培优专题7-分式的运算

10、式的运算【识读分式的乘除法法则abbd

；aabbc当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。分式的加减法〔1〕通分的根据是分式的基本性质，且取各式分母的最简公分母。求最简公分母是通分的关键，它的法则是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡出现的字母〔或含有字母的式子〕为底的幂的因式都要取；③相同字母〔或含有字母的式子〕的幂的因式取指数最高的。〔2〕同分母的分式加减法法则aacc〔3〕异分母的分式加减法法则是先通分，变同分母的分式，然后再加减。分式乘方的法则aa()bb

nn

〔n为正整数〕分的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重要应用。学习时应注意以下几个问题：〔1〕注意运算顺序及解题步骤，把好符号关〔2〕整式与分式的运算，根据题目特点，可整式化为分母为”的分式；〔3〕运算中及时约分、化简；〔4〕注意运算律的正确使用；〔5〕结果应为最简分式或整式。下面我们一起来学习分式的四则运算。【类析仅

例1：计算

x2x2

的结果是〔〕

xx

xx

C.

xx

22

xx

22

分：式

(2)((xx(3)(2)(x2)(x(2)((x2)(x(2)(x3)(x2)(x(xx故选C说明：先将分子、分母分解因式，再约分。例2：已知，

aabac

的值。分：设先通分，计算就复杂了，我们可以用式化成同分母，运算就简单了。

bc

替换待求式中的“1”，将三个分解原式

aabcabababaabcab1aab例3：已知：

2

，求下式的值：(1

nm))mm分：题先化简，然后代入求值。化简时在每个括号内分，除号改乘号，除式的分子、分母颠倒过来，再约分、整理。最后将条件等式变形，用一个字母的代数式来表示另一个字母，带入化简后的式子求值。这是解决条件求值问题的一般方法。解

n))mm仅

22

()()(m)()(m)()m)()

mm52m02故原式

5n77n53n2例4：已知abc实数，且

ab1bc1，，a45

，那么

abcabbc的值是多少？分：知条件是一个复杂的三元二次方程组，不容易求解，可取数，进行简化。解由已知条件得：

1111，abbc所以

2(

11)12a即

111ab又因为

abbc1116abcc所以

abcabca例5：化简：

(

x3x2xxx解

一：

原

式

(x

3

x2x(x2)(x(x2)(x

xx

(x

)x

(xxx

(x

xx仅

解：式

((xx2)(x(2)(xxxxxx22)xx

xxx2xx

xx2x说明解法一是一般方法遇的问题是通分后分式加法的结果中分子是一个四次多项式而它的分解需要拆添项较麻烦解二则运用了乘法分配律止上述问题。因此，解题时注意审题，仔细观察善于抓住题目的特征，选择适当的方法。例1、计算：

1

nmm2

2解原式

()2()mm

mmnm说明：分式运算时，假设分子或分母是多项式，应先因式分解。例2、已知：

M2xyy2xyxy2

xyxy

，则

M

。解

xyyxyxy2y

xyy

x2yx2y

x

xy

x

y

Mx

说明式减运算后式右两边的分母相同其分子也必然相同可出M中点：例1：计算：

[

11])(2a)a仅

解：式

()()

a)2(a)

2

a(aa)

ab()()()2()2()()22解：式

(

111111)())aaaaa

1aa(aa)2

说明在分式的运算过程中乘公式和因式分解的使用会简化解题过程此题两种方法的繁简程度一目了然。例2：假设

2

，(1

a

2b3

3

2b))a

的值等于〔〕

12

C.

23解原式

a3ba3a3a33

(aab2)a()(a2ab2)aa2ab23abaab23ab24故选A【战拟已知：

a，

，则

ab

的值等于〔〕

25

145

C.

195仅

已

x

x0，

1

的值。计：

1xx

1xx

1x12x

1x20假

A

99999999

11112222

9999，B9999

22223333

，试比较A与B的小。已知：

a，8

，求证：

11ab

。【试题答】解：

aba2baaba2，aba

2a)2

ab14

ba5故选B解：

x2，xx，xx1

3

1xx

(x3

2

xx3

x

2

x(

4

x

2x

x3

2

)

x4x)x

x

16)xx

16x2))xx16[3

x

]xx

]2594144说明：此题反复运用了已知条件的变形，最终到达化简求值的目的。解：式

11(2)x2)(x3)(x(4)(仅

1111xxxxxxx

x

说明：此题逆用了分式加减法则对分式进行拆分，简化计算。解：设

9999

，则

A

aa2，BaaA

a2a434aa3(23

2

(a

a(a2a

2

证明：)

0，a

abacab

12

(22)又

111ab1(aababc

)a、、c

均不为零201c仅

12、分式方及其应用【识读解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。解分式方程的一般步骤：〔1〕在方程的两边都乘以最简公分母，约去母，化成整式方程；〔2〕解这个整式方程；〔3〕验根：把整式方程根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。列式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。【类析例1.解程：

x分析首先要确定各分式分母的简公分母方程两边乘这个公分母时不要漏乘解完后记着要验根解：方程两边都乘以

(x

，得

(xx，即x2，x经检验：

是原方程的根。例2.解程

xxxxxx分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现(与、与(

的值相差1，而分子也有这个特点，因此可将分母的值相差的两个分式结合然后再通把方程两边化为分子相等的两个分式用式的等值性质求值。解：原方程变形为：

xxxxxx仅

方程两边通分，得1(xx(x2)(x所以(x6)(x7)xx3)即x

经检验：原方程的根是

x

92

。x

例3.解程：

12x10x3424x23x48x84分析方程中的每个分式都相当一个假分数此可化为一个整数与一个简单的分数式之和。解：由原方程得：

3

114xxx即

2228xx8x8x1于是6)10)(8所以x(8x7)解得：x经检验：是原方程的根

，例4.解程：

6122y20y2y2分析：此题假设用一般解法，则计算量较大。当把分子、分母分解因式后，会发现分子与分母有相同的因式，于是可先约分。解：原方程变形为：

2)(y2)(y2

y2(

0约分，得

60y2)(方程两边都乘以

(，6(2)y2)2y20整理，216经检验：y是原方程的根。注：分式方程命题中一般渗透不等式，恒等变形，因式分解等知识。因此要学会根据方仅

程结构特点，用特殊方法解分式方程。、考解例．假设解分式方程

2mxx

产生增根，则m值是〔〕

2C.

或2

或分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是：或化原方程为：2(2，m或，故选择D。

把

0或

代入解得例甲、乙两班学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种棵树，甲班种棵所用的时间与乙班种6棵所用的时间相等班小时各种多少棵树？分析：利用所用时间相等这一等量关系列出方程。解：设甲班每小时种x棵，则乙班每小时种〔x+2〕棵树，由题意得：

6066x60xxx经验：x原程根x答：甲班每小时种树棵，乙班每小时种棵。说明：在解分式方程应用题时一定要检验方程的根。、型示例轮船在一次行中顺流航行千，逆流航行米，共用了小；在另一次航行中用同的时间，顺流行40千逆航行70千。求这艘轮船在水中的速度和水流速度分析：在航行问题中的等量关系是“船实际速度=水+静速度”，有顺水、逆水，取水速正、负值，两次航行提供了两个等量关系。解：设船在静水中的速度为x千米小时，水流速度为y千/小时仅

由题意，得

42xy70xy

17是原答：水流速度为千/时，船在静水中的速度为17千/小时。例2.为值时，关于x方程

23xx

会产生增根？解：方程两边都乘以

x

，得

2xmx3x整理，得

(mx当m时，x

10如果方程产生增根，那么2，即x2或x（）若2，则

10

10（若则m（）综上述，当m时，原方程产生增根说明：分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根【战拟甲、乙两地相距千米，某人甲地出发，以v千/小时的速度步行，了a时后改乘汽车，又过b小到达乙地，则汽车的速度〔〕

a

av2C.baa如果关于x的程

2有增根，则m值等于（）

C.

解方程：（）（2）

112x10(xx(2)(3)(xxx2x4x111x4仅

求x为值时，代数式

2xx

的值等于2？甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天，再由两队合作2天完成了全部工程。已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的乙两队单独完成各需多少天？【试题案】

23

，求甲、由已知，此人步行的路程为千，所以乘车的路程为

（）千。又已知乘车的时间为时，故汽车的速度为

avb

千米时，应选。把方程两边都乘以

x，

x5.假设方程有增根，则

x3，53应选B〔1〕分析：方程左边很特殊，从第二项起各分式的母为两因式之积，两因式的值都相差，且相邻两项的分母中都有相同的因式。因此，可利用即用“互为相反数的和为”将原方程化简

11n(nnn

裂项，解：原方程可变为

1111112xxx10

x

即x

经检验：原方程的根是

〔2〕分析：用因式分解〔提公因式法〕简化法解：

(

1124)01121x因为其中的

1121

仅

1x241x11

4221x1x1

4441x1x18x0经检验：

x0

是原方程的根。解：由已知得

2xx即2

20解得经检验：

是原方程的根。当

32x2时，代数式2

的值等于。设：乙队单独完成所需天数x天，则甲队单独完成需112()由题意，得xx2x

23

天。12即xx解得：经检验

x6是原方程的根26时，43答：甲、乙两队单独完成分别需4天6天仅

分式分式注意：必须验根13、式总复习【识读

定义：（A、为整式，B中含有字母）M通分：(M0)M性质约分：(M1定义：分母含有未知数的方程。x把分式方程转化为整式方程方法：两边同乘以最简公分母方程依据：等式的基本性质：列分式方程解应用题及在【类析分式意的用例1.假

0

，试判断

1，ab

是否有意义。分：判断

1，ab

是否有意义，须看其分母是否为零，由条件中等式左边因式分解，即可判断

a，

与零的关系。解

ab(b即

a00或a0

1，a

中至少有一个无意义。结合元、方、项法因分等法化式算例2.计：

a

2

aa仅

分如果先通分子算量较大察子中含分母的项与分母的关系采别离分式法”简化计算。解原式

a(a(a3)a1a)aa

1aa(a(2a(1)(例3.解程：

1

1x2xx2分：为

x2xx2x2)(x

，所以最简公分母为：

(xx

，假设采用去分母的通常方法，运算量较大。由于2x1xxx

故可得如下解法。解

x

2x

2x

2

1原方程变为

1

1xx

2

1x

2

1xx

2

x

2

xx0经检验，

x0

是原方程的根。在代求中应例4.已

a

与

b

互为相反数，求代数式(

a

2

4aabb2)2ba2

的值。分：要求代数式的值，则过已知求出b的值，又因为2a20

，

，利用非负数及相反w数性质可求出a的值。仅

解由已知得

a，，得a3，原式

4aabb]()(a)abb)ab(aa)222b](aa)ab)2b)a)(a)

b把

a3，

代入得：原式

112用方解实问例一列火车从站开出，预计行程450千，当它开出3时后，因特殊任务多停一站，耽误30分，后来把速度提高了倍，结果准时到达目的地，求这列火车的速度。解设这列火车的速度为x千/根据题意，得

4501x方程两边都乘以12x，得

5400x解得

75经检验，是原方程的根答这列火车原来的速度为75千/。在数、理化等科学习，会到关式推，式变等题而式变实上是含字系的程例6.已

2y3y

，试用含x的代数式表示y，并证明

(3xy13

。解由

2y3y

，得

xyy2x(32)y2xy

23x(3x)

3)y133y33(3x13仅

、考题例1．已知

x

M2xy2yxyxy

，则M＝__________。分：过分式加减运算等式左边和右边的分母相同其子也必然相同即求出M解

xyyxy2

xyxy

2xy2xyy2y

2

22

2M

22Mx

例2．已知

x2x

，那么代数式

(3x

的值是_。分析：先化简所求分式，发现把

x

2

看成整体代入即可求的结果。解：原式

x2xxx

x原式x、型示

例1.当x何值时，式子

|xx

有意义？当x取么数时，该式子值为零？解由

x

2)0得

或所以，当

x

时，原分式有意义由分子

x得x当

x2

时，分母

20当

时，分母

x

2

，原分式无意义。仅

所以当x2时式子

|x

的值为零例2.求

2m)x22m)mnx

的值，其中

2mn

12

。分：化简，再求值。解原式

(x)((x(x(x(x)(x)xm

1，n，6

原式

(x)2(2m)(x2n)24n2

1()2414