§3.6　函数的图象(讲解部分)

考点一函数图象的识辨1.利用描点法作函数的图象(1)确定函数的定义域;(2)化简函数解析式;(3)讨论函数的性质(奇偶性、单

调性、周期性等);(4)列表(尤其注意特殊点,零点,最大值与最小值,与坐标

轴的交点);(5)描点;(6)连线.(用平滑的曲线连点)2.图象变换(1)平移变换考点清单(2)对称变换y=f(x)

①

y=-f(x)

;y=f(x)

②

y=f(-x)

;y=f(x)

③

y=f(2a-x)

;y=f(x)

④

y=-f(-x)

.(3)伸缩变换y=f(x)

⑦

y=f(ωx)

;y=f(x)

⑧

y=Af(x)

.(4)翻折变换y=f(x)

⑨

y=|f(x)|

.y=f(x)

⑩

y=f(|x|)

.3.函数图象的对称性(1)若y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则f(x)的图象关于直线

x=

对称.(2)若y=f(x)满足f(x)=2b-f(2a-x),则f(x)的图象关于点

(a,b)

中心对称.(3)函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图象的对称轴方程为

x=

.(4)函数y=f(x-a)+b与y=-f(a-x)+b的图象关于点

(a,b)

对称.考点二函数图象的应用函数图象是对函数关系的一种直观、形象的表示,是体现数形结合思

想的基础,应解决好以下三个方面的问题:(1)作图:应注意在定义域内依据函数的性质选取关键的一部分点;(2)识图:在观察、分析图象时,要注意到图象的分布及变化趋势、具有的

性质、解析式与图象的关系;(3)用图:函数的图象形象地显示了函数的性质,充分利用图象提供的信息

可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等问题,利用函

数y=f(x)与y=g(x)的图象交点个数判断f(x)=g(x)的解的个数及求不等式的

解集等.考法一作函数的图象知能拓展例1作出下列函数的图象:(1)y=

;(2)y=

.解析(1)首先要化简解析式:y=

易知y=

为奇函数,作出y=x2,x>0的图象后,再根据奇函数的图象关于原点对称,作出x<0时的图象,如图①所示.(2)y=

=1+

,先作出y=

的图象,将其图象向右平移一个单位,再向上平移一个单位,即得y=

的图象,如图②所示.方法总结画函数图象的一般方法:1.直接法:当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本初等函数时,就

可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.2.转化法:含有绝对值符号的函数,可脱掉绝对值符号,转化为分段函数来画

图象.3.图象变换法:若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、伸

缩、翻折、对称得到,可利用图象变换作出.提醒

(1)画函数的图象一定要注意定义域.(2)利用图象变换法时要注意变换顺序,对不能直接找到熟悉的基本初等函

数的要先变形,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式

的影响.考法二识图与辨图问题的常见类型及解题策略例2(1)(2019山西太原名校联盟,4)函数y=x2-2|x|(x∈R)的部分图象可能是

()(2)(2018安徽淮北一模,8)函数f(x)=

+ln|x|的图象大致为

()(3)已知函数y=f(x)的大致图象如图所示,则函数y=f(x)的解析式可能为

()A.f(x)=exlnx

B.f(x)=e-xln|x|C.f(x)=exln|x|

D.f(x)=e|x|ln|x|解析(1)显然函数是偶函数,排除B,D.取x=0,则y=-1.排除A.故选C.(2)当x<0时,函数f(x)=

+ln(-x),易知函数f(x)=

+ln(-x)在(-∞,0)上递减,排除C,D;当x>0时,函数f(x)=

+lnx,f(2)=

+ln2≠2,故排除A,选B.(3)由题图知,函数定义域中有负数,排除选项A.函数不是偶函数,排除选项

D.当x→+∞时,f(x)增长速度越来越快,与B选项不符合,故排除B.故选C.答案(1)C(2)B(3)C方法总结识图与辨图问题的常见类型及解题策略1.由解析式确定函数图象.此类问题往往需要化简函数解析式,利用函数的

性质(单调性、奇偶性、过定点等)判断,常用排除法.2.已知函数图象确定相关函数的图象.此类问题主要考查函数图象的变换

(如平移变换、对称变换等),要注意函数y=f(x)与y=f(-x)、y=-f(x)、y=-f(-x)、y=f(|x|)、y=|f(x)|等的相互关系.3.借助动点探究函数图象.解决此类问题可以根据已知条件求出函数解析

式后再判断函数的图象;也可采用“以静观动”,即将动点处于某些特殊的

位置处考察图象的变化特征,从而作出选择.考法三函数图象的应用例3已知函数f(x)=

若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则a+b+c的取值范围是

()A.(1,2017)

B.(1,2018)

C.[2,2018]

D.(2,2018)解析设f(a)=f(b)=f(c)=m,作出函数f(x)的图象与直线y=m,如图所示,不妨设

a<b<c,当0≤x≤1时,函数f(x)的图象与直线y=m的交点分别为A,B,由正弦曲

线的对称性,可得A(a,m)与B(b,m)关于直线x=

对称,因此a+b=1.令log2017x=1,解得x=2017,结合图象可得1<c<2017,因此可得2<a+b+c<2018,即a+b+c

∈(2,2018).故选D.

答案

D方法总结利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数,其性质(单调性、奇偶

性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究,但一定要注意性质与

图象特征的对应关系.例4若关于x的不等式

>x+m的解集为

.求实数m的值.解题导引作出y=

=(2x+1

,y=x+m的图象,根据图象的上下位置求出m的值.解析作函数y=

及y=x+m的图象如图所示,则原不等式的解集等价于函数y=

的图象在y=x+m的图象上方部分的横坐标x的取值范围.由图可知,要使原不等式的解集为

,则x=4是两图象的交点的横坐标,即方程

=x+m的解.∴m=

-4=-1.

方法总结利用函数的图象研究不等式当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时,常将不等式问题转化

为两函数图象的上下关系问题,从而利用数形结合法求解.例5若函数f(x)=

与g(x)=|x+a|+1的图象上存在关于y轴对称的点,则实数a的取值范围是

()A.RB.(-∞,-e]

C.[e,+∞)

D.⌀解题导引

解析设y=h(x)与y=f(x)的图象关于y轴对称,则h(x)=f(-x)=

作出y=h(x)与y=g(x)的函数图象,如图所示:∵f(x)与g(x)的图象上存在关于y轴对称的点,∴y=h(x)与y