五年(2018-2022)全国高考数学真题分类汇编(全国卷新高考卷北京天津卷等)专题9不等式(含详解)

2018-2022五年全国各省份高考数学真题分类汇编

专题9不等式

一、选择题

x-2>0,

1.（2022年浙江省高考数学试题•第3题）若实数x,y满足约束条件<2x+y-7W0,则z=3x+4y的最大

x-y-2<0,

值是（）

A.20B.18C.13D.6

x+y>2,

2.（2022年高考全国乙卷数学（文）•第5题）若x,y满足约束条件（x+2y«4,则z=2x-y最大值是

j>0,

（）

A.-2B.4C.8D.12

x+l>0

3.（2021年高考浙江卷•第5题）若实数x,y满足约束条件x-y40,则z=x-Jy的最小值是

2x+3.y-l<0

()

x+y>4,

4.（2021年全国高考乙卷文科•第5题）若尤,y满足约束条件<x-y«2,则z=3x+y的最小值为

）43,

()

A.18B.10C.6D.4

5.（2020年浙江省高考数学试卷•第9题）已知a,beR且abWO,若（x-a）（x-b）（x-2a-b）20在x，0

上恒成立,则()

A.a<0B.a>0C.b<0D.b〉0

[x-3y+l<0

6-&。2。年浙江省高考数学试卷・第3题）若实数一满足约束条件X+）TNO则z=2x+y的取值范

围是)

A.(-oo,4]B.[4,+Q0)C.[5,+oo)D.(-oo,+oo)

x-3j+4>0,

7.（2019年高考浙江文理•第3题）若实数x,丫满足约束条件<3x-y-440,则z=3x+2y的最大值是

x+y>0,

（）

A.-1B.1C.10D.12

8.（2019年高考天津文•第5题）已知〃=log?7,^=log,8,c=0.3°i，则a,b,c的大小关系为（）

A.c<b<aB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

x+y-2W0,

9.（2019年高考天津文•第2题）设变量X/满足约束条件X]'：220,则目标函数z=-4x+y的最大值为

x>-1,

）

A.2B.3C.5D.6

03

10.（2019年高考全国I文•第3题）己知。=log?02,1=2%c=0.2,则（）（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

x+yW5

2x-y《4

（2018年高考数学天津（文）•第2题）设变量满足约束条件<贝1J目标函数z=3x+5y

-x+yW1

yN0

的最大值为（）

A.6B.19C.21D.45

二、多选题

12.（2020年新高考全国I卷（山东）•第11题）已知a>0,b>0,且a+b=l,则（）

A.a2+b2>-B.2a-h>-

22

C.log,a+log,b>-2D.y[a+4b<72

13.（2020年新高考全国卷H数学（海南）•第12题）已知a>0,b>0,且a+b=l,则（）

A.a2+b2>-B.T~h>-

22

C.log2a+log,b>-2D.4a+4b<42

三、填空题

14.（2022年全国高考甲卷数学（文）•第16题）已知中，点D在边8c上，

ZADB=120°,AD=2,CD=2BD.当——取得最小值时，BD=

A

15.（2021年高考浙江卷•第11题）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等

的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）.若直角三角形直角边的长分别

是3,4,记大正方形的面积为S，小正方形的面积为$2,则兴=

（2。2】高考天津•第］3题）若心。，…，则%>6的最小值为

2x+y-2V0,

17.（2020年高考课标I卷文科•第13题）若x,y满足约束条件<x-y-120,则z=x+7y的最大值为

^+1>0,

x+y>-1,

18.（2020年高考课标H卷文科•第15题）若X,y满足约束条件<x—>N-1,则z=x+2y的最大值是

2x-y<l,

x+y>0,

19.（2020年高考课标HI卷文科•第13题）若x,y满足约束条件,2x-y20,,则z=3x+2y的最大值为

x<1,

j1Q

20.（2020天津高考•第14题）己知。>0,b>0,且必=1,则一+一+——的最小值为.

2a2ba+b—

21.（2020江苏高考・第12题）已知5》2丁+:/=1食,”/?）,则f+y2的最小值是_______.223知年

高考天津文•第13题）设x>0,y>0,x+2y=4,则位叫立业的最小值为_______.

孙

23.（2019年高考天津文•第10题）设xwR,使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范围为一.

1v

24.（2019年高考上海•第7题）若x、yeR+,且一+2y=3,则上的最大值为.

xx

x>0

25.（2019年高考上海•第5题）已知满足，y>0,求z=2x-3y的最小值为.

x+y<2

2x+3y-6>0>

•x+y—3<0,

26.（2019年高考全国U文•第13题）若变量乂丁满足约束条件[y-2'O，则z=3龙-y的最大值是

27.（2019年高考江苏•第10题）在平面直角坐标系xOy中，尸是曲线y=x+：（x>0）上一动点，则点P到

直线x+y=0的距离最小值是.

X,,2,

28.（2019年高考北京文•第10题）若X,y满足（y…-1,则y—x的最小值为；最大

4x-3y+1...0,

值为.

29.（2018年高考数学江苏卷•第13题）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,Ac,ZABC=120°,ZABC

的平分线交AC于点D,且瓦）=1,则4a+c的最小值为.

x-y20

30.（2018年高考数学浙江卷•第12题）若x,y满足约束条件,2x+yK6,则z=x+3y的最小值是,

x+y>2

最大值是.

+2x+a—2,xW0.............

31.（2018年高考数学天津（文）•第14题）已知awR,函数/（无）=〈,,若对任意

—x~+2x—2a,x>0

xe[-3,+oo）,/（x）这N恒成立，则a的取值范围是

32.（2018年高考数学天津（文）•第13题）已知a,beR,且。一38+6=0,则2"+京的最小值

为,

2x+y+320,

33.（2018年高考数学课标HI卷（文）•第15题）若变量x,y满足约束条件2y+420,则z=x+ly的

X-2W0.3

x+2y-520,

最大值是.34.（2018年高考数学课标II卷（文）•第14题）若满足约束条件<x-2y+320,

X-5W0,

则z=x+y的最大值为.

x-2y-2＜0

35.（2018年高考数学课标卷I（文）•第14题）若无，y满足约束条件＜x—y+l2O，则z=3x+2y的

yW0

最大值为.

36.（2018年高考数学北京（文）•第13题）若满足x+l«y〈2x,则2y-x的最小值是.

37.（2018年高考数学北京（文）•第11题）能说明若a＞。，则,〈工为假命题的一组a,的值依次

ab

为

2018-2022五年全国各省份高考数学真题分类汇编

专题9不等式

一、选择题

x-2>0,

1.（2022年浙江省高考数学试题•第3题）若实数x,y满足约束条件<2x+y-740,则z=3x+4y的最大

x-y-2<0,

值是)

A.20B.18C.13D.6

【答案】B

当动直线3x+4y-z=0过A时z有最大值.

故Zm〃=3x2+4x3=18,故选,B.

【题目栏目】不等式'简单的线性规划问题'线性型目标函数的最值问题

【题目来源】2022年浙江省高考数学试题•第3题

'x+y>2,

2.（2022年高考全国乙卷数学（文）•第5题）若x,y满足约束条件<x+2y44,则z=2x-y最大值是

y>0,

()

A.-2B.4C.8D.12

【答案】C

解析：由题意作出可行域，如图阴影部分所示,

转化目标函数z=2x-y为y=2x-z,

上下平移直线y=2x-z,可得当直线过点（4,0）时，直线截距最小，z最大,

所以Zmax=2x4-0=8.

故选：C.

【题目栏目】不等式'简单的线性规划问题\线性型目标函数的最值问题

【题目来源】2022年高考全国乙卷数学（文）•第5题

x+l>0

3.（2021年高考浙江卷•第5题）若实数x,y满足约束条件40,则z=x-gy的最小值是

2x+3y-l<0

（）

【答案】B

x+l>0

解析:画出满足约束条件，x-y40的可行域，如下图所示:

2x+3y-l<0

设当直线y=2x-2z过A点时，z=x-]1y取得最小值为3故选B.

【题目栏目】不等式,简单的线性规划问题\线性型目标函数的最值问题

【题目来源】2021年高考浙江卷•第5题

x+y>4,

4.(2021年全国高考乙卷文科•第5题)若x，y满足约束条件,X-yK2,则z=3x+y的最小值为

()

A.18B.10C.6D.4

【答案】C

解析：由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，

转换目标函数z=3x+y为y=-3x+z,

上下平移直线y=-3x+z,数形结合可得当直线过点A时,z取最小值,

此时Zmm=3xl+3=6.

故选：C.

【题目栏目】不等式'简单的线性规划问题'线性型目标函数的最值问题

【题目来源】2021年全国高考乙卷文科•第5题

5.(2020年浙江省高考数学试卷♦第9题)已知a,beR且ab#0,若(x-a)(x-b)(x-2a-b)20在x20

上恒成立，则()

A.a<0B.a>0C.b<0D.b>0【答案】C

解析：因为"HO,所以且万户0,ig/(x)=(%-a)(x-b)(x-2a-h),则/(x)零点

为无।=a,/=b,%=2a+0

当。〉0时，则々<工3，X>0，要使/(x)20,必有2a+/?=a,且6<0,

即6=-a,且力<0,所以6<0；

当a<0时，则々>七，玉<。，要使/(幻20,必有匕<0.

综上一定有。<0.故选：C

【题目栏目】不等式,不等式恒能恰成立的问题

【题目来源】2020年浙江省高考数学试卷•第9题

[%-3y+l<0

6.(2020年浙江省高考数学试卷•第3题)若实数x,y满足约束条件彳_，则z=2x+y的取值范

、J-

围是()

A.(-oo,4]B.[4,+oo)C.[5,+oo)D.(-oo,+oo)

【答案】B

其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，

z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，

据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点4处取得最小值，

联立直线方程：\-n,可得点4的坐标为：A(2,l),据此可知目标函数的最小值为:

x+y-3=0''

且目标函数没有最大值.故目标函数的取值范围是［4,+8）.故选：B

【题目栏目】不等式,简单的线性规划问题\线性型目标函数的最值问题

【题目来源】2020年浙江省高考数学试卷•第3题

x-3j+4>0,

7.（2019年高考浙江文理•第3题）若实数X,》满足约束条件，3x-y-440,则z=3x+2y的最大值是

x+y>0,

（）

A.-1B.1C.10D.12

【答案】【答案】C

【解析】根据约束条件画出可行域，如图所示，其中A（2,2）.由z=3x+2y得y=-3x+4z，当直线

22

问题

【题目来源】2019年高考浙江文理•第3题

02

8.（2019年高考天津文•第5题）已知a=log?7,8=log.、8,c=0.3.则。也c的大小关系为（）

A.c<b<aB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】【答案】A

【思路分析】本题可根据相应的对数式与指数式与整数进行比较即可得出结果.

02

【解析】由题意，可知：a=log27>log,4=2,Z>=log38<log39=2,c=0.3<1（所以c<6<a.故

选A.

【归纳与总结】本题主要考查对数式与指数式的大小比较，可利用整数作为中间量进行比较.本题属

基础题.

【题目栏目】不等式'不等式的性质及其应用'比较实数或代数式的大小

【题目来源】2019年高考天津文•第5题9.（2019年高考天津文•第2题）设变量满足约束条件

x+y-240,

则目标函数z=-4x+y的最大值为（）

x>-l,

”T,

A.2B.3C.5D.6

【答案】【答案】C

【思路分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最

优解的坐标代入目标函数得答案.

化目标函数z=-4x+y为y=4x+z,

由图可知，当直线y=4x+z过A时，z有最大值为5.故选C.

【归纳与总结】本题考查简单的线性规划知识，考查数形结合的解题思想方法，是中档题.

【题目栏目】不等式'简单的线性规划问题'线性型目标函数的最值问题

【题目来源】2019年高考天津文•第2题

o3

10.（2019年高考全国I文•第3题）已知a=log?02,6=2%c=O.2）则（）（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

【答案】【答案】B

【解析】由对数函数的图像可知：a=log20.2<0；再有指数函数的图像可知：〃=2°2>1，

0<c=O.203<1.于是可得到：a<c<b.

【题目栏目】不等式'不等式的性质及其应用'比较实数或代数式的大小

【题目来源】2019年高考全国I文•第3题11.（2018年高考数学天津（文）•第2题）设变量满足约束

2x-y<4

条件I,则目标函数z=3x+5)，的最大值为)

-x+1

y20

A.6B.19C.21D.45

【答案】C

解析：作可行域为如图所示的四边形ABC。，其中A(—1,O),B(2,O),C(3,2)£>(2,3),由

z=3x+5y,可得y=—3+7.表示斜率为—3二，纵截距为三z的直线，作直线y=—3并平移，当

^5^5^5^5^5

直线经过点0(2,3)时，直线在y轴上的截距最大，此时z取得最大值,

zinax=3*2+5*3=21.

【题目栏目】不等式、简单的线性规划问题'线性型目标函数

的最值问题

【题目来源】2018年高考数学天津(文)•第2题

二、多选题

12.(2020年新高考全国I卷(山东)•第11题)已知a>0,b>0,且a+b=l,则()

A.a2+hr>-B.2a~b>-

22

C.log,a+log,b>-2D.yJa+\Jb<>/2

【答案】ABD

解析：对于A,a2+b2=£Z2+(1-6Z)2=2a2-2a+l=2

当且仅当。=b=_L时，等号成立，故A正确；对于B,a-b=2a-l>-l9所以2"">2一|=’,故

22

B正确；

对于C,loga+logb=logab<log

2222=1°g2-=-2>

当且仅当。=〃=不时，等号成立，故c不正确；

2

对于D,因为+=1+2\[ab<\+a+b=2,

所以&+近4起，当且仅当〃=》=2时，等号成立，故D正确；故选：ABD

【题目栏目】不等式'基本不等式、基本不等式的实际应用

【题目来源】2020年新高考全国I卷（山东）•第11题

13.（2020年新高考全国卷H数学（海南）•第12题）已知。>0,b>0,且a+b=l,则（）

A.a2+h2>-B.2a-b>-

22

y[a+yfb

C.log2a+log2b>-2D.^^2

【答案】ABD

解析：对于A,4+〃=/+。—”)2=2/-2。+1=2

22

当且仅当4时，等号成立，故A正确;

2

对于B,a-b^2a-\>-\,所以>2一|=’,故B正确;

2

a+b",1c

对于C,log,a+log2h-log2ab<log2F)=log?[=一2，

当且仅当4=。=，时，等号成立，故C不正确；

2

对于D,因为（J^+扬）=14-2\[ab<l+6f+Z?=2,

所以&+y/B&,当且仅当a=O=g时，等号成立，故D正确；故选：ABD

【题目栏目】不等式'基本不等式'基本不等式的实际应用

【题目来源】2020年新高考全国卷H数学（海南）•第12题

三、填空题

14.（2022年全国高考甲卷数学（文）•第16题）已知AABC中，点。在边8C上,

AT

ZADB=120。,AD=2,CD=2BD.当一取得最小值时，BD=

AB

【答案】G-1或-i+G

【解析】设8=2班>=2〃?>0,

则在LABD中，AB2=BD2+AD2-2BDADcosZADB=«?+4+2机，

在AACD中，AC2-CD2+AD2-2CD-ADcosZADC=4m2+4-4m,

AC2_4in2+4-4m_4(^2+4+2m)-12(1+m)_12

22

所以前=AH+4+2mtn4-4+2m/[!\[3

⑺)"2+1

>4——I2==4-273

2.+1)岛’

当且仅当桃+1==一3即m=G-l时，等号成立，

6+1

所以当受AT取最小值时，m=Ml.

AD

故答案为：G-1.

【题目栏目】不等式'基本不等式\利用基本不等式

求最值

【题目来源】2022年全国高考甲卷数学（文）•第16题

15.（2021年高考浙江卷•第11题）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个

全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）.若直角三角形直角边的长

5,

分别是3,4,小正方形的面积为邑，则?

【答案】25

解析：由题意可得，大正方形的边长为：°=后*=5,则其面积

为：*=52=25,小正方形的面积：52=25-4X（；X3X4）=1,从而彳=25,故答案为25.

【题目栏目】不等式'不等式的综合问题

【题目来源】2021年高考浙江卷•第11题

16.（2021高考天津•第13题）若a>0,b>0,则，+白+〃的最小值为__________.

ab

【答案】2五

解析：va>Q,b>0,:.-+4+^^2.--+b=-+b>2.--b^2y/2,

ab~\ab~b\b

当且仅当一=二且7=〃，即”=b=亚时等号成立，所以上+9+。的最小值为2起.

aobab

故答案：2叵.

【题目栏目】不等式'基本不等式,利用基本不等式求最值

【题目来源】2021高考天津•第13题

2x+y-240,

17.（2020年高考课标I卷文科•第13题）若x,y满足约束条件120,则z=x+7y的最大值为

y+1>0,

【答案】1【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示,

11

目标函数z=x+7y即:V=——X+—Z，

-77

其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大,

据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，

联立直线方程：\•八，可得点A的坐标为：A（1,O）,

x-y-l=O

据此可知目标函数的最大值为：zmM=1+7x0=1.

故答案：1.

【点睛】求线性目标函数2=£^+如（附工0）的最值，当b>0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时,

z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b<0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小,

在y轴上截距最小时，z值最大.

【题目栏目】不等式,简单的线性规划问题\线性型目标函数的最值问题

【题目来源】2020年高考课标I卷文科•第13题

x+y>-\,

18.（2020年高考课标II卷文科•第15题）若x,y满足约束条件<x-yN-1,则z=x+2y的最大值是

2x-y<\,

【答案】8

【解析】不等式组表示的平面区域为下图所示:

x-y=-1x=2

此时点A的坐标是方程组《CI的解，解得：，

[2x-y=\U=3

因止匕z=x+2y的最大值为：24-2x3=8.

故答案为：8.

【点睛】本题考查了线性规划的应用，考查了数形结合思想，考查数学运算能力.

【题目栏目】不等式'简单的线性规划问题\线性型目标函数的最值问题

【题目来源】2020年高考课标II卷文科•第15题

x+y>0,

19.（2020年高考课标HI卷文科•第13题）若x,y满足约束条件〈2x-y>0,,则z=3x+2y的最大值为

X<1,

【答案】7

【解析】不等式组所表示的可行域如图

3YZ7

因为z=3x+2y,所以y=-----F—,易知截距一越大，贝越大，

.222

元

平移直线>=-'3，当>=-二+*z经过A点时截距最大，此时z最大,

222

y=2xx=1

由，E'得…41,2）,

、J=2

所以Zmax=3xl+2x2=7.

故答案为:

【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的

思想，是一道容易题.

【题目栏目】不等式'简单的线性规划问题'线性型目标函数的最值问题

【题目来源】2020年高考课标in卷文科•第13题

11O

20.（2020天津高考•第14题）已知a>0,b>0,且必=1,则一+一+——的最小值为

2a2ba+b—

【答案】【答案】4

【解析】­.■a>0,b>0,:.a+b>0,ab=\,+-—+—+-^-

2a2ba+b2a2ba+b

=a+^+8/a+^x82=4；当且仅当〃+。=4时取等号，

2a+bv2a+b

结合必=1,解得4=2-6,6=2+百，或。=2+6/=2-6时，等号成立.

故答案为：4

【题目栏目】不等式'基本不等式\利用基本不等式求最值

【题目来源】2020天津高考•第14题

21.（2020江苏高考•第12题）已知5x2/+y4=l（x,y€R）,则公+『的最小值是

【答案】【答案】］4

14

【解析】•••5x、2+y4=i,...ywo且》2=六

5y

."+/=口+/=3+%24当且仅当白=苓,即f时取等号・

5yz5y25p/555y5102

o44

.•.f+J0的最小值为.故答案为：

【题目栏目】不等式'基本不等式\利用基本不等式求最值

【题目来源】2020江苏高考•第12题22.（2019年高考天津文•第13题）设x>0,y>0,x+2y=4,

（x+D（2y+l）

则-----------的最小值为.

【答案】【答案】|9

【思路分析】利用基本不等式求最值.

.,、工,(x+l)(2y+l)2xy+x+2y+l2xy+5.5

【解析】法—：x>0,y>0,x+2y=4,则-------:---------------:---=-....=2+—.

xyxyxyxy

x>0,y>0,x+2y=49由基本不等式有：4=x+2y,.2y]2xy,

所以°<肛<2,—,所以2+。..2+'=?；

xy2xy22

(当且仅当x=2y=2时，即：x=2,y=l时，等号成立)，

故S±l)(2.v+1)的最小值为9.故答案为2

孙22

(x+l)(2y+1)_2xy+x+2y+\_2孙+6〉2yj2xy-6

=4>/3,

法二:历历而历

等号当且仅当孙=3,即x=3,y=l时成立，故所求的最小值为46.

【归纳与总结】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题.

【题目栏目】不等式,基本不等式'利用基本不等式求最值

【题目来源】2019年高考天津文•第13题

23.(2019年高考天津文•第10题)设xeR,使不等式3幺+x-2<0成立的x的取值范围为.

【答案】【答案】(-1,9

【思路分析】解一元二次不等式即可.

2

【解析】3/+x-2<0,将3/+x-2分解因式即有：(x+l)(3x-2)<0;(x+i)(x_1)<0；由一元二

次不等式的解法“小于取中间，大于取两边”可得：T<x<+W：{x|-l<x<|};或故答

案为;

【归纳与总结】本题考查了不等式的解法与应用问题，是基础题.

【题目栏目】不等式'一元二次不等式的解法'一元二次不等式恒能恰成立问题

【题目来源】2019年高考天津文•第10题

24.(2019年高考上海•第7题)若x、yeR+,且,+2y=3,则上的最大值为.

XX

【答案】【答案】I【解析】法一：3=-+2y>2,,\2<f=9；

8x]1xx12j2/8

法二：由L=3—2y,£=(3—2y)-y=—2y2+3y(0<y<3),求二次最值[2]=1

xx2max°

【点评】本题主要考查函数的值域，化归转化思想.

【题目栏目】不等式'基本不等式\利用基本不等式求最值

【题目来源】2019年高考上海•第7题

x>0

25.（2019年高考上海•第5题）已知光,y满足（y>0,求z=2x-3y的最小值为.

x+y<2

【答案】【答案】-6

【解析】线性规划作图：后求出边界点代入求最值，当