2016年概率论期末试卷集合

诚信应考，考试作弊将带来严重后果!

华南理工大学期末试卷

《概率论与数理统计》试卷A卷

(2学分用)(注：此份试卷初认为是07年1月考，2005级)

注意事项：1.考前请将密封线内各项信息填写清楚；

2.解答就答在试卷上；

3.考试形式：闭卷；

4.本试卷共八大题，满分100分，考试时间120分钟。

>.

题号一二三四五八七八总分

得分

评卷人

注：标准正态分布的分布函数值

①(2.33)=0.9901；①(2.48)=0.9934；①(1.67)=0.9525

一、选择题(每题3分，共18分)

1.设A、B均为非零概率事件，且AuB成立，则()

A.P(AUB)=P(A)+P(B)B.P(AB)=P(A)P(B)

C.P(A|B)=^^D.P(A-B)=P(A)-P(B)

P(B)

2.掷三枚均匀硬币，若A=｛两个正面，一个反面｝，则有P(A)=()

A.1/2B.1/4C.3/8D.1/8

3.对于任意两个随机变量J和〃，若E(J〃)=EJE〃，则有()

A.D(g〃)=DJD〃B.D(g+〃)=D&+D〃

C.&和〃独立D.4和〃不独立

4.设P(x)=J2sinx，'若p(x)是某随机变量的密度函数，则常数人=()

0,x仁［0,

A.1/2B.1/3C.1D.3/2

16

5.若Q,42,…，彳6相互独立，分布都服从N(u,/),则i)2的密度函

bi=l

数最可能是()

畜产,z〉。

B.f(-)=-L=e：2,'2

A.f(z)=<z,-oo<z<4-oo

J12.

0,z<0

~,z〉。

_72/19

C.f(z)=—­：：—c’,-00<z<+00D.f(z)=

0,z<0

6.设(J,〃)服从二维正态分布，则下列说法中错误的是()

A.必,〃)的边际分布仍然是正态分布

B.由(J,〃)的边际分布可完全确定(J，〃)的联合分布

C.(自，为二维连续性随机变量

D.J与〃相互独立的充要条件为异与"的相关系数为0

二、填空题(每空3分，共27分)

1.设随机变量X服从普阿松分布，且P(X=3)=—e-2,则EX=。

3-----------

2.已知DX=25,DY=36,rXY=0.4,贝Ucov(X,Y)=.

3.设离散型随机变量X分布率为P{X=k}=5A(3"(k=l,2,…)，则A=.

2--------

4.设自表示10次独立重复试验中命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.6,则42的

数学期望E42)=.

\--^r>o

5.设随机变量J的分布函数F(x)=/e'(2>0),则4的密度函数

0,x<0

p(x)=,EJ=,DJ=.

6.设X〜N(2,er?),且P{2<X<4}=0.3,则P{X<0}=

7.袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的。现在两个人不放回地依次从袋中随机

各取一球，则第二人取到黄球的概率是。

三、（本题8分）在房间里有10个人，分别佩戴从1到10号的纪念章，任选3人纪录其纪

念章的号码，试求下列事件的概率：

（1）A="最小号码为6"；（2）B="不含号码4或6”。

四、（本题12分）设二维随机变量（J,77）具有密度函数

Ce-2（x+y）,x>0,y>0

其它

试求（1）常数C；（2）P（J+〃<1）;（3）J与〃是否相互独立？为什么？

（4）J和〃的数学期望、方差、协方差。

五、（本题8分）已知产品中96%为合格品。现有一种简化的检查方法，它把真正的合格品

确认为合格品的概率为0.98,而误认废品为合格品的概率为0.05.求在这种简化检查下被认

为是合格品的一个产品确实是合格品的概率？

六、（本题8分）一个复杂的系统由100个相互独立起作用的部件所组成。在运行期间，每

个部件损坏的概率为0.1,而为了使整个系统正常工作，至少必须有85个部件工作。求整

个系统正常工作的概率。

七、（本题12分）有一类特定人群的出事率为0.0003,出事赔偿每人30万元，预计有500

万以上这样的人投保。若每人收费M元（以整拾元为单位，以便于收费管理。如122元就取

为130元、427元取成430元等），其中需要支付保险公司的成本及税费，占收费的40%,问

M至少要多少时才能以不低于99%的概率保证保险公司在此项保险中获得60万元以上的利

润？

八、（本题7分）叙述大数定理，并证明下列随机变量序列服从大数定理。

’-0匹、

n=2,3,4…

1-2/n

2005级概率论与数理统计试卷A卷参考答案

、

1.C

注释：由“AuB成立”得P（A）=P（AB）

P(AB)

故P(AIB)=P(A)

P(B)雨

2.C

3.B

注释：参考课本86页

4.B

注释:j；2sinxdx=l

?5.

6.B

A项参见课本64页，D项参见课本86页

二、

1.2

注释：若X服从Poisson分布，贝l」EX=/l,DX=2a(课本84页)

2.12

注释：cov(X,Y)=rxyyjDXDYo(参考课本86页)

3.1/5

注释：运用等比求和公式s=)

i-q

4.38.4

注释：5/2)=。4+(后92,对于4B(n,p),E^=np,D^=npq

Ae~u,x>Q

5.p(x)=<

0,x<0

6.0.2

注释：类似2006级试卷填空题第6题

7.2/5

三、

(1)1/20;(2)14/15

C；

注释：(1)P(A)=,C：表示从7、8、9、10这四个数中选两个;

C,3o

(2)万="三个号码中既含4又含6”

四、(1)C=4;

⑵P{J+〃<1}=1dx4e-2"+»dy=l-3e2;

⑶

x>Q_2e^2y_y>0

，p〃(y)

x<0-0y<0

因「式工卜0/田二汉匕:^故^与〃独立

?⑷

g与〃独立，所以cov(J,77)=0

=0x.2e-lxdx=I，E$=「x?.2e-2xdx=^

故”=塔2_(即2=j.

4

同理，En=Dn--

24

五、0.9979

注释：运用全概率公式，类似2006级试卷第三题

六、0.9525

注释：设这100个部件中没有损坏部件数为X,

则X服从二项分布8(100,0.9),且有

______EX=np=100x0.9=90,DX=npq=90x0.1=9

由拉普拉斯定理，

P(a<X<b}«0(-0(

故至少须有85个部件工作的概率为：

85-90

P{X>85)«1-0>(―『)=1-0)(-1.67)=0>(1.67)=0.9525

七、M=160

注释：设出事人数为X,则有XB(5000000,0.0003)

EX=5000000x0.0003=1500,DX=5000000x0.0003x0.9997®1500

若要以99%的概率保证保险公司在此项保险中获得60万元以上的利润,

则P{5000000Mx(1-40%)-Xx300000>600000}>99%

^P{X<10M-2}>99%

故需满足P{软10M-2-1500

<}>99%

V1500

10M-2-1500

即①()>99%«O(2.33)

V1500

解得MN159.22,故M=160

八、(1)课本98页辛欣大数定理

(2)

由于E@)=0-(1--)+Vn­—+(-V«)--=0

nnn

D©)=E©2)_[E©)]2=E©2)

=0-(l--)+(V^)2--+(-Vn)2--=2

nnn

__1n+I__1〃+1

令卫=-Z左左=2,3,…，则E(刁=—£>4)=0

〃k=2〃k=2

__i"+Iin

D(1)==Z°(&.)==・2〃=—

几k=2""

由契比雪夫不等式，对任意的£>0,有

——2

P{/-E©)1<£}21—-7

nc

故有limP{E,-E©,)l<£}=l

nToo

即{£}服从大数定律

诚信应考，考试作弊将带来严重后果!

华南理工大学期末考试

n|r>《概率论与数理统计》试卷A卷

W

接（2学分用）

注意事项：1.考前请将密封线内各项信息填写清楚；

2.可使用计算器，解答就答在试卷上；

3.考试形式：闭卷；

4.本试卷共八大题，满分100分。考试时间120分钟。

题号一二三四五七八总分

得分

评卷人

聆注：标准正态分布的分布函数值

①(1.0)=0.8413,①(2.33)=0.99010(2.5)=0.99380(2.42)=0.9922

选择题（每题分，共分）

S-I—315

必

回:

施;1、设X〜N（u,。2）,则概率p(X^l+u)=()

堤

耕M：A）随R的增大而增大；B）随U的增加而减小;

斑：

翦：C）随。的增加而增加；D）随。的增加而减小.

2、设A、B是任意两事件，则P(A-8)=()

A)P(A)—P(B)B)P(A)-P⑻+P(AB)

C)P(A)-P(AB)D)P(A)+P(B)-P(AB)

3、设自是一个连续型变量，其概率密度为<p(x),分布函数为F(x),则

对于任意x值有()

A)P&=x)=OB)F(x)=(p(x)

C)P化=x)=(p(x)D)P《=x)=F(x)

4、对于任意两个随机变量x和y,若E(xy)=E(x>E(y),则()

A)D(XY)=D(X)D(Y)B)D(X+Y)D(X)+D(Y)

C)x和y独立D)x和y不独立

5、设孑的分布律为

4012

P0.250.350.4

而/(x)=P化<x},贝ljF(后)=()

A)0.6,B)0.35,C)0.25,D)0

二、填空题(每空3分，共21分)

1、某射手有5发子弹.，射一次命中的概率为0.75。如果命中了就停

止射击，否则就一直射到子弹用尽。则耗用子弹数匕的数学期望

为O

2、已知DY=36,cov(X,Y)=12,相关系数以丫=0.4,则DX=。

3、三次独立的试验中，成功的概率相同，已知至少成功一次的概率

为g,则每次试验成功的概率为。

4、设乂~8(3,p),y~B(4,p),且X、Y相互独立，则x+y服从二项分

布O

5、若X~U(0,5),方程/+2Xx+5X-4=0有实根的概率。

6、设3X+5~N(11Q2),且P{2<X<4}=0.15,则P{X<0}=

7、相关系数是两个随机变量之间程度的一种度量。

三、（10分）

设一仓库中有10箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生产

的分别为5箱、3箱、2箱，三厂产品的次品率依次为0.1,0.2,0.3,

从这10箱中任取一箱，再从这箱中任取一件，求这件产品为正品的

概率。若取出的产品为正品，它是甲厂生产的概率是多少？

四、（8分）

离散型随机变量x的分布函数

0%<-1

0.3

尸(x)=<求X的分布列及X的数学期望。

0.81<x<3

1x>3

五、（15分）

设随机变量x的概率密度函数为：

/3）=卜-闺，—00<X<+00

求：（l）x的概率分布函数，（2）X落在（-5,10）内的概率；（3）求X

的方差。

六、(10分)

设由2000台同类机床各自独立加工一件产品，每台机床生产的

次品率均服从(0.005,0.035)上的均匀分布。问这批产品的平均次

品率小于0.025的概率是多少？

七、(15分)

22

设二维随机变量(X,Y)在区域：二+、41上服从均匀分布。(1)

Q-b~

求(X,Y)的联合概率密度及边缘概率密度；(2)已知。X=25,OY=4,

求参数。、b；(3)判断随机变量X与Y是否相互独立？

八、（6分）

设随机变量X服从（0,1）上均匀分布，Y服从参数为九=5的指

数分布，且X,Y独立。求2=1市11{*,Y}的分布函数与密度函数。

2006级概率论与数理统计试卷A卷参考答案

注释：P(X41+“)=尸(二"+"-")=0)(工)

2.C

注释：参考课本第8页

3.A

注释：连续型随机变量在某一个点上的概率取值为零，故A正确

?B项是否正确

4.B

注释：参考课本86页

5.A

1.1.33(或者填心1359)

1024

2.25

注释：参考课本86页

3.0.25

4.(X+Y)〜B(7,p)

注释：E(X)=3p,E(Y)=4p,故E(X+Y)=E(X)+E(Y)=3p+4p=7p;

D(X)=3p(l-p),D(Y)=4p(l-p)且X、Y独立，故D(X+Y)=D(X)+D(Y)=3p(l-p)+4p(l-p)

E(X+Y)=7p=nP

设(X+Y)〜B(n,P),则有《

D(X+Y)=3p(l-p)+4p(l-p)=nP(l-P)

解得n=7,P=p

5.2/5

X的密度函数为/(x)=，

方程有实根，则必须满足△=!?—4ac=(2X)2—4xlx(5X—4)N0,

即X<1或者X>4.

2

故方程有实根的概率p一dx+I—dx

55

6.0.35

由后(3乂+5)=11得破=2

2

由£>(3X+5)=/得ox==-

93

2-2X-24-2

因尸{2<X<4}=0.15,故「{<<}=0.15

CTCT

77I

2

所以①(—)(0)=0.15

(J

7

所以①(土)-O(―)=0.3

cra

y3

0-2,/—2、—「1小/2、

P{X<O}=P{^-^<------}=0(----)=[1一中(一)-①(―)1/2

(y(y(y(7CT

777?7

=[1-0.3]/2=0.35

?7.相关

-=2.、

设人="取出的产品是正品”；

B,1l=取出的产品是甲厂生产的”

B^=取出的产品是乙厂生产的”

B|AJ=取出的产品是丙厂生产的”

则P(A)=P(AB甲)+P(AB乙)+P(AB内)

=0.5x0.9+0.3x0.8+0.2x0.7=0.83

PSBT;I_HBwAPSlBQ_O.SxOg四、

P(B,pIA)=0.54

P(A)P(A)0.83-1_1_3、

X

0.3一0.5一0.2,

EX=(—1)X0.3+1X0.5+3X0.2=0.8

五、

一/____x<0

⑴由题意/1(x)=，

-e-xx>0

〔2一

~ex____x<0

故尸(x)=f

\--e-xx>0

I2-

⑵P(—5<X<10)=(l——g/5)

(3)EX=,长；6'公+广r3""龙=；［(》—1)/匕+；［(—x—

______=0

2x

EX2=『x.-edx+C^-e-'dx

J-co2Jo2

—=；［x2ex-2xex+2ex匕+；［~x2e-x-2xe-x-2e-x簟=2

DX=EX2-(EX)2=2

?六、

设X,为第i台机床生产的次品率

Xjt/(0.005,0.035)

2

EX,=。。*。。35=002,DX.=_L(0.035-0.005)=0.000075

(注：对于均匀分布X,U(a⑼，有EX,.=，,DXj=gs-a)2)

2000

设总次品率y=£x,

1=1

若要满足这批产品的平均次品率小于0.025,则y<0.025X2000=50

y-2000x0.0250-2000x0.02

P{Y<50}=P{<}=0(25.8)

72000x0.00007572000x0.000075

?试卷中没有给出①(25.8)的值，月一直观上感觉中(25.8)的值太大了，故不能肯定题中的做

法是否可行

七、

椭圆=兀曲

1

-a<x<a,-h<y<h

故6,丫）的联合密度函数£6,丫）=^^

0其它

2

-a<x<a

X的边缘密度函数fx（x）=<7ia

0其它

2

-b<y<b

Y的边缘密度函数fy（y）=帅

0_其它

(2)£X=fx--^-dx-0,EY-fy--dy-0,

A”兀a7tb'

4〃24b2

DX=EX?—(EX)?=——=25,DY^EY2-(EY)2=—=4

3兀3兀

解得"字’)=痴

(3)-a<x<a,-b<y<加寸，

221

fx(x)•£、,(>)=------H---，故X与Y不独立

7ianb〃ab

八、

Z的分布函数F(z)=P{Z<z}=l-P(Z>z)=l-P{min(X,Y)>z}

=l-P(X>z,Y>z)=l-P(X>z)-P(Y>z)

当z40时,P(X>z)=P(Y>z)=l

故F(z)=bl=0

当0<z41时，P(X>z)=fldx=l-z

P(Y>z)=f5e-5xdx=产—/

故尸仁)=1-(1一％)«金一丁)

当z>l时，P(X>z)=0

故尸(z)=l-0=1

0__________________z<0

所以尸(z)=4l—(1一z)-(e-5z_e-5)_(KzWl

1z>l

0z<0

f(z)="6e~5z-5ze~5z-e~50<z<1

07>1

：诚信应考,考试作弊将带来严重后果！

:华南理工大学期末考试

i《概率论与数理统计》试卷A卷

:(2学分用)

事注意事项：L考前请将密封线内各项信息填写清楚；

：2.可使用计算器，解答就答在试卷上；

：3.考试形式：闭卷；

：4.本试卷共十大题，满分100分。考试时间120分钟。

号一二三四五七八九十总分

分

今队

曲

:注：标准正态分布的分布函数值

①(1.0)=0.8413,中(2.575)=0.9950①(2.81)=0.9975①(2.42)=0.9922

0(1.285)=0.9,①(1.645)=0.95,①(1.96)=0.975,①(2.33)=0.99

(

熊一、(10分)假设一枚弹道导弹击沉航空母舰的概率为L击伤的

i：3

题:概率为《，击不中的概率为!，并设击伤两次也会导致航空母舰

-娱K-

釉M

-郛=沉没，求发射4枚弹道导弹能击沉航空母舰的概率？

-需

-序

-)

-

-

-

-

-

-

-

-

-

叩

卷

都

.

.

.

.

.

.

N.

烹.

二、（12分）在某种牌赛中，5张牌为一组，其大小与出现的概率有

关。一付52张的牌（四种花色：黑桃、红心、方块、梅花各13

张，即2-10、J、Q、K、A）,

求（1）同花顺（5张同一花色连续数字构成）的概率；

（2）3张带一对（3张数字相同、2张数字相同构成）的概率；

（3）3张带2散牌（3张数字相同、2张数字不同构成）的概率。

三、(10分)某安检系统检查时，非危险人物过安检被误认为是危险

人物的概率是0.02；而危险人物又被误认为非危险人物的概率是

0.05o假设过关人中有96%是非危险人物。问：

(1)在被检查后认为是非危险人物而确实是非危险人物的概率？

(2)如果要求对危险人物的检出率超过0.999概率，至少需安设多

少道这样的检查关卡？

四、(8分)随机变量X服从N(〃Q2),求丫=^,。〉0的密度函数

五、(12分)设随机变量X、Y的联合分布律为:

-1012

-2a000

-10.14b00

00.010.020.030

10.120.130.140.15

已知E(X+Y)=O,求：(l)a,b；(2)X的概率分布函数；(3)E(XY)0

六、（10分）某学校北区食堂为提高服务质量，要先对就餐率P进行

调查。决定在某天中午，随机地对用过午餐的同学进行抽样调查。

设调查了n个同学，其中在北区食堂用过餐的学生数为加，若要求以

大于95%的概率保证调查所得的就餐频率与p之间的误差上下在

10%以内，问n应取多大？

七、(10分)

设二维随机变量(X,Y)在区域：｛0<x<a,0<y<b｝上服从均匀分

布。(1)求(X,Y)的联合概率密度及边缘概率密度；(2)已知

OX=12,OF=36,求参数a、b；(3)判断随机变量X与Y是否相互

独立？

八、（8分）证明：如果E❷3=C存在,则

九、（12分）设（X,Y）的密度函数为

Axy,0<x<1,0<y<1

f(x,y)=«

0其他

求(1)常数A；(2)P(X<0.4,Y<1.3)；(3)Ee'x+sY；(4)EX,DX,

Cov(X,Y)o

十、(8分)电视台有一节目“幸运观众有奖答题”：有两类题目，A

类题答对一题奖励1000元，B类题答对一题奖励500元。答错无奖

励，并带上前面得到的钱退出；答对后可继续答题，并假设节目可无

限进行下去(有无限的题目与时间)，选择A、B类型题目分别由抛

硬币的正、反面决定。

已知某观众A类题答对的概率都为0.4,答错的概率都为0.6；B

类题答对的概率都为06答错的概率都为0.4o

(1)求该观众答对题数的期望值。

(2)求该观众得到奖励金额的期望值。

诚信应考，考试作弊将带来严重后果！

华南理工大学期末考试

n|r>《概率论与数理统计》试卷A卷

(2学分用)

可注意事项：1.考前请将密封线内各项信息填写清楚;

2.可使用计算器，解答就答在试卷上；

：3.考试形式：闭卷；

4.本试卷共十大题，满分100分。考试时间120分钟。

六

号一二三四五七八九十总分

分

京队

.注：标准正态分布的分布函数值

①(1.0)=0.8413,①(2.575)=0.99500(2.81)=0.99750(2.42)=0.9922

0(1.285)=0.9,①(1.645)=0.95,0(1.96)=0.975,①(2.33)=0.99

(幕-、(10分)假设一枚弹道导弹击沉航空母舰的概率为L击伤的

基.3

.

题.概率为工，击不中的概率为工，并设击伤两次也会导致航空母舰

K.

.26

M,.

.

.

郛.

.

F朝.

.

T搦.

T.

T)

沉没，求发射4枚弹道导弹能击沉航空母舰的概率?

解：设凡=｛第i枚弹道导弹击沉航空母舰｝,与=｛第i枚弹道导弹击伤航空母舰｝

G=｛第i枚弹道导弹没有击中航空母舰｝,i=l，2,3,4

D={发射4枚弹道导弹能击沉航空母舰}

P（Aj=J,P（Cj=:，i=l,2,3,4

3Zo

D=C{C2C3CJJBXC2C3C4UC{B2C3C4UCXC2B3C4UCXC2C3B4

P（n）=P（C1C2C3C4）+P（B1C2C3C4）+P（C1B2C3C4）+P（C1C2B3C4）+P（C1C2C3B4）

2+4x

6J

1Q

P（£＞）=1—P（7）=1—/=0.99

二、（12分）在某种牌赛中，5张牌为一组，其大小与出现的概率有

关。一付52张的牌（四种花色：黑桃、红心、方块、梅花各13

张，即2-10、J、Q、K、A）,

求（1）同花顺（5张同一花色连续数字构成）的概率；

（2）3张带一对（3张数字相同、2张数字相同构成）的概率；

（3）3张带2散牌（3张数字相同、2张数字不同构成）的概率。

解：（1）A=｛同花顺（5张同一花色连续数字构成）｝

P（A）=4x（l「）=耳（只要说明顺子的构成，分子40也算对）

C52C52

（2）A=｛3张带一对（3张数字相同、2张数字相同构成）｝

P（A）=G'CC：2c

052

（3）A=｛3张带2散牌（3张数字相同、2张数字不同构成）｝

C52

三、（10分）某安检系统检查时，非危险人物过安检被误认为是危险

人物的概率是0.02；而危险人物又被误认为非危险人物的概率是

0.05o假设过关人中有96%是非危险人物。问:

（1）在被检查后认为是非危险人物而确实是非危险人物的概率?

（2）如果要求对危险人物的检出率超过0.999概率，至少需安设多

少道这样的检查关卡？

解：（1）设人=｛被查后认为是非危险人物｝,B=｛过关的人是非危险人物）,则

P（A）=P⑻P（A忸）+P（5）P（A|5）=0.96X0.98+0.04x0.05=0.9428

P（8|4）="⑻,（产）=0998

V'7P（A）

（2）设需要n道卡，每道检查系统是相互独立的，则

Ci=｛第i关危险人物被误认为非危险人物｝,P｛C,••<„｝=0.05\所以

心那’即〃In0.0001

999,+1=[3.0745]+1=4

In0.005

四、（8分）随机变量X服从N（〃02）,求y=〃x,〃〉o的密度函数

解：当a=l时一，r=1,则％(y)=1°v-1

[1y>1

当0<“<1时，当y<0时，耳(y)=P(y<y)=0,力(》)=迫3=0

dy

当y>0时，Fy(y)=P(pX<y)=P(XIna<Iny)

FKG)=pfx>M=i-pfx<M=i-a)fM

IInaJIInaJ\lnay

Iny),

於二空3不

dyyina

当a〉l时，当y40时，4(y)=P(V<y)=0,人(),)=附3=0

dy

当y>0时，4(y)=p(x<学)=中(4]

(InaJIInaJ

坦-〃尸

4)=也;」『J"

dyyInaa42/r

五、（12分）设随机变量X、Y的联合分布律为:

-1012

-2a000

-10.14b00

00.010.020.030

10.120.130.140.15

已知E(X+Y)=0,求：(1>,b；(2)X的概率分布函数;(3)E(XY)O

解:(1)E(X+Y)=

£(X+/)=-3a-2x0.14-/7-1x0.01+1x0.03+1x0.13+2x0.14+3x0.15

=—3a—Z?+0.6=0

a+0.14+:+0.01+0.02+0.03+0.12+0.13+0.14+0.15=a+4+0.74=1

联立解得：a=0.17,b=0.09

(2)X的概率分布函数：

-2-101

X

0.170.230.060.54

(3)E(XY)=2x0.17+1x0.14-lx0.12+1x0.14+2x0.15=0.8

六、(10分)某学校北区食堂为提高服务质量，要先对就餐率P进行

调查。决定在某天中午，随机地对用过午餐的同学进行抽样调查。设

调查了n个同学，其中在北区食堂用过餐的学生数为相，若要求以大

于95%的概率保证调查所得的就餐频率与p之间的误差上下在10%

以内，问n应取多大？

m

一1-----P

<

解：P---p<0.1>20.95,因一j卡工

.“Jp(l-p)

Vn

〃N(19.6)2p(l—p)；因为p(i-p)4i/4,取〃z(19.6)2/4=96.04即〃=97

七、(10分)

设二维随机变量(X,Y)在区域：｛0<x<a,0<y<H上服从均匀分

布。(1)求(X,Y)的联合概率密度及边缘概率密度；(2)已知

DX=12,DY=36,求参数a、b;(3)判断随机变量X与Y是否相互

独立？

解：(1)二维随机变量(X,Y)的联合概率密度:

1/ah,0<x<。,0<y<h

/(x,y)=<

0,others

1/a,0<x<a[1//?,0<y<b

边缘概率密度：f(x)=<网)=[o,others

x0,others

(2)DX=(l/12)a2=12,Dr=(1/12)/?2=36,a=12,/?=12>/3

(3)随机变量X与Y相互独立,因为f(x,y)=/x(%)4(y)

八、(8分)证明：如果E曰3=c存在，则尸(后>f)4?

t

角轧P(IQ〉f)=pF(x)<j¥/(x)WjbL!ijF(x)=^1^=4

Ulxl.rl>rtIAI>0'''

九、（12分）设（X,Y）的密度函数为

Axy,0<x<1,0<y<1

f(x,y)=<

0其他

求(1)常数A；(2)P(X<0.4,Y<1.3)；(3)Ee'x+sY；(4)EX,DX,

Cov(X,Y)o

解：(1)(x,y)dxdy=1〔但必卜=?=1,A=4

(2)P(X<0.4,Y<1.3)=((2心卜=0.16

(3)EQ"=((fe/x+x>Axydy^dx=k4｛正]--卜>Nydx

(4)EX=^px2yc/yji/x=|,EX?=工(14/必)公=g

DX=£X2-(EX)2=i-1=1,E(XY)=[^Ax2y2dy^dx=

422

Cov(X,Y)=EXY-EX-EY----x—=0

933

十、（8分）电视台有一节目“幸运观众有奖答题”：有两类题目，A

类题答对一题奖励1000元，B类题答对一题奖励500元。答错无奖

励，并带上前面得到的钱退出；答对后可继续答题，并假设节目可无

限进行下去（有无限的题目与时间），选择A、B类型题目分别由抛

硬币的正、反面决定。

已知某观众A类题答对的概率都为0.4,答错的概率都为0.6；B

类题答对的概率都为06答错的概率都为0.4o

（1）求该观众答对题数的期望值。

（2）求该观众得到奖励金额的期望值。

解：（1）设《表示该观众答对题数,4=0,1,2,…

则第&+1次解答答错（即首次出错）。

答对一题的概率为

P（答对题）=P（答对A题|选择A题卜（选择A题片P（答对B题|选择B题卜（选择B题）

=0.4x0.5+0.6x0.5=0.5

答错一题的概率为0.5

所以尸（孑=%）=0.5"x0.5=0.5t+1；==1

£=0

（2）观众得到奖励金额T1的期望值:

1,答对A题

令X=卜,'123、

答对8题,贝Ux~

,0.20.30.5,

3,答错题

Er]=E(E(r]IX))=0.2x£(1000+〃)+0.3x£(500+〃)+0.5x0

：,Er/=700

或：答对一题得到奖金的期望为：0.5x0.4x1000+0.5x0.6x500=350

进入第k题答题环节的概率为：OS"」

因此，总奖金的期望为：f350xQ5i=700

k=]

诚信应考,考试作弊将带来严重后果！

华南理工大学期末考试

n|r>《概率论与数理统计》试卷A卷

徵

（2学分用）

注意事项：1.考前请将密封线内各项信息填写清楚;

2.可使用计算器，解答就答在试卷上；

3.考试形式：闭卷；

4.本试卷共九大题，满分100分。考试时间120分钟。

六

题号一三四五七八九总分

得分

评卷人

分位数值：“0.995=2.58,%嬴(9)=19,7^(9)=2.70

一、（10分）有位同学去某校宿舍楼A看望他老乡，此楼只有编号1〜9的九个

寝室，但他到学生宿舍楼下时忘记了老乡寝室号码。学校管理规定：要求访

问者说出两个寝室号码，其中有一个正确就能进入，否则不能进入。问此同

学能进入此大楼的概率？

二、(12分)有某个工矿企业存在大量可疑肺癌病人，这些病人中从事某职业的

人占45%。据以往记录，此职业的可疑病人中有90%确患有肺癌，在不从事

此职业的可疑病人中仅有5%确患有肺癌

(1)在可疑病人中任选一人，求他患有肺癌的概率；

(2)在可疑病人中选一人，已知他患有肺癌，求他从事该职业的概率。

三、(12分)零件可以用两种工艺方法加工制造，在第一种情况下需要通过三道

工序，其