年省高中数学竞赛

22年福省高中数竞赛22暨20年全国高中数学赛(建省赛区）赛试卷参答案（考试间:２0１5５月24上午０－11：30,分1分）一、填题（共1小题，每小题6分,分60分。请直接将答案在题中横线上）１．设集合集合A中随机抽取一个元素x,。变数学期E【答案5

x

2

，则随机【解答，１。易得,

概率分布列为P

017

127

427

917

1617∴

1177２.知(x()，其中g(x是定义R上，小正周期为2的函数。若(x在区间

上的最大值为

1,则

f(

在区间

上的最大值为。【答案

9【解答题意，有f(x2)x2)()f(x)。∵

f(区间2上的最大值为∴

f(区

上的最大值为，在区

上的最大值为５,在区

上的最大值为７，在区9.３。F、F为椭：1

2y2）的左、右焦点，若椭圆C存在一点Pa2b2使，则椭圆离心的取值范围为12【答案【解答设为椭的上顶点,题意AF901

.∴

cFAO45cb

2

2

2

12，a2

。4．已知实数，y，满足xyz2，则z的最值为。【答案

【解答柯西不等式，知

xn(xy)2(122y3z)2)3))144。xn∴∴

x2yyxyz当且仅当xyz的最小值为。

,等号成立。５已知函数f(x前０项之S100

数af()f（N2。

*

【答案

【解答题意，T100

100f()

2

2

2

2

98

2

100

2

4(3n35100。2∴

100

T100

f(1)f51006.如图，在四面ABCD中DADC2,DBDADC且DA与平面ABC成角的余弦值为【答案

633

.该四面体外接球半径

.【解答如图DO面ABC结,并延长点E连结DEDAE是DA平面ABC所成的角DAE∵DADBDCDADB，DA，

63

.∴面DBCO△ABC的外心，ABAC2。∴

DA，E为BC中点，合cosDAE

63知,，282。∴2DB。∴DA、、两两互相垂直，四面体外接球半径7平面内复数z的对应点分别ZZz1331，则z的取值范围是。23【答案【解答设zxyi，zxyii虚数单位)，122

，∵

z

,OZ2∴

x21

y21

x

22

y

22

，x12

1212

(y)

y)2

x

y2

y

xxyy)2。1设复数z对应的点为P。由z知，点Z在以圆心,1为半径的圆上。12123又OP,因此2OZ即z的取值范围8数f(x)

x

x

x

恰点x,x（x)，则a值围12为。【答案

1，)2【解答f

x

x

x

(1

x

x

x

e

x

。依题意，

xex有两个不同的实根。设(x)

x

，则g

x

，g(x有两不同的实根.若则gg()为增函数g(x)至多个实根，不符合要求。若，则当

1时,g；xln时，g2a

。∴

11x)在区间上为增函数，ln上为减函数。2a∴

g(x最大值为(ln

11)ln2aa2a

。又x(x)x

x

(

x

1∴当且仅当(ln)ln，0时g()有2不同的实根222f

设gx的两根为x（xx则xx时(x)，121；x时，g()，f2

;xxx时()，12∴∴

1x为f(x)的极小值点x为(的大值点符合要求。21a的取值范围，)29。已知f(x)

x

2

nxf()f(x))

,则的取值范围为。【答案

【解答设xfx)()1

nx∴

f(f(f。1∴

f(x

2

nxf(())(x

2

)x

2

)

2

(

2

)

2

)(x

2

)。f(xf(x))x

2

解集是方程x

2

的解集

B

的子集.若A△2n,。若A设x，则

0

,n。时x)所以m的取值范围是0。10.9

92

,正整n的最小值为

.【答案

４【解答cos(

sin

cos(

sin

知2sin。∴

9

18

cos

18

318

，

cos9181818

，……………

nnncos9181818上述各式左右两边分别相加，得2(sin

9

sin

9

n)coscos918

。∴

1(2nn2tancos,cos2181818181818

。∴

nn,kZn1818∴

正整n的最小值为4。

二、解题（共５小，每小２０分,满分１０0。要求写解题过)１1.求函数yx4x

x最小值.【解答】

2

1x，得x。2∴

函数的定义域为。

……5分记f(x)4

x，则f

8x24x2x

4x4x2x当x

32

时,知f.fx)4x为增函数.∴

x

33时,fx)的最小值为()。22

……分当x

12

时,f2

4x4(1))4x2xx22(1∴

11f(上为减函数，时，(x)的最小值为f()………1５分2综合得，函数yx4xx的最小值为１。

……………20分【解答】数化为y(2

x

1，知x，x(，22

0）…………５分0时,y2

1sin2sin

1

2

即2

时,y取最小值３。分

……当

2

时

1tan，当，2时,取最小1.分综合得，函数yx4x

x最小值为。

…………15……20分

或换元利用导数求。【解答】由y4

x

2

2

∴

y

2x

y。y

…５分依题意,yx，因此，

。4y2

………………10∴

y

y2y

，

(yy

解得或。

……………

15将y代入方程yx4x

1x解得。2∴

y在函数yx4x

x值域内。∴函数yx4x

x最小值为１。

………

2０分

2212已知过(0斜率为k直l双曲:

3

于、B两点（1）k取值范围；（2）若为双曲C的右焦点，且BF，k的值。22【解答l方为ykxy23,(3

2

x

2

kx0………①。

∵

直l双曲C有两个不同的交点,∴

16(3

，解得2，。∴

k取值范围(3，3)(。

……………5（2)设，.x1121

2k3

2

，xx12

3

2

。又F，2∴

AF(x2yx(3x2xBF2112…………10分∵∴

(21)(2xx)121122k时(2x1)(2，1

4332

2

k32

，2x2xx221(2xx11

42

2

。由AF,得∴k2k

342

2

11解k2k（舍去）3…………１5分2时(2x1)(2,31x(2x12

2k3

。由AFBF,

3，解kkk2

1132

，均不符合，舍去.时,足条件k不存在。综上可得,k的为1或

…………20

１3．如ID分别△内心、旁心I、D切,点分别EG为ADBC的交点。

A（１）求证:

AIGE；GF若M为EF中点，求证:AE∥DM(旁心三角形切圆的圆心它是三形一个内角平分线和它两个内角外角平线的交点）

M

IG

E

C【解答）设I、D半径分别rR，

BF则

AIr。R

……5分（作IPAB于PDQAB则

AIIPr.)ADDQR

由条件知，I、D三点共线，

∴

IEDF

GEIErDF

PAIGE∴………………1分AIGEGIAIGIGE（2）由得GFGDGDGF

F

M

IG

E

AG即.GDGFAG∴。GF∵M为EF中点，

………15

Q

NDGEMFMGMEMG)MG∴

AGAGGE,。2MGGM结EGA，可△EGA∽△。因此GMD∴∥

………………20分另:ID的中点为，则由∥DF，M为EF中点知,MNIE，且1MN(DF)。2由

AIIEAIIEAIIEAIIE,可得,。………15DFADDF2DN2MNNM

DNM。∴∴

△∽△,MDN。∥DM。

………………20分１４．在坐标平面内，横纵坐标都是整数的点称为整点，三个顶点都是整点的三角形称为整点三角形。求以点I内心且直角顶点在坐标原点O的整点直角三角形OAB的个数.【答案妨设点在第一象限。xOI，tan

，直的斜

OA

3)。4tan4∴k

OB

4。3

………５分由A、B为整点，t),)，其tt为正整数。11222∴∵

tOB。2△切圆的半r

22OI22015。22r

OBAB2

，OBr，

2

OAOBr)

2

OA

2

2

。∴

(5tt12

2

t21

t

22

…１０分∴

(t2015)12

2

21

22

。tty2015()2xy2。12∴

xyx2015y2015

2

,(x2015)2

2

2

2

2

2

。……………1分由r，OBrx2015,2015为正整数，又2

2

2

的正因数有54。∴符合条件(x有5４组。∴符合条件的三角形有个。０分

…2

15.若对任意的正整集，n（n）元子集中，总有３个元素两两互素,最小值。【答案察集时)的67元子集：

2，

与被3除的奇数）显然P中不存在3两两互素的元素。∴

67不符合要求。

……5分引理:对任意的正整m集5元子集中总有3个元素