专题七 7.3　直线、圆、圆锥曲线小综合题专项练

7.3直线、圆、圆锥曲线小综合题专项练第三部分2021内容索引0102必备知识精要梳理考向训练限时通关必备知识精要梳理1.直线与圆的位置关系根据圆心到直线的距离与圆的半径大小关系判定.2.圆与圆的位置关系有五种,即内含、内切、相交、外切、外离.判定方法是利用两圆心之间的距离与两圆半径的和、差关系.3.焦半径公式e为双曲线的离心率.点M(x,y)在右支上,|PF1|=ex+a,|PF2|=ex-a;点M(x,y)在左支上,|PF1|=-(ex+a),|PF2|=-(ex-a).4.椭圆与双曲线中点弦斜率公式及其推论

5.过圆及圆锥曲线上一点的切线方程(1)过圆x2+y2=r2上一点M(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2;(2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点M(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2;(3)过曲线C:Ax2+By2+Dx+Ey+F=0上的一点P(x0,y0)的切线方程为考向训练限时通关考向一圆锥曲线中的面积问题答案

B

解析

由题意知a=1,b=

,c=2.不妨设F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点,则F1(-2,0),F2(2,0).因为|OP|=2,所以点P在以O为圆心,F1F2为直径的圆上,故PF1⊥PF2,则|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=16.由双曲线的定义可知||PF1|-|PF2||=2a=2,所以|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4,所以|PF1|·|PF2|=6,所以△PF1F2的面积为

|PF1|·|PF2|=3.2.(2020全国Ⅱ,理8)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:

=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为(

)A.4 B.8 C.16 D.32答案

B

3.(2020全国Ⅲ,理11)设双曲线C:

=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为

.P是C上一点,且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4,则a=(

)A.1 B.2 C.4 D.8答案

A

解析

不妨设点P在第一象限,设|PF1|=m,|PF2|=n,则m>n,依题意答案

A

5.(2020山东烟台一模,7)设P为直线3x-4y+4=0上的动点,PA,PB为圆C:(x-2)2+y2=1的两条切线,A,B为切点,则四边形APBC面积的最小值为(

)答案

A

考向二圆锥曲线中的弦长、线段长(比值)问题6.(2020山东,13)斜率为

的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点,则|AB|=

.

解析

如图所示,直线与抛物线交于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),F(1,0),准线方程为x=-1,作AA',BB'垂直于准线,交准线于点A',B',由抛物线的定义知|AA'|=|AF|,|BB'|=|BF|.7.(2020河南广东等省4月联考,5)已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F和抛物线上一点M(3,2)的直线l交抛物线于另一点N,则|NF|∶|NM|等于(

)A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.1∶答案

C

8.(2020山东济南一模,6)已知抛物线y2=4x的焦点为F,直线l过F且与抛物线交于A,B两点,过A作抛物线准线的垂线,垂足为M,∠MAF的角平分线与抛物线的准线交于点P,线段AB的中点为Q.若|AB|=8,则|PQ|=(

)A.2 B.4 C.6 D.8答案

B

解析

由题意,直线AB的斜率必定存在.抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),画出图形,可知PF⊥AB,AM=AF,设AB:y=k(x-1)与抛物线方程联立,可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,

答案

C

解析

如图,作BP⊥l,AQ⊥l,垂足分别为P,Q.连接AF,BF,设|AF|=a,|BF|=b.由抛物线定义,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|.在梯形ABPQ中,2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b,

2abcos

120°=a2+b2+ab,配方,得|AB|2=(a+b)2-ab.

答案

B解析

设圆的半径为r,则|AB|=|PQ|=|PB|=|PA|=r,∴△PAB为正三角形,考向三圆锥曲线的小综合问题11.(多选)(2020山东,9)已知曲线C:mx2+ny2=1.(

)A.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在y轴上D.若m=0,n>0,则C是两条直线

答案

ACD答案

D解析

根据题意直线MN存在斜率,易知F(1,0).设直线MN的方程为y=k(x-1),