2020年全国统一高考数学试卷文科新课标Ⅲ

2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标刖)一、选择题.已知集合4={1,2,3,5,7,11},集合B={%|3<%<15},贝iMcB中元素的个数为()TOC\o"1-5"\h\zA.2 B.3 C.4 D.5.若z(l+0=1—i,贝ijz=()A.l-i B.l+i C.-i D.i.设一组样本数据%1，x2，•••,%的方差为0.01,则数据10%,10%,…，10%的方-L 乙 IL _L Li iL差为()A.0.01 B,0.1 C.l D.10.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，由学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数/⑴(珀勺单位：天)的Logistic模型：/(t)=——生k，「其中K为最大确诊病例数，当/(t*)=0.95K,标志着已初步遏制疫情，则1+e—0.23(t—53)t*约为( )(lnl9~3)A.60 B.63 C.66 D.69.已知sin。+sin(6+专=1，贝1Jsin(6+K)=(3 6A.1A.1 B.q C.Z2 3 3D.&2.在平面内，A,B是两个定点，C是动点，若启•前=1,贝北的轨迹为()A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.直线.设。为坐标原点，直线％=2与抛物线y2=2p%Q>0)交于。、E两点，若OD10E,则C的焦点坐标为()A.d，0) B.(l,0) C.(l,0) D.(2,0)4 28.点(0,1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为()A.l B.V2 C.V3 D.2试卷第1页，总20页9.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是()A.9.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是()A.6+4& B.4+4V2 C.6+2d3D.4+2d3.设a=log2,b=log3,c=2,则(3 5 3A.a<c<bB.aA.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b.在443。中，cosC=j,AC=4,BC=3,则tanB=( )A.d5 B.2d5 C.4d5 D.8d5.已知函数f(%)=sin%+」-，则(A.f(%)A.f(%)的最小值为2B.f(%)的图像关于y轴对称C.fC.f(%)的图像关于直线第=兀对称D.f⑺的图像关于直线“了称二、填空题x+y>0,.若％，y满足约束条件2%-y>0,则z=3%+4y的最大值为,x<1,.设双曲线c：言-^=1(。>0/>0)的一条渐近线为丫=72%，则。的离心率为15.设函数/■(%)=言，若/(1)=：，则。=试卷第2页，总20页

16.已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为三、解答题17.设等比数列｛4｝满足4+。2=4,a3-ai=8.(1)求｛与｝的通项公式；(2)记与为数列｛log//的前几项和.若工+Sm+1=S^+3,求恒18.某兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)翳场人次10,200)⑵口，400]6OU]13216252〔而5IQ123(段度污地)八了4《中度污染》!0(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1，2,3,4的概率;(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组数据用该组区间的中点值为代表)；附：K2=,(3)若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好〃；若某天的空气质量等级为3或4,则称这天“空气质量不好〃.根据所给数据，完成下面的附：K2=,人次士人次＞400空气质量好空气质量不好"(ad—bc)2尸(小之公0.0500.010D.001z-13.8416.635W.S3K(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图，长方形4BCD—4B1c1a中，点E,F分别在棱。耳,明上，且2m町，39=2尸4，证明：(1)当4B=BC时，EF14C；试卷第3页，总20页(2)点、在平面45T内..已知函数f(%)=x3-kx+k2.(1)讨论f(%)的单调性；(2)若f(%)有三个零点，求k的取值范围..已知椭圆。:四+0=1(0＜仅＜5)的离心率为“，A，B分别为C的左、右顶点.25m2 4(1)求C的方程；(2)若点P在C上，点Q在直线％=6上，且|BP|=|BQ|,BP1BQ,求A/PQ的面积.=.在直角坐标系%Oy中，曲线C的参数方程为广2''，(t为参数且tWl),C(y=2—3t+t2与坐标轴交于4B两点.⑴求|4B|;(2)以坐标原点为极点，第轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线4B的极坐标方程..设a,b,cGR,a+b+c=0,abc=1.(1)证明：ab+bc+ca＜0；r r(2)用小a%{a,仇c}表示a,b,c的最大值，证明：小a%{a,“c}2V4.试卷第4页，总20页

参考答案与试题解析2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标III）一、选择题【答案】B【考点】交集及其运算【解析】根据交集的定义求出4GB,进而能得到4GB中元素的个数.【解答】解：由题意可知，集合4与B中相同的元素为5,7,11，根据交集的定义可知，4GB={5,7,11}，元素个数有3个.故选B.【答案】D【考点】共轭复数复数代数形式的乘除运算【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念即可得出答案.【解答】解：1i(1i解：1i(1i)2(1i)(1i)互为共轭复数的两个复数，实部相同，虚部成相反数,所以z=L故选D3.【答案】C【考点】极差、方差与标准差【解析】根据任何一组数据同时扩大几倍方差将变为平方倍增长，求出新数据的方差即可.【解答】解：由方差计算公式可得，/，/，…，%的方差为S2，则a/，a%2，…，a第九的方差为a2s2.因为s2=0.01，所以10%，10%2，…，10第九的方差为100s2=1.故选c. n试卷第5页，总20页【答案】C【考点】指数式与对数式的互化函数的求值【解析】根据所给材料的公式列出方程——K——=0.95K,解出七*即可.1C0.23(t*53)【解答】解：/(t*)= K =0.95K，1C0.23(t*53)所以e0.23(t*53)=工，19所以0.23(t* 53)=ln+=ln19，解得t*~53-3—~66.0.23故选c.【答案】B【考点】两角和与差的正弦公式【解析】利用两角和差的三角公式，分别进行复角到单角，单角到复角的转化，直接化简即可【解答】解：根据两角和的正弦公式可得：兀sin。sin(63), 1V3=sin。-sin。—cos。223V3=-sin。—cos。22=V3sin(6汽)=1，所以sin(6 &)=&.6 3故选B.【答案】A【考点】平面向量数量积轨迹方程圆的标准方程试卷第6页，总20页【解析】设出4B,C的坐标，利用平面向量数量积的计算，转化求卿的轨迹方程，推出结果即可.【解答】解：设题中的点均在以4B所在直线为%轴，线段4B的中垂线为y轴的平面直角坐标系中，则可设4(-a,0)，B(a,0)，C(%,y)，则最=(x+a,y)，BC=(x—a,y)，AC-BC=x2+y2—a2=1，所以％2+y2=a2+1,则轨迹为圆.故选4【答案】B【考点】抛物线的标准方程【解析】利用已知条件转化求解。，E两点的坐标，通过几何关系求解抛物线方程，即可得到抛物线的焦点.【解答】解：根据题意，将％=2代入抛物线y2=2p%Q>0)中，解得y=±2尿则可设点。(2,2/办E(2,-2j。)，则DE=4而OD=0E=/4+4P.因为0。10E，所以0。2+。七2=DE2,解得。=1，所以抛物线的方程为y2=2%，焦点坐标为(；,0).故选B.【答案】B【考点】两点间的距离公式【解析】利用已知条件中点到直线的距离转化为两点间的距离公式，直接代入两点间的距离公式，即可得出结论.【解答】解：由直线y=k(x+1)过定点(-1,0)，要使点(0,1)到该直线的距离最大，则当过(0,1)和(-1,0)的直线与y=k(x+1)垂直时，此时有最大距离为(0,1)和(-1,0)两点之间的距离，则最大距离为72.故选B.9.试卷第7页，总20页【答案】C【考点】由三视图求表面积【解析】先由三视图分析几何体的直观图，然后再利用三视图的数据和三棱锥的表面积公式计算即可.【解答】解：由三视图可知，该几何体为一个三棱锥，故表面积为三个相等的两直角边为2的直角三角形和一个边长为2企的等边三角形的面积之和，即S=3x1x2x2+fx(272)2=6+2V3.故选c.【答案】A【考点】对数值大小的比较对数的运算性质【解析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解.【解答】解：:c=2log33=log379，a=log32=10g378，「.a<c.丁c=2log5=log725，b=log3=log727，3F 5 F 5「.c<b.「.a<c<b.故选从【答案】C【考点】余弦定理同角三角函数间的基本关系【解析】根据已知条件利用余弦定理可求得4B的值，再由余弦定理可得cosB，利用同角三角函数的基本关系即可求得tanB的值.【解答】解：由余弦定理可得：4B2=4c2+BC2-24C•BCcosC=42+32-2x4x3*2=9，试卷第8页，总20页再用余弦定理可得:cosBcosB=AB2BC2么。2=12AB-BC9又因为BG(0,兀)，所以tanB='】管8=475.故选C.【答案】D【考点】函数的对称性诱导公式函数最值的应用【解析】设sin%=t，则y=f(%)=t1，tG[1,1]，由对勾函数的图象和性质可得，y22或yW2，故可判断4根据奇偶性定义可以判断B正误；根据对称性的定义可以判断C，。的正误.【解答】解：4由sin%丰0可得函数的定义域为{%|%^kn,keZ},故定义域关于原点对称；设sin%=t，则y=f(%)=t1,tG[1,1],t由对勾函数的图象和性质得，丫22或丫工2，故Z错误；B,因为f(%)=sin(%) —1—=(sin% -i-)=/(%),sin(汽) sin汽故f(%)是奇函数，且定义域关于原点对称，故图象关于原点中心对称，故B错误;C,f（兀 ％）=sin（兀％） —1sin（几久）sin%f（兀 %）=sinC,f（兀 ％）=sin（兀％） —1sin（几久）sin%f（兀 %）=sin（兀％）sin（几久）sin%故/■（兀％）丰f（兀 ％）/(%)的图象不关于直线第=兀对称，故C错误;。，乂/（支％）=sin（K%）-1-=cos% ,cos%f（4%）=sin（K%）cos%故/■伊％）=fd22%）,定义域为{%|%Wk兀,kGZ},f(%)的图象关于直线第="对称，故。正确.故选D二、填空题【答案】11【考点】试卷第9页，总20页求线性目标函数的最值简单线性规划【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=3x+2y表示直线在y轴上的截距的一半，只需求出可行域内直线在y轴上的截距最大值即可.【解答】解：如图所示，可行性区域为图中阴影部分，z=3x+4y可化为直线y=—3x+1z，4 4当直线经过4(1,2)时，zmax=3X1+4X2=11.故答案为：11.【答案】V3【考点】双曲线的渐近线双曲线的离心率【解析】由双曲线的方程求出渐近线的方程，再由题意求出a，b的关系，再由离心率的公式及a，b，c之间的关系求出双曲线的离心率.【解答】解：由题意得k=V2,从而e=c=J1+G)2=V3.a a a故答案为：V3.【答案】1【考点】导数的运算【解析】先求出函数的导数，再根据r(1)=巴求得a的值.4【解答】解：・・•y(%)=q,汽+a试卷第10页，总20页

f,(%)=ex(%a)e_邑=*(%*(%a)2 (%a)2:力(1)=吗!®—=e，(1a)2 4解得a=1.故答案为：1.【答案】五于兀【考点】球的表面积和体积旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【解析】最后由条件易知该圆锥内半径最大的球为该圆的内接球，数形结合可得出球的半径，根据球的体积公式即可求解.最后【解答】解：该圆锥轴截面为底边长为2,腰为3的等腰三角形，其内切圆为该球的大圆.该三角形的周长为8,面积为2V2，由于三角形面积S，周长C和内切圆半径A的关系为5=亚，2故该球的体积为产”4兀・（玲故该球的体积为产”4兀・（玲32兀.故答案为：运3三、解答题【答案】解：（1）设公比为q，则由40则由401g=%4乎4=8q=3,所以4=3所以4=3九1.⑵由⑴得log3绘=n1，所以S=山山，几 2个以0为首项，1为公差的等差数列，所以优的1）的所以优的1）的1）优—（m3)(优2)，解得优=6或优=1所以仅=6.2（舍去）,【考点】等比数列的通项公式等差数列的前n项和【解析】试卷第11页，总20页

（1）设其公比为q,则由已知可得4+%q=4，解得a=1,q=3,可求其通项公a1q2-a1=8 1式；九（九一1），2（2）由（1）可得10g3a九=n-1,是一个以0为首项，1为公差的等差数列，可求“二由已知可得血2尸+如21M=（馆+3：馆+2）九（九一1），2【解答】解：（1）设公比为q,=1q=3,…a,+ao=4,,则由1 1=1q=3,。1g2—a=8, 111所以a九=3九-1.（2）由（1）得10g3a九=n—1,是一个以0为首项，1为公差的等差数列U,所以染=九（九一1）所以优（优一所以染=九（九一1）所以优（优一1）+(优+1)优=2(优+3)(优+2),2解得优=6或优=-1（舍去），所以仅=6.18.【答案】解：（1）匕=解：（1）匕=2+16+25100_-43.一,1005—5+10+12__22_卜2 ,2 100 100D—6+7+8_,21D_7+2+0___2_13= = ，〃= =3 100 100 4 100 100(2)%=(2+5+6+7)x100+(16+10+7+2)x300+(25+12+8)x500=350(2)%=100（3）完成2X2列联表如下:人次4400人次>400合计空气质量好333770空气质量不好22830合计5545100贝2=九(ad-bc)2 =100(33X8-37X22)2=1100合582(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 70x30x55x45 1895.82>3.841,有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.【考点】生活中概率应用众数、中位数、平均数独立性检验【解析】（1）用频率估计概率，从而得到估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率;试卷第12页，总20页

(2)采用频率分布直方图估计样本平均值的方法可得答案;(3)由公式K2=——n(adbc)2——计算k的值，从而查表即可.(ab)(cd)(ac)(bd)【解答】解：(1)P1=解：(1)P1=21625100=_43-p=51012 =2J_100 2 100 100p=678 =_21p—720 =_2_3 100 100 4 100 100—(2)第=(2567 )X100(161072 )义300(25128 )义500—(2)第100⑶完成2X2列联表如下：人次4400人次>400合计空气质量好333770空气质量不好22830合计55451002= 九(adbc)2 =100(33X837X22)2=1100已582(ab)(cd)(ac)(bd) 70x30x55x45 1895.82>3.841，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.19.【答案】证明：(1)因为几何体4BCD4181cl4是长方体，所以8%1平面4BCD，而4cu平面4BCD，所以4cl%.因为几何体4BCD4181cl4是长方体，且4B=BC，所以四边形4BCD是正方形，所以/ClBD，又BDCBB1=B，所以4C1平面B%%。，又点E，F分别在棱。以再斗上，所以EFu平面B%%。，所以后914C.(2)取44靠近4的三等分点M，连结以M，C1F，MF.因为E在。以，且2DE=ED]，所以后。因为E在。以，且2DE=ED]，所以后。1〃4时，且ED]=4M,所以四边形4ED1M为平行四边形,试卷第13页，总20页所以01M〃4E，且。1M=4E.又尸在^与上，且BF=2FB1,所以MF〃41gl，且闻F二44，从而MF"4.,MF=D1C1，所以四边形。1MFJ为平行四边形，所以01M〃CJ.所以4E〃CJ，所以4E,F,[四点共面，所以点.在平面4EF内.【考点】空间点、线、面的位置两条直线垂直的判定棱柱的结构特征【解析】(1)因为ZBCD-A44均是长方体，且4B=BC,可得4C1平面BB/p，因为EFu平面^^]。]。，所以EF14C;(2)取44上靠近4的三等分点M，连接DM，C1F，M工根据已知条件可得四边形4ED1M为平行四边形，得。1M〃4E，再推得四边形QD1M9为平行四边形，所以4M//QF，根据直线平行的性质可得4E//QF，所以4E，F，Q四点共面，即点Q在平面4EF内.【解答】证明：(1)因为几何体4BCD-&B1cl4是长方体，所以8811平面4BC。，而4Cu平面4BCD，所以4C1BB].因为几何体4BCD-4181cl幺是长方体，且4B=BC，所以四边形4BCD是正方形，所以/ClBD，又^^^^^1MB，所以4C1平面BBJJ，又点E，F分别在棱DD/B%上，所以EFu平面BBJJ，所以£1。1//4时，且ED]=4M,所以四边形4ED1M为平行四边形,所以以M//4E，且。1M=4£又尸在8珞上，且BF=29珞,所以MF//&B],且闻尸=44，试卷第14页，总20页从而MF〃。/1,MF=D1c1,所以四边形。1MFC1为平行四边形，所以01M〃、凡所以4E〃CJ，所以4E,F,q四点共面，所以点C1在平面45T内.20.【答案】解：(1)由题意可得，定义域为R,f'(x)=3x2-k.①当kW0时，f，(%)>0,函数f(%)在R上单调递增;②当k>0时，/>(%)=3%2-k,当f，(%)>0时，即3%2-k>0,解得％<-J港>R则f(%)在(-8,-J；)或(53,+8)上单调递增,f(x)在(-JjJ；)上单调递减.(2)由(1)可知，当kW0时，f(%)不可能有三个零点，故舍去;要使得f(%)有三个零点，则/'(-J：)〉。，f(53)<0,且k>0,(代)3-小(-代)+腔>0,即(下)3-小(上)+匕<0,解得0<k<4.27【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题利用导数研究函数的单调性【解析】(1)求出函数的导数，通过讨论k的范围，求出函数的单调区间即可；(2)根据函数的单调性，求出函数的极值，得到关于k的不等式组，解出即可.【解答】解：(1)由题意可得，定义域为R,f，(%)=3%2-k.①当kW0时，f，(%)>0,函数f(%)在R上单调递增;②当k>0时，f，(%)=3%2-k,当f，(%)>0时，即3%2-k>0,解得％<-j3或%>R则f(%)在(-8,-j3)或(j3，+8)上单调递增,/(%)在(-Jjj,上单调递减.试卷第15页，总20页

(2)由(1)可知，当kW0时，f(%)不可能有三个零点，故舍去；要使得f(%)有三个零点，则/'(-J'＞0,f(&)＜0,且k＞0,(一5)3--(-《)+匕>0,即(冉3i.(向+也＜0,3k>0,解得0＜女＜言.21.【答案】解：(勘设口二例］，c=唇%，则b=m=t1，所以加=t1.因为a=4t=5，解得t=5，1 1 4所以加=4，所以C的方程为C：22+臂=1(0＜加＜5).(2)设点Q(6,t)，。(61，%)，又4(-5,0)，5(5,0)，则雄=(m1-5,%)，匈=(1,t)，所以卧•收=0，得加］-5+4t=0.过P作PK1%轴，如图所示,所以/1+/2=宜，又/1+/3=宜，2 2所以N2=N3，N4=N1，又|BP|=|BQ|，所以4。尺3三△BGQ，得尺3=。6，PK=BG=1，即yp=1，所以P(mr1),得/-5+t=0.将P的坐标代入椭圆方程得迎2+16=1，25 25解得6]=±3，则t=2或t=8，所以P(3,1)，Q(6,2)或P(-3,1)，Q(6,8).试卷第16页，总20页当P(3,1),Q(6,2)时，\AQ\=5V5,直线4Q的方程为：2%-11y+10=0,P(3,1)到直线4Q的距离为d=二,5V5所以S^4PQ=1\4Q\d=1x5V5x-5==-；所以S^4PQ2 2 5V52当P(-3,1),Q(6,8)时，\4Q\=7185,直线4Q的方程为：8%-11y+40=0,P(-3,1)到直线4Q的距离为d=0,V185所以S^4PQ二1\4Q\d=1xV185x-35==5.所以S^4PQ2 2 V185 2综上，△”“的面积为：.【考点】椭圆的离心率三角形的面积公式椭圆的应用椭圆的标准方程平面向量数量积点到直线的距离公式【解析】(1)根据e=c，出=25,力2=62，代入计算加2的值，求出C的方程即可;a(2)画出椭圆的图象，求出P点坐标，结合图象得出A/PQ的面积即可.【解答】解：(1)设口=4“，c=V15t1,则b=m=t1,所以加=t1.因为口=4%=5,解得§=4,所以加=所以C的方程为C:22+臂=1(0＜加＜5).(2)设点Q(6,t),。(61，4),又4(-5,0),5(5,0),则卧=(m1-5,n1),就=(1,t),所以卧•收=0,得加］-5+4t=0.过P作PK1%轴，如图所示，试卷第17页，总20页所以/1+/2=笈，又/1+/3=巴2 2所以/2=/3,N4=N1,又|BP|=|BQ|,所以4。尺3三△BGQ,得尺8=。6,PK=BG=1,即丫「=1，所以。(加了1),得/—5+t=0.将P的坐标代入椭圆方程得"2+16=1，25 25解得6]=±3，则t=2或t=8，所以。(3,1)，Q(6,2)或P(-3,1)，Q(6,8).当P(3,1)，Q(6,2)时，|4Q|=5V5，直线4Q的方程为：2%-11y+10=0，P(3,1)到直线4Q的距离为d=工,5v5所以S^PQ=2MQ1d=2X5V5X彘=2；当P(-3,1),Q(6,8)时，|4Q|=V185,直线4Q的方程为：8%-11y+40=0,P(-3,1)到直线4Q的距离为d=三,V185所以％「、弓四"二产^^点二；综上，△”“的面积为；.【答案】解：(1)当％=0时，即0=2-t-t2，解得七=-2或七=1(舍)，将t=-2代入丫=2-3t+t2中，解得y=12；当y=0时，即0=2-3t+t2，解得七=2或七=1(舍)，将t=2代入％=2-t-t2中，解得％=-4，所以曲线与坐标轴交于(0,12)和(-4,0)，故|4B|二V(-4)2+122=4V10.(2)设直线4B的解析式为y=k%+b，由(1)得直线4B过点(0,12)和(-4,0)，试卷第18页，总20页所以直线4B的解析式为3%—y