PCD.
因为尸Hu平面FGH,所以平面FGH1平面PCD.
16•【解析】(1)如图,连接的,BG,由正方体的性质可知,DA,±ADVDA,±AB,
又ABADt=A,
...DA,,平面A8G2,
又AEu平面A8C12,
/.D\±AE.
(2)所求G点即为4点,证明如下:
由(1)可知AE_LD4],取切的中点〃,连接///,EH,如图,
由OF,AH,力/_LEH,AHEH=H,可证加工平面
•.3所平面4班;
J.DFLAE.
又DF4。=。,
平面DFA^,即4瓦1_平面DFG.
17•【解析】(1)♦
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