高中立体几何中二面角经典求法

高中立体几何中二面角求法之勘阻及广创作纲要：在立体几何中，求二面角的大小是历届高考的热门，几乎每年必考，而关于求二面角方面的问题，同学们常常很难正确地找到作平面角的方法，本文对求二面角的方法作了一个总结，希望对学生有帮忙。（一）、二面角定义的回首：从一条直线出发的两个半平面所构成的图形就叫做二面角。二面角的大小是用二面角的平面角来权衡的。而二面角的平面角是指在二面角l的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线AOl,BOl，则AOB为二面角l的平面角。(二)、二面角的往常求法ABl1、由定义作出二面角的平面角；2、利用三垂线定理（逆定理）O作出二面角B的平面角；OA3、作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角。4、空间坐标法求二面角的大小5、平移或延伸（展）线（面）法6、射影公式S射影=S斜面cosθ7、化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角1、利用定义作出二面角的平面角，并想法求出其大小。例1、如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA⊥α,A∈α,PB⊥β,B∈β.求∠APB的大小.解:设平面∩PABα=OA,平面PAB∩βP=OB。A∵PA⊥α,аα∴PA⊥аOB同理PB⊥а∴а⊥平面PAB又∵OA平面PAB∴а⊥OA同理а⊥OB.∴∠AOB是二面角α-а-β的平面角.在四边形PAOB中,∠AOB=120°,.PAO=∠POB=90°,所以∠APB=60°2、三垂线定理（逆定理）法由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，进而确立二面角的平面角。例2：如图,ABCD-A1B1C1D1是长方体,侧棱AA1长为1,底面为正方体且边长为2,ED1C1是棱BC的中点,求面CDE与面CDE所成二面角的正切值.1解：在长方体ABCD—A1B1C1D1中A1B1过点C1，作C1ODE，连接CODC由三垂线定理可得：CODEOC的平面角AEC1OC为二面角C1DEB又ABCD是边长为2的正方形CDCE=1,DE=53、找（作）公垂面法由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，所以公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角。例5、如图，已知PA与正方形ABCD所在平面垂直，且AB＝PA，求平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小。解:∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．P又CD⊥AD，故CD⊥平面PAD．AD而CD平面PCD，BC所以平面PCD⊥平面PAD．同理可证平面PAB⊥平面PAD．由于平面PCD∩平面PAD＝PD，平面PAB∩平面PAD＝PA，所以PA、PD与所求二面角的棱均垂直，即∠APD为所求二面角的平面角，且∠APD＝45°．5、平移或延伸（展）线（面）法将图形中相关线段或平面进行平移或延伸（展），以其获得二面角的两个平面的交线。例3、正三角形ABC的边长为10，A∈平面α，B、C在平面α的同侧，且与α的距离分别是4和2，求平面ABC与α所成的角的正弦值。解：设E、F分别为B、C的射影，连EF并延伸交BC延伸线于D，连AD；AE∵E、F是

B、C射影

∴BE丄α；1∵CF丄α∴BE∥CF又CF：BE=2，B∴C是BD的中点∴BC=DC，C∵ΔABC是正三角形∴∠B=∠BCA=∠BAC=60°，又∠ACB+∠ACD=180°，EFD∴∠ACD=120°又AC=DC，A∴∠CAD=∠CDA=30°，又∠BAD=∠BAC+∠CAD，∴∠BAD=90°，∴BA丄AD，又∵AE是AB在平面α上的射影，AE⊥AD又BA⊥AD，平面ABC∩平面α=A，∴∠BAE是平面ABC与α所成的角，BE⊥平面α，∴BE⊥AE，∴ΔABC是Rt22Sin∠BAE=BE：AB=5，即平面ABC与α所成角的正弦值为5。6、射影公式由公式S射影=S斜面cosθ，作出二面角的平面角直接求出。运用这一方法的重点是从图中找出斜面多边形和它在相关平面上的射影，并且它们的面积简单求得。例4、如图，设M为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，求平面BMD与底面ABCD所成的二面角的大小。D1C1解：∵DD⊥面ABCD，CC⊥面ABCD，∴?BMD111在底面上的射影为?BDC，

B1A1MHDC1223设正方体的棱长a，则S?BCD=a，BD=aA1B26所以∴MH=2a，S?BMD1=4a26由S?BDC=S?BMD1cosθ得θ=arccos37、化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角例6、在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别在BB1、DD1上，且AE⊥A1B，AF⊥A1D．(1)求证:A1C⊥平面AEF；若规定两个平面所成的角是这两个平面所构成的二面角中的锐角(或直角)，则在空间中有定理：“若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成角的大小相等．”（2）、试依据上述定理，在AB＝4，AD＝3，AA1＝5时，求平面AEF与平面D1B1BD所成角的大小的余弦值解：(1)∵A1B⊥BC即A1B是A1C的射影D1C1A1B1又∵A1B⊥AE∴A1C⊥AEFEC同理A1C⊥AFDBAG∴A1C⊥平面AEF(2)的解法以下：过C作BD的垂线交AB于G．又D1D⊥CG，故CG⊥平面BB1D1D．而A1C⊥平面AEF((1)已证)，设CG与A1C所成的角为α，则α即为平面BB1D1D与平面AEF所成的角．3415Sin∠BCG＝Sin∠ABD＝5，，Cos∠BCG＝5，GC＝497BG=4，AG=4449A1G2=A1A2+AG2=16，A1C2=AB2+AD2+AA12=50122在?A1CG中，由余弦定理得Cos∠A1CG=25求二面角的大小还有好多的方法，这里不过列举了几个常常使用的方法，希望同学们能在解题的时候加以总结，争取在高考取旗开获胜！怎样用空间向量求解二面角求解二面角大小的方法好多，诸如定义法、三垂线法、垂面法、射影法、向量法等若干种。而这些方法中最简单易学的就是向量法，但在实质教学中自己发现学生利用向量法求解二面角仍是存在一些问题，究其原由应是对向量法的源泉不尽认识。本文就简要介绍相关这种问题的办理方法，希望对大家有所帮忙。在立体几何中求二面角可归纳为求两个向量的夹角问题．关于空间向b量a、b，有cos＜a，b＞=|a||b|．利用这一结论，我们能够较方便地办理立体几何中二面角的问题．例1在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，正面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．求面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值．证明：成立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为1，依题意z得AB=(0，1，0)，是面VAD的法向V量，设n=(1，y，z)是面VDB的法向量，DC则yy1,ABnVB0,3xnVBz3n=(1，－1，－0.33)。ABn21∴cos＜AB，n＞|AB||n|=－7，又由题意知，面VAD与面VDB所成的二面角为锐角，21A所以其他弦值是7A1例2如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90，CDC1AC=1，CB=2，侧棱AA=1，正面AABB的两条对角线M111交点为D，B1C1的中点为M．BB1⑴求证CD⊥平面BDM；⑵求面B1BD与面CBD所成二面角的余弦值．解：⑴略⑵如图，以C为原点成立坐标系.设BD中点为G，连接B1G，则依3211211G(4，4，4)，BD=(－2，2，2)，B1G=z231AA1(－4，－4，4)，∴BD·B1G=0，∴BD⊥B1G．DCyGC1又CD⊥BD，∴CD与B1G的夹角等于所求MBB1二面角的平面角．xCDB1G3∴cos=|CD||B1G|=－3．例3如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．求二面角C—PB—D的大小z解：以下图成立空间直角坐标系，D为P坐标原点，设DCa设点F的坐标为(x0，y0，z0)，PA=FEPB，则(x0，y0，z0a)(a，a，a)．DCy进而x0a，y0a，z0(1)a．所以AGB(x0,ay0,a(a,(11)a)xz0))a,(PE=2222．由条件EF⊥PB知，PE·PB=0，即a2(1)a2(1)a2022，解得13．∴点F的坐标为(a，a，2a)PE(a，a，a)FD(a，a，2a)333，且366，333，a2a22a20∴PB·FD333，即PBFD，故EFD是二面角C—PB—D的平面角．∵PE·FD=a2a2a2a2|PE|a2a2a26a，91896，且936366a2a24a26|FD|99a93，PEFDa21cosEFD66a6a2|PE||FD|EFD∴3．63，∴所以，二面角C—PB—D的大小为3．例4已知三棱柱OAB—O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠AOB=90，∠O1OB=60，且OB=OO1=2，zO1OA=3，求二面角O1—AB—O的余弦值．B1解：以O为原点，分别以OA，OB所在A1的直线为x，y轴，过O点且与平面AOB垂直的直线为z轴，成立空间直角坐标OByA系．如图，则O(0，0，0)，O1(0，1，x3)，A(3，0，0