新高考数学一轮复习讲义：集合、常用逻辑用语、不等式

新高考数学一轮复习讲义：集合、常用逻辑用语、不等式

§1.1集合

【考试要求】

1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系，能用自然语言、图形语言、集合语言(列

举法或描述法)描述不同的具体问题.

2.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.

3.在具体情境中，了解全集与空集的含义.

4.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集.

5.能使用Venn图表示集合间的基本关系及集合的基本运算.

【知识梳理】

1.集合与元素

(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.

(2)元素与集合的关系是属于或不属于,用符号且或g表示.

(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法.

(4)常见数集的记法

非负整数集

集合正整数集整数集有理数集实数集

(或自然数集)

符号NN*（或NJZQR

2.集合的基本关系

(1)子集：一般地，对于两个集合4B,如果集合4中任意--个元素都是集合6中的元素,

就称集合4为集合5的子集，记作力U8或回.

(2)真子集：如果集合力=6,但存在元素xG2且就称集合力是集合6的真子集，记

作4B或BA.

(3)相等：若AGB,且茎则1=8.

(4)空集：不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.

3.集合的基本运算

、表示

文字语言集合语言图形语言记法

运

所有属于集合/现属于

{x\xGA,或

并集集合6的元素组成的集AUB

了66}00

所有属于集合4旦属于

{X\XELA,且

交集集合6的元素组成的集1ATVB

X®必3E

合

全集〃中不属于集合/

的所有元素组成的集合

补集{x\xRU,且廨力}

称为集合/相对于全集UU0

的补集

【思考】

1.若一个集合］中有〃个元素，则集合/有几个子集，几个真子集?

提示子集：2”,真子集：2--1.

2.从ACB=A,中可以分别得到集合48有什么关系？

提示ADB—A^>AQS,AU8=Ao厄4

【基础自测】

题组一思考辨析

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)任何一个集合都至少有两个子集.(X)

(2){x\y—x+l}-{y\y—x+l)—{(x,y)|y=/+l).(X)

⑶若1C{V,*},则*=-1或x=l.(X)

(4)对任意集合4B,都有(4C庾U(/U⑸.(V)

题组二教材改编

2.(多选)若集合［={x£N2x+10>3x},则下列结论正确的是()

A.2出阵4B.8马

C.{4}ejD.{0}£j

答案AD

3.己知集合々{1,a},Q={1,3},若P=Q,则a=_.

答案0

4.设全集〃=R,集合4={x|0<xW2},8={y|lWj<3},则((〃)U6=

答案(一8,0)U［1,+°°)

解析因为{x|x>2或KO},B—{y|1WZ3},所以(CMUB—(―°°,0)U[1,+°°).

题组三易错自纠

5.已知集合4={x|x-a>0},8={*|x>l},若{B,则实数a的取值范围是.

答案(1,+8)

6.已知集合a=0},W{x|ax—1=0},若1犷11=凡则实数a的值是

答案0或1或一1

解析易得JU{a}.,:MC\忏N,J.NQM,

；."=0或N=M,

a=0或a=±l.

题型一集合的含义与表示

1.(多选)已知集合［={x|x=34—1,ACZ},则下列表示正确的是()

A.一13B.

C.3N-1C4D.-34CJ

答案BCD

解析当衣=0时，x=-l,所以一164所以A错误；

令-11=3A—1,得k=—六Z,所以一1144所以B正确；

因为AGZ,所以则3芯一1G4,所以C正确；

令-34=3%—1,得k=-11,所以一34G4,所以D正确.

2.已知集合〃={(*,。|六+/<1,x0L,yeZ},则集合〃中的元素的个数为()

A.3B.4C.5D.6

答案C

解析当x=-1时，y=0；

当x=0时，y=­1,0,1;

当x—1时，y—0.

所以〃={(-1,0)，(0,—1),(0,0),(0,1),(1,0)},共有5个元素.

3.若集合4={a—3,2a—1,才一4},且一3G4,则实数a=.

答案0或1

解析①当a—3=-3时，即a=0,

此时4={-3,-1,-4},

②当2a—1=—3时，即a=—1,

此时4={-4,-31—3}舍，

③当步一4=—3时，即&=±1,由②可知a=—1舍，则a=l时，A={—2,1,—3),

综上，a=0或1.

4.已知a,Z?GR,若{a,11={a,a+b,0),则a?必+夕3=__.

答案T

解析由已知得aWO,则丝0,

a

所以6=0,

于是，=1,即a=l或a=—1,

又由集合中元素的互异性知a=l应舍去，

故a=-1,

所以a2°2l+b2M=(-i)2M+o2M=—L

思维升华解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限

制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.

特别提醒：含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性.

题型二集合间的基本关系

例1⑴已知集合仁{xGRf_3x+2=0},8={xWN0＜K5},则满足条件力U区8的集合

C的个数为.

答案4

解析由题意可得,/={1,2},5={1,2,3,4).

又：区&氏{1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4},共4个.

⑵已知集合/={x|—3WxW4},B={x12ffl-K^zw+1),且反4则实数卬的取值范围

是.

答案［-1,+8)

解析,JBQA,

①当6=0时，2m—1〉叶］,解得勿＞2,

2m—1W/z?+1,

②当期时，＜2加一12—3,

77+1W4,

解得一1W〃忘2.

综上，实数加的取值范围是［—1,+8).

思维升华(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则

易造成漏解.

(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而

转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.

跟踪训练1(1)(八省联考)已知M/V均为R的子集，且卜忙M则#U(［加等于()

A.0B.MC.#D.R

答案B

解析画Venn图即可，注意最后求并集.

⑵己知集合4={x|f—4x—5W0},8={x|〃-5WxW2z»+l},若48,则实数股的取值范

围是_____.

答案[2,4]

解析/={x[（x+1）（4一5）WO}={x|-1W运5},

,：AB,

加一5W-1,5<-1,

：.\或《

〔2m+l>5[2勿+1》5,

解得2W辰4.

题型三集合的基本运算

命题点1集合的运算

例2⑴设集合<={x|lW*3},Q{x|2〈水集,则/U6等于（）

A.{x|2〈xW3}B.{X|2WA<3}

C.{x|1WK4}D.{x[l<x<4}

答案C

解析4U6={x|lWxW3}U{x|2〈水4}

={x|1^X4}.

（2）设集合/=3*2—3x+2=0},则满足/u8={0,1,2}的集合8可以是.（只要

写出一个即可）

答案{0}或{0,1}或{0,2}或{0,1,2}

解析4={x|V—3x+2=0}={1,2},

•.3U8={0,1,2},，。6区...集合8可以是{0}或{0,1}或{0,2}或{0,1,2}.

命题点2利用集合的运算求参数的值(范围)

例3(1)已知集合［={x|J-3x<0},B={\,a},且4r18有4个子集，则实数a的取值范

围是()

A.(0,3)B.(0,1)U(1,3)

C.(0,1)D.(一8,1)U(3,+8)

答案B

解析因为4n8有4个子集，所以4n6中有2个不同的元素，所以aG/,所以才一3水0,

解得0<a<3.又aWl,所以实数a的取值范围是(0,1)U(1,3),故选B.

⑵设集合4W0},8={x|2x+aW0},且4A8={x|-2W启1},则a等于()

A.-4B.-2C.2D.4

答案B

解析4={x|—2WxW2},B=x

由/C8={x|-2WxWl},知一怖=L

所以a=-2.

［高考改编题］已知集合［={x|f—4W0},8={x|2x+aW0},若4U8=8,则实数a的取

值范围是()

A.a<~2B.aW—2

C.a>—4D.aW—4

答案D

解析集合力={x|-2WxW2},J,

由可得力£凡作出数轴如图.

可知一声2,即aW—4.

思维升华(1)对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；

如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况.

(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，能简化运算.

跟踪训练2(1)已知全集QR,集合力={x|2">4},B^{x\(x-1)(x-3)<0},则(［Mr)2等

于()

A.(1,2)B.(1,2］

C.(1,3)D.(-8,21

答案B

解析A=[x\2^>4}={x\x>2\,[〃={x|xW2},B—{x\Kx<3}.

・・・((♦)06={x[l<xW2}.

(2)设集合力={x|—lWx<2},B={x\x<a\,若ZG#。，则a的取值范围是()

A.-l<a<2B.a>2

C.—1D.a>—1

答案D

解析在数轴上画出集合人庾如图)，

-1«012x

观察可知a>-l.

题型四集合的新定义问题

例4(1)已知集合4={xeN|x2-2x-3W0},27={1,3},定义集合46之间的运算“*”：

4*6=3*=小+如为64在6因，则4*6中的所有元素数字之和为()

A.15B.16C.20D.21

答案D

解析由2x—3W0,得(x+1)(x—3)W0,得/={0,1,2,3}.因为4*8={x|矛=为+如

为£力,&E8},所以/*8中的元素有：0+1=1,0+3=3,1+1=2,1+3=4,2+1=3(舍去),

2+3=5,3+1=4(舍去)，3+3=6,所以4*6={1,2,3,4,5,6},所以4*8中的所有元素数

字之和为21.

(2)若集合4,4满足41^2=4,则称(4,④为集合力的一种分拆，并规定：当且仅当4

=4时，(4,4)与(4,4)是集合4的同一种分拆.若集合4有三个元素，则集合/的不同

分拆种数是.

答案27

解析不妨令4={1,2,3},也=力,

当4=0时，Ai—{1,2,3},

当4={1}时，4可为{2,3},{1,2,3}共2种,

同理4={2},{3}时，4各有两种，

当4={1,2}时，4可为⑶，{1,3},{2,3},{1,2,3}共4种，

同理4={1,3},{2,3}时,也各有4种,

当4={1,2,3}时，4可为4的子集，共8种，

故共有1+2X3+4X3+8=27种不同的分拆.

素养提升解决集合新定义问题的关键是

(1)准确转化：解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结

合题目所给定义，结合题目的要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆.

(2)方法选取：对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结

合集合的相关性质求解.

(3)从新定义出发，结合集合的性质求解，提升逻辑推理核心素养.

跟踪训练3定义一种新的集合运算※：AXB={x\xG/1且痣6}.若集合/={*|f-4x+3<0},

6={x|2WxW4},则按运算※，6※/等于()

A.{x|3<^^4}B.{*|3W_r^4}

C.{x|3<K4}D.{x|2Wx<4}

答案B

解析由题意知，A=U|1<X3}，在数轴上表示出A,8的区间，可得豚A={X|3WA<4}.

课时精练

【基础保分练】

1.已知集合〃={1,2,3,4,5,6,7},4={2,3,4,5},6={2,3,6,7},则8n([加等于()

A.{1,6}B.{1,7}C.{6,7}D.{1,6,7)

答案C

解析'：[/={1,2,3,4,5,6,7},4={2,3,4,5},

{1,6,7).

又8=⑵3,6,7},...8。(「4)={6,7}.

2.设集合除={x|f=x},A-{xllgxWO},则机等于()

A.[0,1]B.(0,1]

C.[0,1)D.(-8,1]

答案A

解析"：M={0,1},N=3(KxW1),

{xIOWxWl}.

3.设集合/={(x,y)\x+y=2],6={(x,y)\y=x},则4n8等于()

A.{(1,1)}B.{(-2,4))

C.{(1,1),(-2,4)}D.0

答案C

解析首先注意到集合A与集合8均为点集，

\x+y=2,[x=l,(x=-2,

联立2解得，或，

[y=x,[y=lty=4.

从而集合［03={(1,1),(-2,4)}.

4.设集合#={x|x=4〃+l,〃£Z},N={x\x=2n-V\,〃£Z},则()

A.MNB.NMC.MGND.N^M

答案A

解析N={x\x=2n-\~\j〃£Z},

当〃=24,4£Z时，4{x|x=4"+Lk£Z}=M,

当〃=24+1,4eZ时，/V={x|x=44+3,AGZ),

所以〃N.

5.已知集合/=卜ez/GZI，则集合/中的元素个数为()

A.2B.3C.4D.5

答案C

3

解析因为:;一WZ,且XGZ,所以2—X的取值有-3,—1,1,3,所以X的值分别为5,3,1,

乙一X

-1,故集合4中的元素个数为4.

6.(多选)已知集合4={1,2,3,4},B={y\y=2x-^,x^A},则集合力A6的真子集可以为

()

A.0B.{1}C.{3}D.{1,3}

答案ABC

解析由题意，得6={-1,1,3,5},

故集合4C6的真子集可以为0,{1},{3}.

7.(多选)已知集合4={x|V—3x+2W0},6={x|2〈2'W8},则下列判断正确的是()

A.AUB=B

B.(1曲U4=R

C.Hn6={x［l<xW2}

D.(［由U(£/)={x|运1或x>2}

答案CD

解析因为x—3x+2W0,所以1WA^2,

所以A={x|1WXW2}；

因为2<2*W8,所以1<XW3,所以8={川l〈xW3}.

所以{U5={*|1W后3},4C8={x［l<xW2}.

(C㈤uA={x\xW2或x>3},(C曲U(［加={x\xWl或x>2}.

8.(多选)已知集合A={1,2},B=UImx=1,勿GR},若医4则实数m可能的取值为()

A.0B.1C.1D.2

答案ABC

解析当m=0时，B=0JA成立;

当"WO时，则，={x|而r=L必WR}={%,

■:归A,・・・一=1或一=2,

mm

解得m=1或m=；.

综上所述，实数次可能的取值为0,1,1.

9.已知集合力={1,3,yfm},8={1,血，若为4则勿=.

答案。或3

解析因为医/,所以勿=3或必.即/=3或加=0或应=1,根据集合中元素的互异性

可知*1,所以勿=0或3.

10.已知集合［={*【一5＜矛＜1},B={AH{x—ni)(x—2)＜0},若4C16=(—1,n),则叶〃=

答案0

解析Vzin5=(-1,n),

m——1,n—1,

m+n=0.

11.己知集合［={川-2〈矛＜3},6={x|欣求叶9},若4C屏0,则实数m的取值范围是

答案{屈一11＜冰3}

解析若4。8=0,则有勿+9W-2或心3,

解得—11或小》3,

所以当4n院。时，

实数勿的取值范围为{加一11〈水3}.

12.已知集合A—{1,2,3},B—{3,5},则用列举法表示A*B={2a—b|aGA,bG&i—.

答案{一1,-3,1,3)

解析当a=l,b=3时，2a—6=—1,

当a=l,6=5时，2a-6=-3,

当a=2,6=3时，2a—6=1,

当a=2,6=5时，2a—2?=-1,

当a=3,6=3时,2a—6=3,

当a=3,6=5时，2a—b—1,

：.A*B={2a~b\a^A,=一3,1,3}.

【技能提分练】

13.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典

小说四大名著.某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其

中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位,

阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生

人数与该校学生总数比值的估计值为（）

A.0.5B.0.6

C.0.7D.0.8

答案C

解析根据题意阅读过《红楼梦》《西游记》的人数用Venn图表示如图，所以该校阅读过《西

游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为7需0=0.7.

14.已知集合4={x[(x-1)(x—a)20},B—[x\x^a-l},若4U6=R,则实数a的取值范

围为.

答案(一8,2]

解析当a>\时，/!=(一8,1]u[a,+8),+0°),当a-lWl时，4U8=R,

故l〈aW2；当a=l时，4=R,8={x|x20},AUB—R,满足题意；当a〈l时，4=(—8,

a\U[1,+8),5=[a-l,+°o),又.•"U8=R,故水1满足题意,综上知

aS(—8,2].

【拓展冲刺练】

15.已知集合[={x|V—3x+2=0},6={对/一ax+3a—5=0},若ACB=B,则实数a的

取值范围是()

A.0B.⑵

C.(2,10)D.[2,10)

答案D

解析由题意，可得—3X+2=0}={1,2},

因为所以医4

（1）当6=0时，方程十—'ax+3a—5=0无解，则zJ4（3a—5）<0,解得2<a<10,此时

满足题意.

⑵当屏0时，若任4则6={1}或⑵或{1,2}.

①当6={1}时，1—a+3a—5=0,得a=2,此时6={x|2x+1=0}={1},满足题意；

②当6={2}时，4—2a+3a—5=0,得a=l,此时6={x|x—2=0}={—1,2},不满足

题意，即aWl；

l+2=a,

③当6={1,2}时，根据根与系数的关系可得，°.,此时无解.

[lX2=3a—5,

综上得，实数a的取值范围为[2,10）.

16.（多选）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从

连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建

立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年

的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集"

与M且满足扒J*=Q,MCA-。，M中的每一个元素小于小'中的每一个元素，则称（M,酌为

戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是（）

A.,仁{x|水0},W={*|x>0}是一个戴德金分割

B."没有最大元素，"有一个最小元素

C.有一个最大元素，N有一个最小元素

D.M没有最大元素，上也没有最小元素

答案BD

解析对选项A,因为.Q{x[;r<0},Ar={x|x>0},1/UAJ{x|xW0}WQ,故A错误；

对选项B,设,Q{*GQ|x<0},/V'={xGQ|x20},满足戴德金分割，则材中没有最大元素，

M有一，个最小元素0,故B正确；

对选项C,若M有一个最大元素，N有一个最小元素，则不能同时满足MJ.M=Q,MAA—0,

故C错误；

对选项D,设A上{xeQ【x,g},满足戴德金分割，此时"没有最大元

素，M也没有最小元素，故D正确.

§1.2充分条件与必要条件

工考试要求3理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.

|]_知识梳理

充分条件、必要条件与充要条件的概念

若LQ,则。是。的充分条件,。是。的必要条件

P是q的充分不必要条件p=>q且中p

P是q的必要不充分条件炉。且q=>p

。是。的充要条件

P是q的既不充分也不必要条件产4且cfip

1微思考1

若条件P，g以集合的形式出现，即/={x|0（x）},B=[x\q{x）],则由北8可得，。是。的

充分条件，请写出集合46的其他关系对应的条件p,g的关系.

提示若4B,则。是q的充分不必要条件；

若QB,则p是g的必要条件；

若]B,则。是。的必要不充分条件；

若力=8,则0是°的充要条件；

若@6且aB,则〃是g的既不充分也不必要条件.

|J_基础自测

题组一思考辨析

1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“或“X”）

（1）当夕是p的必要条件时，。是g的充分条件.（V）

（2）己知集合4B,则的充要条件是4=8.（V）

（3）°不是。的必要条件时，“0g”成立.（V）

（4）若片则"是g的充分不必要条件.（X）

题组二教材改编

2.“x—3=0”是“（>一3）（犬-4）=0”的条件.（选填“充分不必要”“必要

不充分”“充要”“既不充分也不必要”）

答案充分不必要

3.“sina=sin£”是“。=万”的条件.（选填“充分不必要”“必要不充

分”“充要”“既不充分也不必要”）

答案必要不充分

4.函数f（x）=*2+wx+l的图象关于直线x=l对称的充要条件是.

答案勿=一2

题组三易错自纠

5.设x>0,HR,则“X”'是“x>3”的()

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

答案C

解析由推不出x>|y|,由x>3能推出x>y,所以“x>y”是“x>3”的必要不充分

条件.

6.已知0：x>a是g：2<矛<3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是.

答案(一8,2]

解析由已知，可得{x|2〈K3}{x|x>a},aW2.

题型一充分、必要条件的判定

例1(1)已知。：◎，(4q：log2A<o,则P是0的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案B

解析由知所以。对应的片的范围为(0，+°°),由logzx<0知0<矛〈1,所以。

对应的x的范围为(0,1),显然(0,1)(0,+8),所以0是q的必要不充分条件.

(2)“a>2,力2”是“a+6>4,ab>4”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析若a>2,b>2,则a+b>4,ab>4.

当a=l,6=5时，满足a+6>4,ab〉A,但不满足a>2,b>2,所以a+6>4,a6>4#a>2,b>2,

故"a>2,6>2”是“a+6〉4,ab>4n的充分不必要条件.

思维升华充分条件、必要条件的两种判定方法

(1)定义法：根据—户O进行判断，适用于定义、定理判断性问题.

(2)集合法：根据p,q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围

的推断问题.

跟踪训练1(1)已知a,b,c,d是实数，贝ij“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案B

解析当a=8=c=d=0时，ad—be,但a,b,c,d不成等比数列，

当a,b,c,d成等比数列时，ad=bc,则“ad=6c”是“a,b,c,d成等比数列”的必要

不充分条件.

⑵设AGR,则“八=一3”是“直线2"+(才—1)尸1与直线6x+(l—4)尸4平行”

的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析若直线24x+(4一l)y=l与直线6x+(1—4)y=4平行，

则2d(1—4)—6(4-1)=0,

解得H=1或八=—3,

经检验a=1或4=-3时两直线平行，故选A.

题型二充分、必要条件的应用

例2已知集合4={x|8x—20<0},非空集合8={x|1—rWxWI+r}.若是

的必要条件，求加的取值范围.

解由x—8x—20^0.得一2WxW10,

.'.A—{x\-2WxW10}.

由xW/是的必要条件，知医/.

则《1—0》一2,.,.0Wz»W3.

.,.当0</»W3时，是的必要条件,

即所求〃的取值范围是［0,3］.

■引申探究

若将本例中条件改为“若XG4是XG6的必要不充分条件”，求m的取值范

围.

解由xC/是的必要不充分条件，知6A,

1一必Wl+必,I-ZZ7^1+ffl,

(1—m2—2,或"1—iW>—2,

,1+/X10U+"忘10，

解得0<RW3或0W®<3,...0W/»W3,

故小的取值范围是［0,3］.

思维升华充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意

(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列

出关于参数的不等式(或不等式组)求解.

(2)要注意区间端点值的检验.

9

跟踪训练2(1)使-成立的一个充分不必要条件是()

x

A.KX3B.0<X2

C.水2D.0〈xW2

答案B

2

解析由-21得0<xW2,

x

依题意由选项组成的集合是(0,2］的真子集，故选B.

(2)若关于x的不等式|x-成立的充分不必要条件是0<K4,则实数a的取值范围是

答案［3,+8)

解析|x-l!<^l-a<Kl+a,因为不等式|x-l|〈a成立的充分不必要条件是0<求4,所

1—aWO,l-a<0,

以(。,4)(1-a,l+a),所以］+苏4或解得a23.

l+a24,

题型三充要条件的探求

例3已知两个关于x的一元二次方程加一4x+4=0和V—4期+而一4/—5=0,求两方程

的根都是整数的充要条件.

解因为加-4x+4=0是一元二次方程，

所以RF卢0.

又另一方程为Z-4zwx+4z»—4z»—5=0,且两方程都要有实根,

[4=161-ffl20,

所以22

I^2—16m—4—4z»—520,

解得mG

因为两方程的根都是整数,

故其根的和与积也为整数,

-GZ,

m

所以•

4®GZ,

工”;14/n—5£Z.

所以卬为4的约数.

5

-

又因为0G4

所以m——l或1.

当必=一1时，第一个方程/+4X—4=0的根不是整数；

而当加=1时，两方程的根均为整数，

所以两方程的根均为整数的充要条件是//；=1.

思维升华探求充要条件的关键在于转化的等价性，解题时要考虑条件包含的各种情况，保

证条件的充分性和必要性.

跟踪训练3(1)命题“对任意xG[1,2),V-aWO”为真命题的一个充分不必要条件可以是

()

A.a》4B.a>4

C.D.a>l

答案B

解析要使“对任意xe[1,2),v一aWO”为真命题，只需要a》4,所以a>4是命题为真

的充分不必要条件.

(2)关于x的方程a^+bx+c=0(aHO)有一个正根和一个负根的充要条件是.

答案a*0

f4=Z>2—4ac>0,

解析aV+/+c=O(a¥O)有一个正根和一个负根的充要条件是彳c

-<0,

1a

即ac<0.

课时精练

国基础保分练

1.“Iog2（2x—3）〈1”是“4*>8”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

353

解析由log2（2x-3）<lo（K2L3〈2Q5〈求4〉8=2x〉3=x>5,所以“log2（2x—3）〈l”是

“4*>8”的充分不必要条件，故选A.

2.设a,6GR,则“（a—6）才〈0"是“水的（）

A.充分不必要条件

B.充要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析由（a—6）才<0可知才#0,则一定有a一伏0,即水6；但是a<6即a—长。时,有可能

a=0,所以心一6）成<0不一定成立，故"（a—6）3〈0”是“a〈b”的充分不必要条件，故选

A.

3.“|x—1|<2”是“求3”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析由|x-1|<2,可得一

V{x|—KA<3}{x|X3},

...“以一1|<2”是“水3”的充分不必要条件.

4.“x<0”是“ln（x+l）<0"的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案B

解析由ln(x+l)<O=O<x+l〈l,

Bp—KKO,

故“水0”是“ln(x+l)〈O”的必要不充分条件，故选B.

5.若“x>l”是“不等式2'>a-x成立”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是()

A.a>3B.水3

C.a>4D.水4

答案A

解析若2'>a—x,即2*+力a.设/U)=2'+x,则函数f(x)为增函数.由题意知"2'+x>a

成立，即/'(x)>a成立”能得到“x>l"，反之不成立.因为当x>l时，f(x)>3,

6.已知/?：x^k,<7：(x+1)(2—%)<0,如果。是g的充分不必要条件，则实数A■的取值范

围是()

A.[2,+°°)B.(2,+8)

C.[1,+8)D.(-8,-1]

答案B

解析由g：(x+1)(2—x)〈O,得K—1或x>2,又p是<?的充分不必要条件，所以4>2,

即实数4的取值范围是(2,+o°),故选B.

7.(多选)若x—2〈。是一2CKa的充分不必要条件，则实数a的值可以是()

A.1B.2C.3D.4

答案BCD

解析由x一x—2<0,解得一KX2.

VX-A—2<0是一2<;Ka的充分不必要条件，

/.(—1,2)(—2,a),a22.

二实数a的值可以是2,3,4.

8.(多选)下列说法正确的是()

A."ac=bc”是“a=b”的充分不必要条件

B.是“a〈b”的既不充分也不必要条件

C.若“xG/”是“xWB”的充分条件，则点3

D.“a>力0”是"a">Z/'(〃GN,〃22)”的充要条件

答案BC

解析A项，ac=6c不能推出a=6,比如a=l,b=2,c=0,而a=6可以推出ac=6c,

所以“ac=bc”是“a=b”的必要不充分条件，故错误；

B项,另不能推出水4比如g>一，，但是2>—3；水8不能推出另，比如一2<3,一„

所以弓>1”是“a<b”的既不充分也不必要条件，故正确；

C项，因为“xG/”是“xWB”的充分条件，所以可以推出即/U6,故正确；

D项，a">6"(〃GN,〃22)不能推出a>6>0,比如a=l,6=0,1">O"(〃WN,〃22)满足，但是

a>6>0不满足，所以必要性不满足，故错误.

9.已知命题p-.命题<7：VxCR,aV+ax+l>0,则p成立是g成立的条件.(选

填“充分不必要”“必要不充分“''充要”“既不充分也不必要”)

答案充分不必要

,(3=0,

解析命题p等价于0〈a〈4.命题q：对VxCR,a?+ax+l>0等价于或

fa>0,

2则0Wa<4,所以命题。成立是命题。成立的充分不必要条件.

(a-4a<0,

10.己知f(x)是R上的奇函数，则“汨+尼=0”是"/■(M)+F(*2)=0"的条

件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)

答案充分不必要

解析•.,函数f(x)是奇函数，，若%+抱=0,则Xl=-X2,则/'(为)=/'(一X2)=—/1(就，

即/+/U)=0成立，即充分性成立；若f(x)=0,满足f(x)是奇函数，当为=抱=2时，

满足F(X|)=£(七)=0,此时满足F(*I)+F(及)=0,但为+及=4#0,即必要性不成立.故

“小+生=0”是“f(/i)+f(X2)=0”的充分不必要条件.

11.若xG{—1,4是不等式2/—x—3W0成立的充分不必要条件，则实数m的取值范围是

答案[1，1

33

解析不等式可转化为(x+l)(2x-3)W0,解得一iWxWg,由于在{一1,4是一IWXW]

的充分不必要条件，结合集合元素的互异性，得到加G(一1，1.

12.若实数a,6满足a>0,b>0,则“a>6”是“a+lna>Z>+lnb”成立的条件.(填

“充分不必要”“必要不充分”“充要”“即不充分也不必要”)

答案充要

解析设f(x)=>+lnx,显然f(x)在(0,+8)上单调递增，

Va>b,.•.f(a)>f(6),

Aa+lna>b+lnb,充分性成立；

V5H-Ina〉6+Inb,

a>b,必要性成立，

故ua>bn是“a+lna>b+Inbn成立的充要条件.

注技能提升练

13.对于任意实数x,〈力表示不小于x的最小整数，例如〈1.1〉=2,(-1.1)=-1,那

么u\x-y\<-L^^是“〈力=<y)”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案B

解析令x=1.8,y—0.9,满足|x—但〈1.8〉=2,〈0.9〉=1,〈X)#(y),可知

充分性不成立.当〈*〉=(y)时，设〈X〉—x+m,(y)=y+n,m,/?£[0,1),则|x—

=l〃一加<1,可知必要性成立.所以“lx—是“〈x〉=<y)”的必要不充分条件.故

选B.

V2/

14.己知0：实数/满足3a〈欣4a(a〉0),q-.方程---—=1表示焦点在y轴上的桶圆，

m-1Z-m

若夕是g的充分条件，则a的取值范围是.

答案区外

口术[_38_

「341,

33

解析由2—/〃>/〃一1>0,得1</»<-,即Q：K//K-因为夕是q的充分条件，所以彳3

乙乙4a

13

解得不

6o

手拓展冲刺练

15.己知集合<1B={x|log3(x+a)>1},若"xG"'是"xGB"的必

要不充分条件，则实数a的取值范围是.

答案(一8,0]

解析由W1,得x—620,解得xW—2或x》3,则<={*|xW—2或x23}.由

log3(x+a)》l,得x+a23,即x23—a,则户={x|x23—a}.由题意知6A,所以3—

a》3,解得a<0.

16.已知r>0,x,p：|x|+~^Wl,q：x+y^r,若夕是q的必要不充分条件，则

实数r的取值范围是.

答案（0,孚]

解析画出3+皆IT忘1表示的平面区域（图略），由图可得。对应的平面区域是一个菱形及

其内部，当x>0,y>0时，可得菱形的一边所在的直线的方程为x