2020-2021数学人教版第二册滚动复习2 平面向量基本定理及坐标表示含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年数学新教材人教A版必修第二册滚动复习2平面向量基本定理及坐标表示含解析滚动复习2eq\o(\s\up7(),\s\do5（）)一、选择题(每小题5分，共35分）1．如果用i，j分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且A(2，3），B(4,2),则eq\o(AB,\s\up16（→))可以表示为(C）A．2i＋3j B．4i＋2jC．2i－j D．－2i＋j解析:记O为坐标原点，则eq\o(OA,\s\up16(→））＝2i＋3j，eq\o（OB,\s\up16(→））＝4i＋2j，所以eq\o（AB,\s\up16（→)）＝eq\o(OB,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16（→))＝2i－j。2．在如图所示的平面图形中,e1、e2为互相垂直的单位向量，则向量a＋b－c可表示为（A）A．e1－2e2 B．－e1＋2e2C．3e1－2e2 D．3e1＋2e2解析：由题图可知a＝c＝e1＋2e2,b＝e1－2e2，所以a＋b－c＝b＝e1－2e2.故选A．3．已知点A（0,1），B(3，2），向量eq\o（AC,\s\up16(→))＝（－4,－3）,则向量eq\o(BC,\s\up16（→））＝(A）A．（－7，－4) B．（7,4)C．（－1，4) D．(1，4)解析：设C(x，y），∵A（0,1),eq\o(AC,\s\up16（→))＝（－4，－3)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y－1＝－3，)）解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝－4,,y＝－2，）)∴C（－4，－2),又B(3，2）,∴eq\o（BC,\s\up16(→）)＝（－7,－4)，选A．4．设向量a＝(1，2)，b＝(x,1),当向量a＋2b与2a－b平行时，a·b＝（A）A．eq\f（5，2） B．2C．1 D．eq\f（7，2）解析:a＋2b＝（1＋2x，4），2a－b＝（2－x,3)．∵a＋2b与2a－b平行，∴（1＋2x）·3＝4(2－x)，∴x＝eq\f（1,2）。∴a·b＝（1,2）×（eq\f（1，2)，1）＝1×eq\f(1，2)＋2×1＝eq\f（5,2)。5．已知|a｜＝1，|b|＝6,a·（b－a）＝2，则a与b的夹角是(C）A．eq\f（π,6) B．eq\f(π，4）C．eq\f(π,3) D．eq\f（π,2)解析：由a·(b－a）＝2，得a·b－a·a＝2，即a·b＝3，所以a与b夹角的余弦值为eq\f(a·b，|a｜|b｜)＝eq\f(1,2)，所以a与b的夹角为eq\f（π，3),故选C．6．如图,在圆O中，若弦AB＝3，弦AC＝5，则eq\o（AO，\s\up16（→））·eq\o（BC,\s\up16(→））的值等于（D)A．－8 B．－1C．1 D．8解析:取BC的中点D，连接OD，AD，则eq\o(OD，\s\up16(→)）·eq\o(BC，\s\up16（→))＝0且eq\o（AO，\s\up16（→））＋eq\o（OD，\s\up16（→）)＝eq\o（AD,\s\up16（→))，即eq\o(AO,\s\up16(→）)＝eq\o(AD，\s\up16（→))－eq\o(OD,\s\up16（→)）。∵eq\o（AD,\s\up16（→）)＝eq\f(1,2）(eq\o（AB,\s\up16（→))＋eq\o（AC，\s\up16（→)）)，∴eq\o(AO,\s\up16（→）)·eq\o（BC，\s\up16(→)）＝eq\o（AD,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16（→））－eq\o（OD，\s\up16(→））·eq\o（BC，\s\up16(→)）＝eq\o（AD，\s\up16（→)）·eq\o(BC，\s\up16（→)）＝eq\f（1,2)(eq\o(AB，\s\up16（→))＋eq\o（AC,\s\up16（→)))·（eq\o（AC，\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→））)＝eq\f（1,2)(eq\o（AC,\s\up16(→)）2－eq\o(AB，\s\up16(→)）2)＝eq\f（1，2）×（52－32）＝8。故选D．7．(多选)在平面直角坐标系中，已知三点A（a,2），B（3,b),C(2，3），O为坐标原点．若向量eq\o（OB，\s\up16（→))⊥eq\o(AC，\s\up16（→））,则a2＋b2的取值可能是(BCD）A．eq\f(12,5） B．eq\f(18，5）C．12 D．18解析：由题意得eq\o（OB,\s\up16（→））＝(3,b)，eq\o(AC，\s\up16(→））＝(2－a，1），∵向量eq\o(OB，\s\up16(→))⊥eq\o（AC，\s\up16（→）），∴eq\o(OB，\s\up16（→））·eq\o（AC,\s\up16(→)）＝3(2－a)＋b＝0，∴b＝3a－6，a2＋b2＝10a2－36a＋36＝10（a－eq\f（9,5))2＋eq\f（18，5）≥eq\f(18，5)，当且仅当a＝eq\f（9,5）时，取等号．故选BCD．二、填空题(每小题5分,共20分）8．已知A（1，1），B(3，－1），C（a，b），若A，B,C三点共线,则a,b的关系式为__a＋b＝2__。解析：由已知eq\o（AB,\s\up16（→)）＝（2，－2)，eq\o（AC,\s\up16(→))＝(a－1,b－1),∵A，B，C三点共线,∴eq\o（AB,\s\up16（→)）∥eq\o(AC，\s\up16(→）），∴2（b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.9．设a，b是两个不共线的非零向量，若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝__－4__；若方向相同，则k＝__4__。解析：∵向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，∴ka＋2b＝λ·(8a＋kb)⇒k＝8λ,2＝λk⇒k＝－4(舍正)，同理，方向相同,k＝4。10．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，a⊥b，|a｜＝1，｜b|＝2，则|c｜＝eq\r（5）.解析：由a＋b＋c＝0，a⊥b，｜a|＝1，｜b|＝2，得c＝－a－b，所以c2＝（－a－b)2＝a2＋2a·b＋b2＝12＋0＋22＝5，|c|＝eq\r（5）.11．如图,半径为1的扇形AOB的圆心角为120°,点C在eq\x\to(AB)上,且∠COB＝30°.若eq\o(OC，\s\up16（→）)＝λeq\o(OA,\s\up16（→））＋μeq\o（OB，\s\up16(→))，则λ＋μ＝eq\r(3).解析：由已知，可得OA⊥OC,以O为坐标原点,OC，OA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则有C（1,0），A(0,1)，B（cos30°，－sin30°)，即B(eq\f（\r（3），2）,－eq\f(1，2）)．于是eq\o(OC,\s\up16(→)）＝(1,0），eq\o(OA，\s\up16（→))＝（0，1），eq\o(OB，\s\up16(→）)＝(eq\f（\r(3），2)，－eq\f（1,2）),由eq\o(OC，\s\up16(→））＝λeq\o（OA，\s\up16(→))＋μeq\o(OB,\s\up16（→））,得(1,0）＝λ(0，1）＋μ（eq\f（\r（3），2），－eq\f（1,2))＝（eq\f（\r(3),2)μ，λ－eq\f(1,2）μ），∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f（\r(3），2）μ＝1，,λ－\f（1,2)μ＝0，)）解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(μ＝\f（2\r(3)，3），,λ＝\f（\r(3），3)，））∴λ＋μ＝eq\r（3).三、解答题(共45分)12．(15分)在△ABC中，eq\o(AB,\s\up16（→））·eq\o(AC,\s\up16（→））＝0,｜eq\o（AB,\s\up16(→））｜＝12,|eq\o(BC，\s\up16（→)）｜＝15,l为线段BC的垂直平分线，l与BC交于点D，E为l上异于D的任意一点．（1）求eq\o(AD,\s\up16(→))·eq\o（CB，\s\up16(→））的值；(2）判断eq\o(AE,\s\up16（→)）·eq\o（CB，\s\up16（→）)的值是否为一个常数，并说明理由．解：(1）∵eq\o（AB，\s\up16(→））·eq\o(AC，\s\up16(→））＝0，∴AB⊥AC,又|eq\o(AB，\s\up16（→））｜＝12，|eq\o（BC，\s\up16(→)）｜＝15，∴｜eq\o（AC,\s\up16（→)）｜＝9。由已知可得eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\f(1,2）（eq\o(AB，\s\up16(→））＋eq\o(AC,\s\up16（→））),eq\o（CB，\s\up16(→）)＝eq\o(AB，\s\up16（→））－eq\o(AC，\s\up16(→）)，∴eq\o(AD,\s\up16(→))·eq\o（CB,\s\up16(→)）＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up16（→)）＋eq\o(AC,\s\up16（→))）·(eq\o（AB，\s\up16(→)）－eq\o（AC,\s\up16(→)））＝eq\f(1,2）(eq\o(AB,\s\up16（→)）2－eq\o（AC,\s\up16（→）)2）＝eq\f(1,2）×（144－81）＝eq\f(63，2)。(2）eq\o(AE，\s\up16（→))·eq\o(CB，\s\up16（→）)的值为一个常数．理由如下：∵l为线段BC的垂直平分线，l与BC交于点D，E为l上异于D的任意一点,∴eq\o(DE,\s\up16（→))·eq\o(CB，\s\up16(→)）＝0,故eq\o（AE,\s\up16（→））·eq\o(CB，\s\up16（→）)＝（eq\o(AD,\s\up16（→)）＋eq\o(DE,\s\up16(→））)·eq\o(CB，\s\up16（→)）＝eq\o（AD,\s\up16(→））·eq\o(CB,\s\up16（→）)＋eq\o(DE,\s\up16（→））·eq\o(CB，\s\up16(→))＝eq\o（AD,\s\up16（→)）·eq\o（CB,\s\up16（→）)＝eq\f(63,2).13．（15分）已知正方形ABCD的边长为2，eq\o(DE，\s\up16(→))＝2eq\o（EC，\s\up16(→)),eq\o(DF,\s\up16（→）)＝eq\f(1，2)（eq\o（DC,\s\up16（→))＋eq\o(DB,\s\up16(→）））,求eq\o(BE，\s\up16（→)）·eq\o（DF,\s\up16（→))的值．解:如图，以点B为原点,BC所在的直线为x轴,AB所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．则B（0,0)，E(2，eq\f（2,3）)，D(2，2）．由eq\o(DF,\s\up16（→))＝eq\f（1，2）（eq\o(DC,\s\up16（→)）＋eq\o(DB，\s\up16（→)))知，点F为BC的中点，故eq\o（DF，\s\up16（→））＝(－1，－2)．∵eq\o（BE,\s\up16(→）)＝(2，eq\f（2，3））,∴eq\o（BE，\s\up16(→)）·eq\o（DF,\s\up16(→)）＝－2－eq\f（4,3）＝－eq\f（10,3)。14．(15分)如图，A（0,5）,O(0，0)，B（4，3），eq\o（OC，\s\up16(→）)＝eq\f(1，4)eq\o(OA，\s\up16(→））,eq\o(OD,\s\up16(→))＝eq\f(1，2)eq\o(OB,\s\up16(→）)，AD与BC相交于点M,求点M的坐标．解：∵eq\o(OC，\s\up16(→)）＝eq\f（1，4)eq\o（OA，\s\up16（→））＝eq\f（1，4)(0,5）＝（0,eq\f(5,4）），∴C（0，eq\f（5，4)）．∵eq\o(OD，\s\up16(→））＝eq\f(1,2）eq\o（OB,\s\up16（→）)＝eq\f(1，2）（4,3）＝（2，eq\f（3,2)），∴D(2，eq\f(3,2))．设M（x，y），则eq\o(AM，\s\up16(→））＝(x，y－5)，∵eq\o（AM,\s\up16(→))∥eq\o（AD，\s\up16(→）），eq\o（AD，\s\up16(→）)＝（2,－eq\f(7,2))，∴－eq\f（7,2）x－2（y－5)＝0，即7x＋4y＝20.①