中科院课件《现代信号处理的理论与方法》课程回顾

解析信号对于实信号s(t)，它的Hilbert变换为：由此可得解析信号为：

幅值和相位分别为：

当前1页，总共52页。瞬时频率瞬时频率：表征了信号在局部时间点上的瞬态频率特性，整个持续期上的瞬时频率反映了信号频率的时变规律。

信号的中心频率是其瞬时频率在整个时间轴上的加权平均。当前2页，总共52页。信号的时宽和带宽信号的“时间中心”及“时间宽度”，频率的“频率中心”及“频带宽度”分别说明了信号在时域和频域的中心位置及在两个域内的扩展情况。定义

分别是信号的时宽和带宽，定义

为信号的时宽－带宽积。

当前3页，总共52页。不确定原理对于能量有限信号，其时宽和带宽的乘积总能满足下面的不等式，即式中，Δt表示信号有效持续时间，Δf表示信号的有效带宽。频域分辨率和时域分辨率不能同时任意小，即不可能存在既是带限又是时限的信号波形。当前4页，总共52页。信号的分解与变换当前5页，总共52页。时频分析线性时频分析方法（STFT,Gabor变换,WT）使用时间和频率的联合函数描述信号的频谱随时间的变化情况；非线性时频分析方法（时频分布）使用时间和频率的联合函数描述信号的能量密度随时间变化的情况。当前6页，总共52页。短时傅里叶变换当前7页，总共52页。

由于受不定原理的制约，窗函数的有效时宽和带宽不可能同时任意小，窗宽应该与信号的局域平稳长度相适应。对时间分辨率和频率分辨率只能取一个折中，一个提高了，另一个就必然要降低，反之亦然。当前8页，总共52页。Gabor变换当前9页，总共52页。Gabor变换与STFT的区别与联系：STFT的窗函数必须是窄窗，而Gabor变换的窗函数无此限制，可以将Gabor变换看成是一种加窗的傅立叶变换，它的适用范围比STFT适用范围更广泛；STFT(t,f)是信号的时频二维表示，Gabor变换系数相当于信号的时间移位-频率调制二维表示。当前10页，总共52页。小波变换其中，a>0被称为尺度因子，b反映小波函数在变换中的位移，ψ(t)称为基小波或“母小波函数”，是母小波经移位和伸缩所产生的一组函数，称为小波基函数，或简称小波基。当前11页，总共52页。

小波变换的特点小波变换的时频关系受不确定原理的制约，在时频平面上的分析窗是可调的，但分析窗的面积保持不变。

采用不同的尺度a作处理时，各个Ψ(aΩ)的中心频率和带宽都不一样，但是它们的品质因数Q却是相同的，即“中心频率／带宽”为常数。当前12页，总共52页。作为小波函数所应具有的大致特征：即是一带通函数，它的时域波形应是振荡的。此外，从时－频定位的角度，希望是有限支撑的，因此它应是快速衰减的。这样，时域有限长且是振荡的这一类函数即是被称作小波（wavelet）的原因。1.容许条件

当前13页，总共52页。

由此，可以得到离散化小波变换

j=0,1,2,…;k∈Z称cj,k为离散小波变换系数，简称为小波系数。在实际的工作中，最常见的情况是取a0=2，b0=1，此时a取值为20,21,…,2j。此时，连续小波变换中的基函数ψab(t)记为ψjk(t),相应地，离散小波变换可表示为

当前14页，总共52页。时频分布的定义当前15页，总共52页。二次叠加原理设

则

式中：和分别称为z1(t)和z2(t)的自时频分布;和分别称为z1(t)对z2(t)和z2(t)对z1(t)的互时频分布。这种互时谱形成了二次时频分布的交叉项。当前16页，总共52页。Wigner-Ville分布

将kz(t,τ)称为瞬时自相关函数，那么WVD就是信号瞬时自相关函数的傅里叶变换。当前17页，总共52页。模糊函数模糊函数在频率域的定义是

当前18页，总共52页。WVD中交叉项的抑制：对信号求模糊函数，由于模糊函数的自项始终在平面的原点处，而交叉项远离原点，故可以设计一个二维低通滤波器，来抑制模糊函数中的交叉项；对滤波后的模糊函数作二维傅立叶变换，得到信号的维格纳变换，此时的WVD即是抑制了交叉项的新WVD。当前19页，总共52页。同一信号AF及WD互项与自项的位置示意图

当前20页，总共52页。由于Wigner分布的核函数是全通函数，它对AF的互项无抑制作用，因此，其WD也就存在着较大的交叉项。消除干扰项的方法：应该选择平面上的二维低通函数来作为核函数。当前21页，总共52页。高阶矩与高阶累积量

单个随机变量x的高阶矩与高阶累积量：当前22页，总共52页。

随机信号的高阶矩与高阶累积量：考查平稳随机信号x(t),令随机信号x(t)的k阶矩：随机信号x(t)的k阶累积量：当前23页，总共52页。矩和累积量的估计当前24页，总共52页。高阶谱高阶谱又称多谱，是多个频率的能量谱。当前25页，总共52页。双谱具有下列对称性质，即当前26页，总共52页。随机信号通过线性系统的高阶统计分析设x(k)是一个实随机序列，均值为零，并平稳到三阶以上。h(n)是一个线性移不变系统，它可以是因果的或非因果的。则系统的输出为当前27页，总共52页。如果输入是一个平稳、零均值、非Gauss独立、同分布的随机序列，则有通常将上述一般结果称为Bartlett-Brillinger-Rosenblatt公式，简称BBR公式。当前28页，总共52页。当前29页，总共52页。FIR系统辨识当前30页，总共52页。闭合公式法从原则上说明利用系统输出的高阶累积可以实现系统辨识的目的，如果准确地知道系统输出的三阶或四阶累积量，就可以辨识系统，而不需要假定系统是最小相位的。当前31页，总共52页。累积－脉冲响应方程：当前32页，总共52页。当前33页，总共52页。当前34页，总共52页。当前35页，总共52页。当前36页，总共52页。MA阶数的辨识Giannakis和Mendel定阶方法当前37页，总共52页。奇异值分解（SVD）定阶方法当前38页，总共52页。多抽样率信号处理技术“多抽样率数字信号处理”的核心内容是信号抽样率的转换及滤波器组。抽取与插值滤波器组当前39页，总共52页。信号的抽取当前40页，总共52页。抽取滤波器的频响特性：防止抽取后在中出现混叠的方法是在对抽取前先进行低通滤波，压缩其频带。当前41页，总共52页。信号的插值当前42页，总共52页。插值滤波器的频响特性：

实现有效插值的方法是将再通过一个低通滤波器，即图5.3.3插值后的滤波

注：见胡广书《现代信号处理教程》图当前43页，总共52页。抽取与插值相结合的抽样率转换当前44页，总共52页。信号的多相表示当前45页，总共52页。滤波器组的基本概念当前46页，总共52页。滤波器组的种类及有关滤波器最大均匀抽取滤波器组正交镜像滤波器组第M带滤波器半带滤波器互补型滤波器当前47页，总共52页。两通道滤波器组注：见胡广书《现代信号处理教程》图当前48页，总共52页。各信号间的关系：当前49页，总共52页。当前50页，总共52页。讨论：若T(z)是全通系统，则整个滤波器组将不会发生幅度失真；若T(z)具有线性相位，则该滤波器组将不会发生相位失真；最简单的情况是令T(z)