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高数D综合测试题3参考答案一、填空题（每题2分，共20分）1.函数(解：的定义域为.)2.=.(解：)3.已知=，则a=.(解：)4.分段函数(解：是连续函数，则.)5．为函数的第一类（可去型）间断点.(解：)6.的水平渐近线是，垂直渐近线是．(解：)7．设，则.8．.(解：)9.广义积分.(解：)10.根据自由落体运动公式（位移单位：米，时间单位：秒），物体在秒时的瞬时速度等于到之间的平均速度．(解：到之间的平均速度为，瞬时速度由此可知)二、计算题（每题6分，共48分）1、求．解：＝＝．2.求不定积分.解：令，则，=3.求定积分.解：4.设，求解：方程两边分别对求导，得故由原方程可得，时，，将代入上式，即得5.已知，其中且二阶可导，求，.解：，6．求的通解.解：7．求微分方程的通解.解：特征方程为特征根，齐次方程的通解为.8..解：三、证明题（每题5分，共10分）1.证明方程有且仅有一个实根．证明：设个，则，根据零点存在定理至少存在一只有一个实根．，使得．再由，知函数单增．故方程2.证明：当时，有.证明：（法一）单调递增，（法二）上利用拉格朗日中值定理可知至少使得即.四、应用题1．（6分）对某工厂的上午班工人的工作效率的研究表明，一个中等水平的工人早上8时开始工作，在小时之后，生产出个产品．问：在早上几点钟这个工人工作效率最高？解：因为,,令,得．在又当时，．函数在上单调增加；当时，，函数上单调减少．故当时，达到最大,即上午11时这个工人的工作效率最高．2.（9分）已知温度为T的物体，在温度为的环境中冷却的速率与温差成正比.某同学习惯喝50º的温水,他将一杯100º的开水,放在20º的教室里,(1)求这杯水温度的变化规律；(2)问过多长时间后水就可以喝了?解：(1)温度变化满足方程经过分离变量,解得，由此得到温度变化规律为.代入初值得到因此温度变化规律是(2)令,则3.（7分）设曲线方程是，(1)求该曲线过点(1,2)的切线方程；(2)求上述切线与曲线及轴围成的平面图形的面积；(3

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