例说用向量方法求面角

例说用向方法求二面一平法量种法在空间平面法向量的算法中，普遍采用的算法是设

n,z)

，它和平面内的两个不共线的向量垂直数量积为0建立两个关于x,,z的程再对其中一个变量根据需要取特殊值，即可得到法向量．还有一种求法向量的办法也比较简便：若平面空间直角坐标系x轴轴轴的交点分别为(b,0)c，定义三点分别在轴、y轴、z轴的坐标值=a,y=b,z=（bc均为0平面AC法向量为

111n,,)(ac

．参数的可根据实际需要选取．这种方法非常简便，但要注意几个问题：（）若平面和某个坐标轴平行，则可看作是平面和该坐标轴交点的坐标值为法向量对应于该轴的坐标为0．比如若和x轴行（交点坐标值轴z轴点标值分别为b，则平面法向量为

n

1,)bc

；若平面和x,y轴行，和z轴点的坐标值为c，则平面法向量为

n

1)c

．（2若平面过坐标原点，则可适当平移平面．例．如图，在四棱锥S-中底面为方形，侧棱SD⊥底面ABCDE、F分别是AB、的中点。设=2CD，求二面角－D的大小zGFH

D

y

x1解：不妨设A则(0，，F0，．2/

平面与轴的交点分别为A(1,0,0)轴交点向量

1

，在CD延长线上取点，使DH=AE则∥AE，所以AH∥，由1可知∥，所以平面AHG平面EFDAHG与x轴轴的交点分别为-G，则法向量n，二面角--D的小为，2n3，二面角-EF-的小为．n31二用量求二角两途（）法量二角

、用法向量求解二面角时遇到一个难题：二面角的取值范围

，而两个向量的夹角取值范围也[0,

，那用向量法算出的角是二面角的面角呢还是它的补角？如果是求解异面直线所成的角或直线与平面所成的角，只要取不超过

的那个角即可，但对二面角却是个难题笔者过思考，总结出一个简单可行的方法，供读者参.用法向量解二面角首先要解决的问题就是：两个法向量所夹的角在什么情况下与二面角大小一致？其次，如何去判断得到的法向量是否是我们需要的那个方向？

n2对第一个问题，我们用一个垂直于二面角棱的平面去截二面角（如图一平的法向量n,则分别垂直于该平面角的两12边易同为逆时针方向或同为顺时针方向时，12

z

图一

n1它们所夹的解即所以，我只需要沿着二面角棱的方向观察选旋转方向相同的个法向量即.或者可以通俗地理解，起点在半平面上的法向量，如果指向另一个半平面，则称为“向内”的方向；否则称为“向外”的方向.两法向量所夹的角与二角大小相等当且仅当这两个法向量方向一个“向内一个“向外.

x

nO图二对第二个问题，我们需要选取一个参照物.在间直角坐标系中，我们可以选择其中一个坐标轴（如z轴过面的办法，可以确定法向量的方向，再观察该法向量与平面的关系，是自下而上穿过平呢，还是自上而下穿过平？若是第一情形，/

1212则

n

→与所的角是锐角取向量的z坐为即可是第二种情

n

→与OZ所夹的角是钝角只需取法向量标为负即可若向量与平平行则以选取其它如平、平观察．例已四锥P的面为直角梯形∥DCDABABCD，且=AD=

12

=1M是PB中点（1求二面角的小；（2求二面角A的小→分析如建立空间直角坐标系对二面角C而，AD是面的向→向平面ACM符向外向法向量是自下而上穿过xOy平以AZ所夹的角是锐角.对二角而，平面ACM选上述法向量，则为“向外”的方向，平面BCM就应选取“向内”的方向此时是自上而下穿

z过面，与z轴正向所夹的角是钝.

P（1解：如图三，以AD为x轴，AB为y轴为z

M轴建立空间直角坐标系，则平面AMB的向量为n=1

A

B

y设平面ACM的法向量为=y,).2由已知（1,0),P(0,B2,0)，则(0,

),

Dx

C图三∴

→→1AC=AM=(0,1,由

y0,yz2

取y=则=z2→∴=2).（满足AZ>0.22n1设二面角C的小，n612

∴所二面角的大小为arccos

66

（2解：选取1中平面ACM的向量=(1,，设平面的向量为2/

2图五2图五n=(x,z.3→→1BC=(1,0),BM=),由

1z0.取z=-2y=-1,=-=-1,--所的大小即为二面角A-3的大小，设nn23

63

，∴所二面角的大小为arccos

（）半面的量二角由二面角的平面角定义，由棱上一点分别在两个半平面内作棱的垂线这样构成的角即为二面角的面角果分别在两个半平面内作两个向量（如图四点棱上且垂直于棱，可以看出，这两个向量所夹的角，与二面角的大小是相等的种法与用法向量解二面角相比，其优点是向量的方向已经固定，不必考虑向量的不同方向给二面角大小带来的影响．例如五已知长方体ABCDABCD中，11=BC，=2，E是的点．1（1求二面角E-B的大小；1（2求二面角AE-B的小．1分析在1题只在AC上到两点、1→→→→→H，得GB、HE均垂直，则、HE的1夹角即为所求二面角的大小．如何定GH的位置呢？

图四GA，1GBGAAC1

→→→，这样向量GB就用参数表示出来了，再由B=01→求出值，则向量GB即确定，同理可定出H点第2）题方法类似．/

11111111解B为标原点BC为轴BA为y轴立空间直角坐标系B→→CB(0,0,2),C(1,0,2),(0,0,1)(1,-1,=(0,-0).11（1设GA

，则

z→→由=0+(，11解得：，6

G

H

x→151∴GB=().6→同理可得：HE022

→→)，．1

y

图六→→GB、HE的夹角等于二面角E-的面角．1→→GB,HE>GB6GB115GBHE6GB302

∴二面角E--的小为1

155

z→（2AE=-1),在AE上点、N，设,)，MAMBAB(0,则

)

M

N

x→→由MB=0得：

=，解得

1=，2

y∴

→MB

1