人教B版选择性必修第二册4.2.3二项分布与超几何分布学案

4.2.3二项分布与超几何分布学习目标1.通过实例,了解伯努利试验,掌握二项分布,并能解决简单的实际问题.提升数学抽象与数学建模素养.2.通过具体实例,了解超几何分布,并能解决简单的实际问题.培养数学运算与数学建模素养.在相同条件下重复n次伯努利试验时,人们总是约定这n次试验是相互独立的,此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验.思考:独立重复试验必须具备哪些条件?提示:(1)每次试验的条件完全相同,相同事件的概率不变.(2)各次试验结果互不影响.(3)每次试验结果只有两种,这两种结果是对立的.在n次独立重复试验中,记每次“成功”的概率为p,则在n次试验中“成功”的次数X的取值集合是{0,1,2,…,n},且P(X=k)=Cnkpk(1-p)X01…k…nPCn0Cn1…Cnkpk…Cnn称X服从参数为n,p的二项分布,记作X～B(n,p).[做一做]设随机变量X～B(6,12)A.516 B.316 C.5解析:由题意,随机变量X～B(6,12)所以P(X=3)=C63(12)3(1-12)一般地,若有总数为N件的甲、乙两类物品,其中甲类有M件(M<N),从所有物品中随机取出n件(n≤N),则这n件中所含甲类物品数X是一个离散型随机变量,X能取不小于t且不大于s的所有自然数,其中s是M与n中的较小者,t在n不大于乙类物品件数(即n≤N-M)时取0.否则t取n减乙类物品件数之差(即t=n-(N-M)),而且P(X=k)=CMkC对超几何分布的理解(1)在形式上适合超几何分布的模型常有较明显的两部分组成,如“男生,女生”“正品,次品”“优,劣”等.(2)在产品抽样中,一般为不放回抽样.(3)其概率计算可结合古典概型求得.如果X～H(N,n,M)且n+M-N≤0,则X能取所有不大于s的自然数,此时X的分布列如下:X01…k…sPCC…C…C[做一做]设10件产品中有3件次品,现从中抽取5件,则C3解析:根据超几何分布的定义可知C32表示从3件次品中任选2件,二项分布[例1]甲、乙两人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为23,乙每次击中目标的概率为1(1)求乙至多击中目标2次的概率;(2)记甲击中目标的次数为ξ,求ξ的分布列;(3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.解:(1)乙至多击中目标2次的概率为1-(12)3=7(2)依题可知ξ的可能取值为0,1,2,3,并且ξ～B(3,23)P(ξ=k)=C3k(23)k(1即P(ξ=0)=(13)3=1P(ξ=1)=C31(23)1(13)P(ξ=2)=C32(23)21P(ξ=3)=(23)3=8所以ξ的分布列为ξ0123P1248(3)设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A,甲恰好击中目标2次,且乙恰好击中目标0次为事件B1,甲恰好击中目标3次,且乙恰好击中目标1次为事件B2,则A=B1+B2,B1,B2为互斥事件,P(A)=P(B1)+P(B2)=49(12)3+827C31(12)1针对训练:一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为12(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列;(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率为多少?解:(1)X可能的取值为10,20,100,-200.根据题意,有P(X=-200)=(1-12)3=1P(X=10)=C31(12)1(1-12)P(X=20)=C32(12)2(1-12)P(X=100)=(12)3=1所以X的分布列为X1020100-200P3311(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i=1,2,3),则P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=18所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1-P(A1A2A3)=1-(18)3=1-1512=因此,玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率为511512凡某事件每次发生的概率相同,各次发生之间互不影响,则在n次中该事件发生的次数就服从二项分布,如体育运动中的投篮练习、七场四胜制中的比赛场次,有放回地摸球等.超几何分布[例2]某外语学校的一个社团有7名同学,其中2人只会法语,2人只会英语,3人既会法语又会英语,现选派3人到法国的学校交流访问.求:(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率;(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列.解:(1)7名同学中,会法语的人数为5,从7人中选派3人,共有C73种选法;其中恰有2人会法语共有C52C(2)由题意可知,X所有可能的取值为0,1,2,3,P(X=0)=C43C73=4P(X=2)=C41C32C7所以X的分布列为X0123P418121针对训练:袋中有4个红球,3个黑球,这些球除颜色外完全相同,从袋中随机抽取球,设取到一个红球得2分,取到一个黑球得1分,从袋中任取4个球.(1)求得分X的分布列;(2)求得分大于6分的概率.解:(1)从袋中任取4个球所有可能的情况为1红3黑,2红2黑,3红1黑,4红,共四种情况,得分分别为5分,6分,7分,8分,故得分X的所有可能取值为5,6,7,8.P(X=5)=C41C33C7P(X=7)=C43CP(X=8)=C44C故所求分布列为X5678P418121(2)根据随机变量的分布列可以得到得分大于6分的概率为P(X>6)=P(X=7)+P(X=8)=1235+135=凡总体由两类元素组成,从中取出一些元素,其中一类元素的个数就服从超几何分布.二项分布与超几何分布的综合[例3]某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位:g),质量的分组区间为(490,495],(495,500],…,(510,515].由此得到样本的频率分布直方图如图.(1)根据频率分布直方图,求质量超过505g的产品数量;(2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设X为质量超过505g的产品数量,求X的分布列;(3)从该流水线上任取2件产品,设Y为质量超过505g的产品数量,求Y的分布列.解:(1)质量超过505g的产品的频率为5×0.05+5×0.01=0.3,所以质量超过505g的产品数量为40×0.3=12(件).(2)质量超过505g的产品数量为12件,则质量未超过505g的产品数量为28件,且X～H(40,2,12).所以P(X=0)=C282CP(X=1)=C121CP(X=2)=C122C所以X的分布列为X012P632811(3)根据样本估计总体的思想,取一件产品,该产品的质量超过505g的概率为1240=3从流水线上任取2件产品互不影响,该问题可看成2次独立重复试验,质量超过505g的件数Y的可能取值为0,1,2,且Y～B(2,310)P(Y=k)=C2k(1-310)2-k(3所以P(Y=0)=C20×(710)2P(Y=1)=C21×310×7P(Y=2)=C22×(310)2所以Y的分布列为Y012P49219针对训练:甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏,按照规则:每人从备选的10道题中一次性抽取3道题独立作答,至少答对2道题即闯关成功.已知10道备选题中,甲只能答对其中的6道题,乙答对每道题的概率都是13(1)求甲闯关成功的概率;(2)设乙答对题目的个数为X,求X的分布列.解:(1)设“甲闯关成功”为事件A,P(A)=C62C(2)依题意X～B(3,13)P(X=0)=C30(1-13)3P(X=1)=C3113(1-13)2P(X=2)=C32(13)2(1-13)1=P(X=3)=C33(13)3所以X的分布列为X0123P8421二项分布和超几何分布的区别是:二项分布中事件发生的概率值不变、各次事件间的发生与否互不影响;超几何分布中各次事件发生的概率值不同.可以从放回地取球、不放回地取球理解二项分布和超几何分布.1.(2021·河北承德高二月考)设随机变量ξ～B(2,p),若P(ξ≥1)=59A.14 B.C.23 D.解析:因为P(ξ≥1)=59所以P(ξ<1)=1-P(ξ≥1)=1-59=4而P(ξ<1)=P(ξ=0)=C20·p0·(1-p)2=49?1-p=232.箱子中有标号为1,2,3,4,5,6且大小、形状完全相同的6个球,从箱子中一次摸出两个球,记下号码并放回,如果两球号码之积是4的倍数,则获奖.若有4人参与摸奖,则恰好有3人获奖的概率为(B)A.16625 B.96C.624625 D.解析:获奖的概率为P=6C62=25,记获奖的人数为ξ,ξ～B(4,25),所以4人中恰好有3人获奖的概率为P=C43(223,他连续射击2次,且各次射击是否击中目标相互没有影响.现有下列结论:①他第2次击中目标的概率是23;②他恰好击中目标1次的