圆梦高考助力未来2022年高考学业质量模拟监测数学试卷含答案解析

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数学(试题卷)

注意事项：

1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.

2.第I卷(选择题)选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上.

3.第n卷(非选择题)请用0.5毫米黑色签字笔在相应位置处答题，如需改动，用"\”

划掉重新答题.

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知集合A={x|X,l},集合3={幻/+3%+2=0},则AC|8=()

A.空集B.(—co,l]C.(-2,-1)D.{-2,-1)

2.已知a,夕，/是三个不同的平面，。口尸二小，=〃.则下列命题成立的是()

A.若mMn,则a〃/B.若a〃y,则加〃〃

C.若加_1_力，则a_1_/口.若=_Ly,则相_LK

3.已知函数〃'*,0,设"1)=。，则f(a)=()

x-2,x>0

A.2B.gC.—D.—

222

C.22

4.己知曲线/(x)=4/在点(i,/⑴)处的切线的倾斜角为1,则_sma-cosa,=

32sinacosa+cosa

()

133

A.-B.2C.-D.--

258

5.中医是中国传统文化的瑰宝.中医方剂不是药物的任意组合，而是根据中药配伍原则，总

结临床经验，用若干药物配制组成的药方，以达到取长补短、辨证论治的目的.中医传统名

方“八珍汤”是由补气名方“四君子汤”(由人参、白术、茯苓、炙甘草四味药组成)和补血名

方“四物汤”（由熟地黄、白芍、当归、川号四味药组成）两个方共八味药组合而成的主治气

血两虚证方剂.现从“八珍汤''的八味药中任取四味，取到的四味药刚好组成“四君子汤'’或"四

物汤”的概率是（）

11

A.B.—D.----

35708401680

6.已知三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为6,顶点都在一个球面上，则该球的表面

积为（）

A.36%B.84〃C.132万D.180〃

7.如图，直线x=m（根>1）依次与曲线y=log“x、

>=log„x及x轴相交于点A、点8及点C,若B是线段AC

的中点，则（）

A.\<h<2a—\B.b>2a—l

C.［<b<2aD.b>2a

8.已知偶函数/（x）满足/（3+x）=/（3—x）,且当xe［0,3］时，〃力=比后，若关于X

的不等式/2（.*）一/（幻>0在［-150,150］上有且只有150个整数解，则实数f的取值范围是

()

__1__3>(_31、

A.0,e5B.e2,3e*C,3e2,2e'D.e2,2/

/

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.正方体ABC。—。的棱长为1，E,F,G分别为5C,CC.,BB1的中点.则

（）

A.直线与直线AF垂直

B.直线AG与平面AE尸平行

C.平面AEF截正方体所得的截面面积为‘

8

D.点C与点G到平面AEF的距离相等

己知函数/（x）=sin（3x+0）（-的图象关于直线x=（对称，则（

10.)

4

A.0=一?B.若|/（王）一/（々）|=2,则上一百的最小值为?

C.将/（x）图象向左平移专个单位得到g（X）=Sin（3x+的图象

D.若函数/（x）在［0,向单调递增，则，"的最大值为?

22

11.已知耳，尸2是双曲线E:5-＞=1（。＞0力＞0）的左、右焦点，过耳作倾斜角为30

的直线分别交y轴与双曲线右支于点下列判断正确的是（）

A.ZPF2F｝=^B.\MF^PF\

C.£的离心率等于石D.E的渐近线方程为y=±0x

Y~+X—1

12.已知函数/（x）=-------，则下列结论正确的是（）

e

A.函数/（x）存在两个不同的零点

B.函数/（x）既存在极大值又存在极小值

C.当一e（人＜0时•，方程/（x）=%有且只有两个实根

D.若xeh+8）时，/（x）max=41则r的最小值为2

e

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.

13.求（炉一：）展开式中/的系数为.

「乙1cos2a

14.已知tana=—,则-----=________.

2sin2a

15.设点P是曲线丁=靖+%2上任一点，则点p到直线x-y-l=0的最小距离为

16.若数列｛«„｝对任意正整数〃，有an+m=anq（其中根6N*，＜?为常数，q丰0且q丰1）,

则称数列｛4｝是，"以为周期，以4为周期公比的“类周期性等比数列若“类周期性等比数

列''的前4项为1,1,2,3,周期为4,周期公比为3,则数列｛4｝前21项的和为

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）在条件①（a+Z?）（a-b）=（c-，）c,②sinA=cosA+,

③sin=sinA中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.

2

在AABC中，角A,B，C的对边分别为b,c,b+c=6,a=2瓜.

求AABC的面积.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

18.（本小题满分12分）已知等比数列｛4｝是递增数列，满足4=32,%+为=80.

（1）求｛4｝的通项公式；

（2）设2=k）g2a,,若6“为数列｛%｝的前“项积，证明：1+-=1.

19.（本小题满分12分）已知四棱锥P—ABCQ中，24，平面钻。。，且Q4=a,底面

ABCD是边长为〃的菱形，NA8C=60°.

（1）求证：平面PBDJ.平面PAC；

（2）设AC与8。交于点。，/为OC中点，若二面角

0-加一。的正切值是2指，求a:。的值.

B

20.(本小题满分12分)某种子公司培育了一个

豌豆的新品种，新品种豌豆豆荚的长度比原来

有所增加，培育人员在一块田地(超过1亩)种植

新品利J采摘后去掉残次品，将剩下的豆荚随

机按每20个一袋装袋密封.现从中随机抽取5

袋，测量豌豆豆荚的长度(单位：dm),将测量

结果按[060.8),[0.8,1.0),[1.0,1.2),

[1.2,1.4),[14,1.6]分为5组，整理得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求。的值并估计这批新品种豌豆豆荚长度的平均数x(不含残次品，同一组中的数据用

该组区间的中点值作代表)；

(2)假设这批新品种豌豆豆荚的长度X服从正态分布其中〃的近似值为豌豆

豆荚长度的平均数；，cr=0.23,试估计采摘的100袋新品种豌豆豆荚中，长度位于区间

(0.88,1.57)内的豆荚个数；

(3)如果将这批新品种豌豆中豆荚长度超过1.4dm的豆荚称为特等豆荚，以频率作为概率,

随机打开一袋新品种豌豆豆荚，记其中特等豆荚的个数为求的概率和4的数学期

望.

附:«0.046,若随机变量X〜NJ,"),则PQ/—o<X<畔o)=0.6827,

一2bvXv〃+2b)=0.9545.

21.(本小题满分12分)己知椭圆二+二=\{a>b>0)的一个顶点为A(。,—3),右焦点为产，

a'b"

且|1=|OFI，其中。为原点.

(1)求椭圆的方程；

(2)已知点。满足3花=砺，点B在椭圆上(8异于椭圆的顶点)，直线A6与以C为

圆心的圆相切于点尸，且尸为线段A3的中点，求直线的方程.

22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ex+ax2-x.

(1)当。=1时，讨论/(x)的单调性；

(2)当xNO时，f(x)>^x3+\,求。的取值范围.

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数学参考答案与评分标准

1.D2.B3.A4.C5.A6.B7.B8.B

\(1A--

8.【解析】当xe［0,3］时，x/'(x)=e22=［I-/》卜2,

当xw(2,3］时，)'(x)<。当xe［0,2)时，/'(x)>0,

所以函数/(x)在Xe(2,3］单调递减，在xe(0,2］单调递增，

/(0)=0,/⑶=3e《>(P又/(3+X)=/(3—X),函数〃x)关于尤=3对称，且是偶

函数，所以f(x)=/(—x),所以/(3+x)=/(3—x)=/(x-3),

所以函数周期T=6,关于％的不等式/20)一丁(幻>0在［-150,150］上有且只有150个整

数解，即/(x)>t在［-150,150］上有且只有150个整数解，所以每个周期内恰有三个整数

B【详解】由于函数f(x)=ex+x,对于曲线y=f(x)上横坐标成等差数列的三个点A,B,

C,且横坐标依次增大，由于此函数是一个单调递增的函数，故由A到B的变化率要小于由

B到C的变化率.可得出角ABC一定是钝角故①对，②错,由于由A到B的变化率要小于

由B到C的变化率，由两点间距离公式可以得出AB<BC,故三角形不可能是等腰三角形，

由此得出③不对，④对.故选B

9.BC10.ABD

11.BCD【解析】•••］尸即M为一耳中点,。为耳■中点，••.OM/P5,

jr

-.■OMYFXF2,：.PF2±F,F2,：.ZPF2F}=^,

|MB|=g|P娟，A错误，B正确；

由尸弱"1_耳6知：|尸周=一,

b2

/o

又|耳闾=2c,NP4居=30。,tan30°=-^-=—,

2c3

即yj3b2=G.2-a?)=2ac,...&2-2e—8=o,解得e=g,c正确:

'：e=—=\!3,c2=3a2>:.h2=cr-a2=2a2>:.-=y/2,

aa

.•.£的渐近线方程为旷=±&》，D正确.

故选BCD.

12.ABC

3「

13.-8；14.-；15.V2；16.1090.

4

15•【解析】由题意，过点尸作曲线y=/+%2的切线，则y=e'+2x,

设点P（x0,%），则左=*+2%，

当切线与直线X-y-1=0平行时点尸到该直线距离最小，则产"+2%=1,即/=0,

所以点P为（0,1），则点P到直线x-y—1=0的最小距离为,故答案为近.

16.【解析】法一：由题意可知根=4,q=3,且。“+4=3。“，故

+

S21=(4+。5+。9+。13+%7+。21)+(02+。6+%0%4+。18)

+(1

+(«3+/+《5+69)+(包+%\2+46+420)

1.(1-36)1(1-35)2-(1-35)3-(1-35)

=-------------H------------------F--------------H----------------

1-31-31-31-3

=364+121+242+363

=1090.

4841281612

法二：=7，Z6=3工4=3x7，Z4==3?x7，Z《=3Zq=3,x7,

i=\i=5i=\/=9i=5/=13i=9

2016

42

'at=3yat=3x7,%]=3aI7=3al3=…=3’4=243,

/=17i=13

21]_W

故S21=工%=7(1+3+32+33+34)+243=7X----+243=1090.

;=11-3

17.解：若选①：+=(c—b)c,BPa1—b2=c2—he»

从而b1-vc1-cr=bc，2分

.h2+c2-a2be1

/.cosA=--------------=-----=—，

2bc2hc2

TT

又•・•Aw(0,万)，A=—....................5分

3

又•/a2=h2-i-c2-be=(h-^~c)2-3bc,

且。=2A/^，。+。=6，bc=4f.....................................................................8分

?.Sy,=­/7csinA=—x4xsin—=V3.................................................................10分

VA8RCr223

若选②：sinA=cos(A+7],化简得sinA=^^cosA-」sinA,........................2分

I22

即tanA=—，

3

IT

又•jAe(0,乃)，A=—........................................................................................5分

6

又er=Z?2+c2-2/7CCOS—=(b+c)2-bc(2+A/3),

6

且〃=2遥，。+c=6,be=4,

222212

7(b+c)-a6-(2V6)

bc=F^~=F^~-----广=24—12\/3».8分

2+6

.­.S=|fecsinA=^x(24-12V3)xl=6-3>/3.

AABC10分

若选③：sin'*°=sinA,

2

.乃一A..

・.・5+C="一A,/.sin-------=smA,..............................................................2分

2

/.cos—A=c2si•n—AcosA—，

222

Ae(0,7r),—G(0,—),/.cos—0,

222

5分

又,,,a2=b2+c2-be=(b+c)2-3bc,

且〃=2几，0+c=6,/.bc=4.....................................................................8分

/.SyABC=gbesinA=；x4xsin《=g.

..........................................................10分

18.［解答］解；（1）设等比数列｛4｝的公比为式9>1）,由/=32，得/+%=—+32q=80.W

q

得q=2或q=1（舍去）.所以。，=。「2”4=2向.

(2)证明:由勿=log,an=n+It得q=伪=2,

当”..2时，qG.....c„=«+1©,C]-c2..........%_1=〃②，由①②得c"=史」(〃..2)，当”=1时,

n

===2满足上式，故c“="+I,/.—+—=—!—।--——1.

1nbncnzz+1n+\

19.法一:

(1)证明：QP4_L平面ABC£>,BDu平面ABC。，.•.Q4_L8。.............1分

因为ABC。为菱形，所以2分

又因为ACIPA^A,所以8D_L平面B4C,3分

因为区Ou平面PBD,.•.平面平面PAC..........4分

D

(2)解：过。作OTJ.PM交尸M于T,连接QT,…5分

QOD_L平面尸AC,:.OD±PM,

B

：.ODIPM,:.PM±平面0£>T,:.DT±PM,

所以N07曾是。一刊0—£)的平面角.7分

1Q1

OTAP

又。。=OM」,AM=—，且

44

从而CT=^友=-曲,

9分

J2b24Ji6y

V16

,/n-rn0D6a6/+9〃、匕

tanNOTD==——b------------=276,.11分

OT2ab

.".—=3:4..........................................................................................................................12分

b

法二：

(1)证明：过。作OQ〃PA,

Q24,平面ABC。，；.OQJ•平面ABC。

因为ABC。为菱形，所以OCLOO,

以OQ,OC,OD为轴建立空间直角坐标系，

A(—g,O,O),C(g,O,O),B0,-学,0),D0,号,0

P1-g,O,a),M(5,O,O].............................3分

u

(2)解：设平面尸BD的法向量为〃z=(x,y,z),

uurUllll/厂、ULillUUUU

QPB=BD=(0,y/3b,QJ,且tn_LPB,m上BD,

x=2

y=0fm=(2,0,21...................................................5分

gby=0b

z二一

a

设平面PAC的法向量为n=(x,y,z),

因为平面PAC即为xOz平面，.♦.；2=(O,l,O)................................................................6分

...加•"=(),.•.平面PBO,平面P4c............................................................................7分

1m

(2)平面的一个法向量为〃=(0,1,0),设平面尸MD的法向量为〃=(%,%,z0),

uim(b6b)uuirbs[3b\

QPD=,MD

2下,0

/

设二面角O-PM-O的平面角为8,则tan6»=2«,可得cos6=,，

5

20.解：(1)由频率分布直方图可得(0.5+1+2+24)*0.2=1,解得a=0.75..........1分

估计新品种豌豆豆荚长度的平均数

x=(0.7x0.5+0.9xl+1.1x2+1.3x0.75+1.5x0.75)x0.2=1.11..........................3分

(2)由(1)知新品种豌豆豆荚长度的平均数约为1.11,则〃=1.11,

又cr=0.23,所以〃-cr=0.88,〃+2cr=1.57...........................................................4分

所以P(0.88<X<1.57)=X<〃+2b)

=P(〃_2b<X<〃+2b)+Pb<X<〃+b)=08]86..........................6分

2

所以100袋豌豆豆荚中，长度位于区间(0.88,1.57)内的豆荚个数为

100x20x0.8186=1637.2®1637m..........................................................................7分

(3)在新品种豌豆豆荚中随机抽取一个，豆长度超过L4dm的频率为

3

0.75x0.2=0.15=—,

20

所以随机打开一袋新品种豌豆豆荚，再从中随机抽取一个豆荚，

3

这个豆荚为特等豆荚的概率为P=—.......................................8分

20

依题意，J的所有可能取值为0,1,2,3,20,且《〜6(20,三］.............9分

(17V0，3(17Y9，3、

所以P(£l)=尸信=0)+P(舁l)=《。布X-+c；o-X-

、ZUy\NUJyNUyyZU)

77(17Y977

——x——«—x0.046=0.1771；................................11分

20U0；20

3

J的数学期望£©)=20x——=3........................................12分

72

Y

21.解：(1)•.•椭圆r+y=1(。>〃>0)的一个顶点为4(0,—3),二/?=3,

a"

由侬=|O耳,得c=0=3,

又由。2="2+。2,得4=32+32=18,

22

所以椭圆的方程为三+汇=1;.........................................3分

189

(2)•.•直线A6与以。为圆心的圆相切于点P，所以CP_LAB,

根据题意可知，直线和直线CP斜率均存在，

设直线46的斜率为我,则直线A8的方程为y+3=区，即>=自一3,........4分

y=kx-3

由(尤2y2,消去y,可得(2炉+1*一]2日=o,

---1---=1

〔189

解得尤=0或x=..........................6分

2k2+1

6k2-3

将x=代入丁=依-3,得…__3

2^+1-2^+12k2+1

'12k6女2一3]

所以，点8的坐标为、2k2+1'2公+1)7分

因为P为线段AB的中点，点A的坐标为(0,—3),

6k-31

所以点P的坐标为2左2+1'2女2+1J'8分

由3反=方,得点C的坐标为(1,0)，

—----03

所以，直线CP的斜率为28=餐尹一J2)」..................9分

6k2k2-6k+l

3

又因为CPLAB，所以=，=-1，............................10分

2k2-6k+l

整理得2%2一3%+1=0,解得G=g或攵=1................................11分

所以，直线A8的方程为y=；x-3或y=x—3..............................12分

22.解：(1)当a=l时，/(x)=ex+x2-x,f'(x)-ex+2x-l................1分

故当xe(-oo,0))时，f'(x)<0；当xe(0,+co)时，f'(x)>0..................2分

所以/(x)在(-8,0)单调递减，在(0,+oo)单调递增...............................3分

(2)/(x)zgd+i等价于(g/一奴2+x+i)e-，4I.

设函数g(x)=(gx'一加+x+l)e-*(xN0),...............................4分

则g'(x')=-^x2-(2a+3)x+4a+2]e~x

=-^x(x-2a-1)(x-2)e~x........................................6分

①若2a+lW0,即“4—g,则当xe(0,2)时，g'(x)>0.

所以g(x)在(0,2)单调递增,而g(0)=l,

故当(0,2))时，g(x)>l,不符合题意.......................................7分

②若0V2Q+1V2,即一

22

则当x£(0,2a+1)时，g'(x)v0；当x£(2a+1,2)时,gf(x)>0；

当无£(2,+8)时，gf(x)<0.

所以g(x)在(0,2。+1),(2,+8)单调递减，在