抛物线及其性质知识点大全新

4精品文档可编辑4抛物线及其性质2．抛物线四种标准程的几何性质：图形参数p几意义

参数p表焦点到准线的距离，p越大开口越.开口方向

右

左

上

下标准程

y

px(0)

y2

(p

(0)

x(0)焦点置

X正X负Y

Y负焦点标

(,0)

(

p2

p)2

p(0,)2准线程

x

p2

x

p2

y

p2

y

p2范围对称

xX轴

xX轴

yY轴

y0,Y轴顶点标离心率通径

（0,0）e2p焦半径

A,)

1

p2

1

p2

y1

p2

1

p2焦点弦长焦点弦长

ABAB

()

x)p(y)2以AB为直径的圆必与准线l相

yy)的补充(x,)11(xy)2

若

AB

的倾斜角为

，

2ABpx12

若的倾斜角为则y12

23．抛物线y2px(p

AFABAF•BF•BFp的几何性质：(1)范围：为p>0，由方可知x≥0，抛物线y

轴右侧，

的值增大时，|

|也增大，说明抛物向右方和右下方限伸．放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！

1

pp精品文档可编辑pp(2)对称性对称轴要看一次项，符号决开方．(3)顶点（，离率：，焦点F,0)，准线2

p2

，焦准距p．(4)点弦：抛线y2(0)．||xp

的焦点弦，(xy),()2

,则弦|AB|=x+xx=x时，径最2p。14．焦点弦的相关性：焦点弦

，(,)

,

B(x,y)2

，焦,0)2(1)是抛物线y2，yxx12

的焦点弦（过焦点且A(x1

，(x,y)2

，则：(2)是抛物线y（α

(的焦点弦且AB的倾斜角为α，则

AB

22(3)已知

直

线AB

是

过

抛

物

线

ypx(p

焦

点F,

AFABAF•BF•BFp(4)点弦中通最长为2p通过焦点直焦点在轴的焦点弦叫通径．(5)两个相切：eq\o\ac(○,1)以抛物线点弦为直的圆与准线切eq\o\ac(○,2)过抛物线焦点弦的端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点圆与焦点相切。5．弦长公式：(x,y)

,

B(x,y)2

是抛线上两点，则6.直线与抛物线位关系直线，抛，，消y得：（1）当时，直线l（2）当时

与抛物线的对称轴平行，有一个交点；Δ＞0，直线l与抛物线相交，两个同交放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！

2

222，1200精品文档可编222，1200，直线l与抛物线相切，个点；Δ＜0，直线l与抛物线相离，无公点。（3）若直线与抛物线只有一公共,则直线与抛线必相切吗（不定）7.关于直线与抛线位置关系问题常用理方法直线l：kx①联方程：

抛物线

，(p设交点坐标为(),Bx,y)12

，有0,以及xx11

，还进一步求出y)b12212

，ykx)121

2

xkbx)11

2在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时常用此法比如a.

相交弦AB的弦或

1

1y1(y)yk2k2

ab.点Mx,y)0②点法：

,

y2设交点坐标为Axy)1将两式相减，可得

，(x,y)2

，代抛物方程得a.

在涉及斜率问题时，

2py

b.

在涉及中点迹问题时，线段AByp2，2xyy2y220

的中点为Mx,y)0

，放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！

3

1精品文档可编辑1p，即同理，对于抛线x

2(p0)

，若直线l

与抛物线相A、B

两，点(x,y)0是弦AB

的中点，则k

AB

xx1202pp（注重能用这个公式的条件：）直线与抛物有个不的交，2）线的存在，且不等于零）【经典例题】（1）抛物线——二次线的和谐线椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物只有一种：一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合其离心率e=1，这使既与圆、曲线相相，又鼎立在圆锥曲线之中.由个美好的1既使它享尽和谐之美又出多华丽的篇章【例为抛物线

px

上任一点F为焦点，则以PF为直的与y（）A.

相交

B

相切

相离

D

位置由P确定【解析】如图抛物的点

F,0

，准

YQ

P

线是l

p2

.作⊥l于Hy轴于Q么PH，

Mp且QH2的中位线，MN

.作MN轴于N是形OFPQPHPF故以2

Ox=-

p2

(y22

X放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！

4

112p122221.精品文档可编辑112p122221.PF直径圆y轴切选B.【评注】相似的问题对于椭圆和曲线，其结论分别是相离或相交的（2）焦点弦——常考新的亮点弦有关抛物线的试题，许多都与它的焦点关理解并这焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的【例2过物线y

0

F作直线抛物于

y1122

两点，求证：）1

（2）AF【证明）如图物线的准线为l，作A,l于B，则AFAA1.两式相即得2）当AB⊥x轴时，有

p2

，

111F12l

BF

12AF

成立；当与x轴不垂直时设焦点的方程：y

.代入线方程：k

2

pxpx2

.化简得k

2

k

2

∵方程（）之二根为x，x，1

24

.p12pp24

p212p1放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！

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y00精品文档可编辑y00故不论弦与x轴否垂直，恒有（3）切线——抛物线函数有缘

112AFBF

成立有关抛物线的许多试题，又与的切有关.理解掌握抛物线的线方程，是解题者不可或缺的基本功.【例3证明过抛物线y

2

上一点的切线方是yy=p（x+x）0【证明】对方程y

2

两边取导数：2y

y

切的斜率k

y

.由点斜式方程：

yxyypx0

ypx，入即得：y=p（x+x0（4）定点与定值——物线埋在深处的宝抛物线中存在许不易发现，却容为人疏的定点和定.掌握们在解题中常会有意想不到的收获例如：1.一动圆的圆心在抛物线

上且动圆恒与直线0

相切，则此动圆必过定点（）显然.本题例的版，该圆过物线的焦点，选2.抛物线2px

的通径长2p；3.设抛物y

2

过焦点的弦两端分别为y1122

那么：y12

2以下再举一例【例4设抛物线2为直径的圆必过一定点

的焦点弦在线上的射是A，证明以AB11【分析假定这条焦点弦就是抛物线的通径那么A=AB=2p，而与AB的111距离为p可知该圆必抛物的焦点.此我们猜想一这样的圆都抛物线的放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！

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12设的中点为x12.代x+y=0=.故12设的中点为x12.代x+y=0=.故有M,0000焦点.以下我们对AB的一般情形给于证明【证明】如图设焦点两端分别为A1122那么：CAp12

，设抛物线的准线交于C，那CF

A1

1

Y

AFB中111这就说明：以AB为直的过该抛物线的焦点1●通法法妙法（1）解析法——为对问题解困排难

CB1

X解析几何是用代数的方法去研何所以它能解决纯几何法不易解决的何问题（如对称问题等）【例5（10.四川文科.10题）知抛物线y=-x2+3上在于直x+y=0对相异点A、B则AB|等（）

A.3B.4C.32

D.4

【分析】直线必与直线x+y=0垂直，且线段AB中点在直x+y=0上，因得解如.

lx+=0【解析】∵点A、B于直线x+y=0对称，∴设直线AB的方为：

.由

yxy

x2

设方程（）之两根为x，x，1

.x11222

.从而

.直线AB的程：yx

.方程（）成x

.解得：放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！

7

精品文档可编辑x

，从而y

，故得：A（-2，-1（1，2）.2

，选C.（2）几何法——为解法添彩扬威虽然解析何学得到长足的发展但之的却是难以避免的杂计算，这使得许多考生对解析何习题望生畏针对现状，人们研究多种使计算量大幅度减少的优秀方法，其中最成效的就几何法.【例国1卷.11题）抛物线y

的焦点为

，准线为l

，经F

且斜率为3

的直线与物线在x轴上方的部相于点

，l

垂

Y足为K，则的积（）

K

AA．4

B．3

C．4

MO

60°

XD．【解析】如图直线AF的率3时∠AFX=60°.△AFK为正三角.设准线l交轴于则FMp2,

2px且∠KFM=60°，KF

.选C.【评注）平面知识：边长为的三角形的面积用公式

计算（2）本题如果解析法，需先列方程组求点A的坐标再计算三角的边长和面积.虽不难，但决有上的几何法简单.（3）定义法——追本真的简单一着许多解析几何习题咋看起来很但如果朴归真，最原始的定义去做，反而特别简单.【例7（07.湖北卷.题）双曲线放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！

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x2b22||FF||Fx2b22||FF||F|C:1

精品文档可编辑a，b的左线l，左焦点和焦点分别为FF；抛物221线2

的线为l

，焦点为FC2

与2

的一个交点为M，则

F11

12

等于（）A．

B1

C．

12

D．

12【分析】这道题如果用解析法去做计会特别繁杂，平面几知识又一时用不上，那么就从最原始的定义方面去找出路吧如图我们先必预备工作设曲线的半

y焦距，离心率e作MHl于，令.∵点M抛物线上MFr,MF12

F

1,0)

Hr1

rO

2

M(x,y)r2xF(c,0)MFrr,1MHr2

，

l:x-

a2c这就是说：||2

的实质是离心率e.其次，|1

与离心率e有么关系注重到：FF12MF1

ee2rrre11

.这样，最后的答案自然浮出水面了由于2|||1A..（4）三角法——本身是一种解析

.∴选三角学蕴藏着丰富的解题资源.利用三角段，可以较容易地将异名异角的三角函数转化为同名同角的三角函数，然后根据各种角关系实施“九归”—达到解题目的放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！

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22因此在解析几解题中恰当引三角资源常可以摆境简化算A【例（09.庆文.21题）如，倾斜角为

a的直线经过抛物线

y

的焦点F与抛物线于

A两点。（Ⅰ抛物线焦点F的坐标及准线的方；（Ⅱ）若a为锐，作线段AB的垂直平分线交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值并此定值。

M【解析Ⅰ）点，0准线l;x

.（Ⅱ）直线AB：tan

x

y

代入（整理得：tan

y

设方程（）之二根为y，y，则1tan12

.y设中点为M,000AB的垂直平分线方程是：4cot令，x4cot

2

，有P

2

，0

故OF4cot

2

4

2

2

于是|FP|-|FP|cos2a=

4csc

2

2

2

，为值（5）消去法——合理负的常用方法.避免解析几何中的繁杂运算，革新创新的永课题.其中最值推荐的优秀方法之一便是设而不求，它类似兵法上说的“不而屈人之兵”放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！

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1l5y0001l5y000k【例9】是否存在同时满足下列两条的线ll与抛物yx有两不同的交点和B）线段被直线l

：x+5y-5=0垂直平分若不在说明由，若存在，求出直线l

的方程【解析】假定在抛物线y